Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung
Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011
Analysis II f¨ur die Studieng¨ange
Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 13
Abgabetermin: 14.07.2011
Aufgabe 37 Die Kurve C sei in der Darstellung r = r(φ), α ≤ φ ≤ β gegeben.
Entwickeln Sie mit Hilfe Riemannscher Zwischensummen eine Definition f¨ur die Bogenl¨ange der Kurve. Berechnen Sie die L¨ange der Herzlinie
r =a(1 + cosφ), (a >0, 0≤φ≤2π).
4 Punkte
Aufgabe 38 Gegeben sei in einem kartesischen Koordinatensystem die Men- ge C aller Punkte, die der Gleichung
9y2 − x(x−3)2 = 0 und 0≤x≤3 gen¨ugen.
a) Skizzieren Sie die Kurve C.
b) Welchen Fl¨acheninhalt hat das von C umschlossene Fl¨achenst¨uck ? c) Welche L¨ange hat die Kurve C ?
d) Welches Volumen hat der Rotationsk¨orper, der bei Rotation um die x- Achse entsteht ?
e) Welches Volumen hat der Rotationsk¨orper, der bei Rotation um die y- Achse entsteht ?
1+2+2+2+3 Punkte
Aufgabe 39 Die Funktion f sei auf [a, b] stetig und g sei auf [a, b] stetig differenzierbar. Dann ist f bez¨uglich g (R -) integrierbar. Zeigen Sie:
∫ b
a
f(x)dg(x) =
∫ b
a
f(x)g′(x)dx.
3 Punkte
Aufgabe 40 (zur Pr¨ugungsvorbereitung) Untersuchen Sie, ob die folgenden Integrale eigentlich oder uneigentlich sind, teilen sie falls n¨otig den Integra- tionsbereich auf, testen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie im Falle der Existenz den Wert des Integrals:
a)
∫∞
0
xe−x2dx b)
∫2
0
2xdx (x2−1)2,
c)
∫∞
0
sin2x
x dx d)
∫∞
0
xne−xdx,
e)
∫∞
2
√xdx
1 +x4 f)
∫∞
1
lnx x2 dx.
12 Punkte
Aufgabe 41 (zur Pr¨ugungsvorbereitung) Untersuchen Sie unter Anwendung des Integralkriteriums das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihen:
a)
∑∞ n=2
1
n(lnn)α, b)
∑∞ n=3
1
n(lnn)(ln lnn)α, α ∈IR, α≥0.
6 Punkte
