Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch Sommersemester 2014
Ausgabe: Donnerstag, 26.06.2014
Abgabe: Donnerstag, 03.07.2014, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis II 10. Übungsblatt
Aufgabe 37(Geometrie von Raumkurven) (5 Punkte)
1. Sei γ ∈ C2([a, b],Rn) eine beliebige Parameterdarstellung einer KurveΓ (d.h. nicht notwendigerweise eine Bogenlängenparametrisierung) mit γ(t)˙ 6= 0 für alle t ∈ [a, b]. Berechnen Sie zu t ∈ [a, b] die (skalare) Krümmung κ(t)und denKrümmungskreismittelpunkt µ(t).
2. Begründen Sie: Die Kurve verläuft lokal beiγ(t)in derSchmiegebene vonγ(t). (?) 3. Sei nun speziellγ(t) = (2 cost,2 sint),t∈[0,2π], eine Parametrisierung des Kreises mit Radius2. Bestimmen
Sie die Kurveµder Krümmungskreismittelpunkte der durchγ parametrisierten Kreiskurve.
Bemerkung: Die Krümmungskreismittelpunkte parametrisieren also selbst wieder eine zuγgehörige Kurve, welche alsEvolute bezeichnet wird. Die in Aufgabe 33 behandelte Kurve, welche durch tangentiale Abwicklung aus einer anderen Kurve (in dem Fall ebenfalls der Kreiskurve) entsteht, wird korrekterweise als Evolvente bezeichnet. Speziell ist die Evolvente der Evolute wieder die Ausgangskurve.
Aufgabe 38(Urbild-σ-Algebra) (5 Punkte)
SeienX, Y Mengen,f :X →Y eine Abbildung undY eineσ-Algebra überY, d.h. (Y,Y)ein Messraum. Zeigen Sie, dass dannX ={f−1(y)|y∈ Y}eineσ-Algebra überX ist, alsof einen Messraum (X,X)induziert.
Aufgabe 39(Dirac-Maß und Zählmaß) (5 Punkte)
SeiX eine beliebige nichtleere Menge. P(X)bezeichne die Potenzmenge vonX, welche offenbar eineσ-Algebra überX ist. Weiter seix∈X.
1. Zeigen Sie, dass das Diracsche Deltaδx:P(X)→ {0,1} mit δx(A) = 1genau fürx∈Aein Maß auf P(X) definiert.
2. Zeigen Sie, dass das Zählmaßζ:P(X)→[0,∞]mitζ(A) =|A|ebenfalls ein Maß aufP(X)liefert.
3. Lassen sichδxbzw. ζauch unabhängig von einer Referenzmenge X definieren? (?)
Aufgabe 40(unendliche Maßräume) (5 Punkte)
Sei (X,A, µ) ein σ-endlicher Maßraum mit µ(X) = ∞. Zeigen oder widerlegen Sie, dass zu jeder Schranke S >0eine Menge A∈ Aexistiert mitS < µ(A)<∞.
