Kerne und Teilchen (Physik VI)

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KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

INSTITUTE OF EXPERIMENTAL PARTICLE PHYSICS (IEKP) – PHYSICS FACULTY

www.kit.edu

Kerne und Teilchen (Physik VI)

Günter Quast, Roger Wolf, Pablo Goldenzweig 20. Juni 2017

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Institute of Experimental Particle Physics (IEKP) 2

Kapitel 7: Symmetrien und Erhaltungs-

sätze

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Kapitel 7.1: Symmetrien und Quanten-

zahlen

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Bedeutung von Symmetrie…

Was läuft hier falsch?

3:2

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Bedeutung von Symmetrie in der Physik

● Erhaltungssätze wie Energieerhaltung erst seit wenigen hundert Jahren etabliert

● Heute: Symmetrie ↔ Erhaltungsgröße im betrachteten physikalischen System

● In QM: Erhaltungsgröße ↔ Quantenzahl

Symmetrien: heute von fundamentaler Bedeutung für Beschreibung physikalischer Phänomene

● (Stationäres) physikalisches System kann durch vollständigen Satz an Quantenzahlen beschrieben werden (→ H-Atom)

1564 – 1641

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Symmetrie

Symmetrie: Transformation unter der invariant ist

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Symmetrie ↔ Erhaltungsgröße

● Betrachte Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes (vgl VL-09 Folie 19):

● sei invariant unter der Transformation:

(1) hier für interne Symmetrie

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Symmetrie ↔ Erhaltungsgröße

● Betrachte Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes (vgl VL-09 Folie 19):

● sei invariant unter der Transformation:

● Dann muss auch gelten:

!

Taylor

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Symmetrie ↔ Erhaltungsgröße

● Wir erhalten also:

!

(→ “auf der Massenschale”):

(→ Noetherstrom)

● Symmetrie der Lagrangedichte → Erhaltungsgröße ( , Noether-Theorem).

(1) hier für interne Symmetrie

(10)

Noetherladung

● Wir untersuchen den Noetherstrom noch etwas genauer:

(Satz von Gauß) (→ Noetherladung)

● Aus der Symmetrie der Lagrangedichte läßt sich ein erhaltener Strom und eine erhaltene Ladung ableiten.

!

● Das Noether-Theorem gilt so wie hier gezeigt zunächst nur für kontinuierliche Symmetrie-Transformationen. Es läßt sich aber zum Teil auf diskrete Symme- treien erweitern.

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Arten von Symmetrien

● Symmetrien können…

● … kontinuierlich oder diskret sein,

● … allein auf die Felder selbst wirken,

● … allein auf die Argumente der Felder,

● … oder auf beides

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Arten von Symmetrien

Parität ( ), Rotation im Intern, Isospin

Extern, Translationsinvarianz Eigentliche Lortenztransfor- mation auf Spinoren

(1)

(2)

(3)

(1) siehe VL-10 Folie 8 (2) siehe VL-10 Folie 9 (3) siehe VL-09 Folie 16

(13)

Arten von Symmetrien

Parität ( ), Rotation im Intern, Isospin

Extern, Translationsinvarianz Eigentliche Lortenztransfor- mation auf Spinoren

● Symmetrieoperationen können global (= überall im Raum gleich) oder lokal angewandt werden (vgl VL-09 Folien 20f)

(1)

(2)

(3)

(1) siehe VL-10 Folie 8 (2) siehe VL-10 Folie 9 (3) siehe VL-09 Folie 16

● Erinnerung: die fundamentalen Wechselwirkungen der Teilchen untereinander werden mit Hilfe von lokalen Eichsymmetrien in das SM eingeführt

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Symmetrien können gebrochen sein

● Symmetrie existiert in der Lagrangedichte aber nicht im Grundzustand des betrachteten physikalischen Systems (→ Spontane Symmetriebrechung):

● Beispiele:

Nähnadel auf Spitze: Holzblock in Wasser: Holzblock auf Stab:

Symmetrie Achsensymmetrie Symmetrie

● Spontane Symmetriebrechung ist ein fundamentaler Pfeiler des SM (vgl VL-09 Folie 10, VL-14 Folie 16)

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Zeit erhalten und gebrochen sein?

Spontane Symmetrie- brechung:

Führe Potential ein das den Grundzustand des Universums aus der Symmetrieachse der Bewegungsgleichungen zwingt.

(“hidden symmetry”)

→ Teilchenmasse als Kopplung an nicht verschwindenden Vakuumerwartungswert.

Problem: lokale Eichsymmetrien in Lagrangedichte sind durch massive Teilchen explizit gebrochen

SM

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Transformationen und Gruppen

● Physikalische (Koordinaten-)Transformationen bilden mathematische Gruppen:

Gruppe:

Menge ( ) + (zweistellige) Verknüpfung ( ), so dass gilt:

● Wichtig ist, dass die Gruppe “schließt”, d.h.

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Transformationen und Gruppen

Gruppe:

Beispiel: Drehungen im

Menge ( ), Verknüpfung ( , Matrixmultiplikation)

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Gruppe:

Transformationen und Gruppen

Beispiel: Drehungen im

Menge ( ), Verknüpfung ( , Matrixmultiplikation)

(Darstellung in 2d)

(Darstellung in 3d)

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Beispiele von Transformationsgruppen

● Alle Drehungen im : spezielle orthogonale Gruppe

● Alle Drehungen im inklusive Spiegelungen: orthogonale Gruppe (→ winkeltreue Abbildungen)

● Spiegelungen am Ursprung (→ Parität):

● Anmerkung:

● Alle Translationen im Raum

● Alle Gallileitransformationen

● Alle Lorentztransformationen, Drehungen und Translationen im (→ Poicaré-Gruppe)

● …

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Unitäre Transformationen

Phasentransformation.

(Unitäre Transformationen) (Spezielle unitäre Transformationen)

● : Gruppe der unitären Transformationen im mit den folgenden Eigen- schaften: , ,

● Spaltet man eine weitere Phase von ab kann man erreichen, dass:

● Die spielen in der Teilchenphysik eine besondere Rolle. Wir werden sie daher im folgenden als Beispiel verwenden, um einige Begriffe einzuführen

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Kontinuierliche Gruppentransformationen

● Kontinuierliche Gruppentransformationen → zusammengesetzt aus vielen infnitesimalen Transformationen mit einem kontinuierlichen Parameter :

● Generatoren von .

● Definieren Struktur von .

● Die Menge der (mit entsprechender Verknüpfung) bildet eine Lie-Gruppe

● Die Menge der bildet die Lie-Algebra

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Eigenschaften der

!

● reelle Einträge auf Diagonale.

● komplexe Einträge auf off-

Diagonale.

● für wegen

● hat Generatoren.

● Hat Gene- ratoren.

● Hermitesch:

● Spurfrei:

● Dimension des Tangentialraums:

(23)

Examples that appear in the SM ( )

● Number of generators:

● transformations (equivalent to ):

Was ist der Generator der

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Examples that appear in the SM ( )

Was ist der Generator der → 1

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Examples that appear in the SM ( )

● Explicit representation:

(3 Pauli matrices)

● i.e. there are 3 matrices , which form a basis of traceless hermitian matrices, for which the following relation holds:

● algebra closes.

● structure constants of .

● In der schwachen Wechselwirkung im SM:

(26)

● i.e. there are 8 matrices , which form a basis of traceless hermitian matrices, for which the following relation holds:

Examples that appear in the SM ( )

● Explicit representation:

(8 Gell-Mann matrices)

● transformations:

● algebra closes.

● structure constants of .

● In der starken Wechselwirkung im SM:

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Abelsche und nicht-abelsche Gruppen

● ist eine abelsche Gruppe → Reihenfolge in der Transformationen ausgeführt werden egal

● und sind nicht-abelsche Gruppen (siehe Kommutator-Relationen)

→ Reihenfolge in der Transformationen ausgeführt werden spielt eine Rolle!

● Für die folgende Übung beachte:

(28)

x

(Non-)Abelian symmetry transformations

y

z

x

x z

y z

switch z and y: y

3 4 1 2

● Example (90º rotations in ):

(29)

x

(Non-)Abelian symmetry transformations

y

z

x y z

switch z and y:

3 4 1 2

x z y 2

(30)

x

(Non-)Abelian symmetry transformations

y

z

x

x z y

z

y

cyclic y

permutation:

switch z and y:

3 4 1 2

2

(31)

x

(Non-)Abelian symmetry transformations

y

z

x

x z

y z

switch z and y: y

cyclic

permutation:

3 4 1 2

x

z y

3 2

(32)

Beispiel: interne Erhaltungsgröße

● Betrachte Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes von Folie 6:

● offensichtlich invariant unter Phasentransformationen auf :

(Noetherstrom = elektr. Strom)

(Noetherladung = elektr. Ladung)

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Beispiel: interne Erhaltungsgröße

● Betrachte Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes von Folie 6:

● offensichtlich invariant unter Phasentransformationen auf :

(Noetherstrom = elektr. Strom)

(Noetherladung = elektr. Ladung)

Anm.: Generator der Symmetrietransforma- tion ist 1

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Beispiel: interne Erhaltungsgröße

● Beziehungen zwischen Symmetrie und Erhaltungsgröße in der Teilchenphysik:

Elektrische Ladung (im SM Hyperladung ) Schwacher Isospin (für linkshändige Teilchen) Farbladung (rot, grün, blau)

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Beispiel: externe Erhaltungsgröße

● Betrachte Lagrangedichte eines nicht-komplexen skalaren Feldes:

● Untersuche Invarianz von unter Translationen :

Taylor !

● Dann muss auch gelten:

(1) (1)

(36)

Beispiel: externe Erhaltungsgröße

● Wir erhalten also:

(Noetherstrom = Energie-Impuls-Tensor für skalares Feld)

(Noetherladung = 4er-Impulserhaltung)

(Energieerhaltung) (Impulserhaltung)

Anm.: Generator der Symmetrietransforma- tion ist Impulsoperator

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KW-21/22KW-22KW-23KW-24KW-25/26

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