Großkanonische Gesamtheit: Beachten Sie, dass die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion g(ǫ) in der Vorlesung mit nB(ǫ) bezeichnet wird, die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion f(ǫ) mit nF(ǫ)

Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der

f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 7

Dr. S. Rachel 9.6.2009

1. Großkanonische Gesamtheit:

Beachten Sie, dass die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion g(ǫ) in der Vorlesung mit nB(ǫ) bezeichnet wird, die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion f(ǫ) mit nF(ǫ).

(a) Bosonen: Mikrozust¨ande:

{α}={n_k1, n_k2, n_k3, . . . , n_ki, . . .} , n_ki = 0,1,2,3, . . .

(Besetzungszahldarstellung). k₁,k₂, . . . ist eine willk¨urlich, aber fest gew¨ahlte An- ordnung aller Einteilchen-Zust¨ande (bzw. derer Quantanzahlen), die von einem Teil- chen besetzt werden k¨onnen. In diesem Fall sind das also die k-Vektoren eines freien Teilchens. Die Anordnung wird ¨ublicherweise dadurch festgelegt, daß gilt, ε(k₁)≤ε(k₂) etc.

Energie:

Eα =ε(k1)n_k1 + ε(k2)n_k2 + . . .=X

k

ε(k)n_k Teilchenzahl:

Nα =X

k

n_k

Großkanonische Zustandssumme:

Z_G = X

α

e^{−β(Eα−µNα)}

= X∞ n_k1=0

X∞ n_k2=0

. . . e^{−βPk(ε(k)−µ)nk}

= Y

k

X∞ n=0

e^{−β(ε(k)−µ)n}

!

=Y

k

1 1−e^{−β(ε(k)−µ)}

⇒ ln(ZG) = −X

k

ln [ 1−e^{−β(ε(k)−µ)}]

Innere Energie: fasse β und βµals unabh¨angige Variablen auf; dann:

U =hEi= 1 ZG

X

α

E_αe^{−β(Eα−µ Nα)}=− 1 ZG

∂ZG

∂β

(βµ)

=− ∂

∂β ln(Z_G)

(βµ)

⇒ U =X

k

ε(k) 1

e^{β(ε(k)−µ)}−1 ≡X

k

ε(k)g(ε(k)−µ)

Teilchenzahl:

N =hNi= 1 ZG

X

α

Nαe^{−β(Eα−µNα)} = 1 ZG

∂ZG

∂ βµ

β

⇒ N = ∂

∂ βµln(ZG)

β

=X

k

g(ε(k)−µ)

Fermionen: Dasselbe, aber mit nk = 0,1 .

⇒ ZG=Y

k

X

n=0,1

e^{−β(ε(k)−µ)n}

!

⇒ ln(ZG) =X

k

ln [ 1 + e^{−β(ε(k)−µ)}]

Damit folgt durch Ableiten, analog zu den Bosonen, U =X

k

ε(k) 1

e^{β(ε(k)−µ)}+ 1 ≡X

k

ε(k)f(ε(k)−µ)

N =X

k

f(ε(k)−µ) (Beachte: es wurden spinlose Teilchen angenommen.) Zustandsdichte:

N(ε) = 1 V

X

k

δ(ε − ε(k))

Damit lassen sich formal die k-Summen ersetzem:

Bosonen: U =V Z

dεN(ε)ε g(ε−µ) , N =V Z

dεN(ε)g(ε−µ)

Fermionen: U =V Z

dεN(ε)ε f(ε−µ) , N =V Z

dεN(ε)f(ε−µ) Dies sind die Ausgangsgleichungen f¨ur praktische Rechnungen.

(b) Kanonische Gesamtheit: Die Teilchenzahl ist fest, N = const. Man k¨onnte jetzt versuchen, die kanonische Zustandssumme direkt zu berechnen:

Bosonen:

Z_K = X

α

e^−βEα

N=const.

=

∞

X

nk1=0

∞

X

nk2=0

. . . e^{−βPkε(k)nk}

(n_k1+n_k2+...)=N=const.

Um diese Zwangsbedingung an die Summen zu realisieren, w¨urde man wohl einen Lagrange-Multiplikator einf¨uhren, also letztlich auf die großkanonische Gesamtheit

¨ubergehen. In der Praxis rechnet man also großkanonisch, muß dann aber das chem.

Potential loswerden:

U(T, V, µ) = bekannt, N(T, V, µ) = bekannt ⇒ µ(T, V, N) = durch Umkehren

⇒ U(T, V, N) =U(T, V, µ(T, V, N)) F¨ur Fermionen nat¨urlich entsprechend.

(c) Unterscheidbare Teilchen: Die Rechnung ist hier in der kanonischen Gesamtheit am einfachsten. Daraus kann man sich das chemische Potential besorgen, z.B. ¨uber

dU =T dS−pdV +µdN ⇒ µ= ∂U

∂N

S,V

Die BedingungS =const.ist unpraktisch, da wirU =U(S, V, N) erst noch berech- nen m¨ussten, U(T, V, N) aber kennen. Also: Freie Energie:

F =U −T S ⇒ dF =−SdT −pdV +µdN ⇒ µ= ∂F

∂N

T,V

und damit ZK =X

α

e^−βEα ⇒ U(T, V, N) und F =−1

β ln(ZK) ⇒ µ(T, V, N)

⇒ N(T, V, µ) = durch Umkehrung ⇒ U(T, V, µ) =U(T, V, N(T, V, µ))

2. Chemisches Potential f¨ur zweidimensionales Elektronengas:

np = 1 e^{kB Tǫ−µ} + 1

N¯ = (2s+ 1)A h²

Z

d²p np = (2s+ 1)A h² 2π

Z ^∞

0

ρ dρ exp

_p2

2m−µ kBT

+ 1

z =

p² 2m −µ

k_BT , dz = ρ dρ

mk_BT, N¯ = (2s+ 1)A

h² 2πmkBT Z ^∞

− ^µ

kB T

dz e^z+ 1

e^z =t −→

Z b a

dz e^z + 1 =

Z tb

ta

dt t(t+ 1) =

Z tb

ta

dt 1

t − 1 t+ 1

= ln t t+ 1

tb

ta

= ln e^z

e^z+ 1

tb

ta

N¯ = (2s+ 1)A

h² 2πmkBT ln e^z

e^z+ 1

∞

− ^µ

kB T

= (2s+ 1)A

h² 2πmkBT ln e^{−kB Tµ} + 1 e^{−kB Tµ}

!

µ(T) ergibt sich aus Bedingung ¯N(T) = ¯N(T = 0) = ^(2s+1)A_h2 2πmǫF, wobeiǫF =µ(T = 0). Gleichsetzen:

ǫF =kBT ln

1 +e^{kB Tµ}

, e^kBTǫF = 1 +e^{kB Tµ} , µ(T) =kBT ln

e^{kB TǫF} −1

µ= 0 bei ǫF =kBT ln 2, Tµ=0 = ǫ_F kBln 2 kBT ≪ǫF : ln

e^kBTǫF −1

= ǫF

kBT + ln

1−e^−kBTǫF

≈ ǫF

kBT −e^{−kB TǫF} µ(T)≈ǫF −kBT e^−kBTǫF =ǫF − O

e^{−kB TǫF}

kBT ≫ǫF : ln

e^kBTǫF −1

≈ln

"

ǫF

kBT + 1 2!

ǫF

kBT 2

+. . .

#

µ(T)≈ −kBT lnkBT ǫF

3. Ideales Fermi-Gas:

(a) Die Dispersion freier Teilchen lautet

ε(k) = ~²k² 2m In 3 Dimensionen haben wir die Zustandsdichte:

N(ε) =θ(ε)C3√

ε , C3 = 1 4π²

2m

~² 3/2

Bei T = 0 ist dann die Teilchenzahl gegeben durch (Faktor (2s+ 1) f¨ur den Spin s – hier also s= 1/2)

N(V) = (2s+ 1)V Z ^∞

0

dεN(ε)f(ε−µ)

T=0

= (2s+ 1)V Z εF

0

dεN(ε)

⇒ N

V = 2s+ 1 6π²

2mε_F

~² 3/2

Alternativ k¨onnen wir die Anzahl derk-Vektoren, deren Energie ε(k)< εF ist bzw.

k < kF , auch direkt abz¨ahlen.

N(V) = (2s+ 1) X

k,k<kF

= (2s+ 1) 1 d³k

Z

d³kΘ(kF −k) = (2s+ 1) V (2π)³

4π 3 k_F³

⇒ N

V = (2s+ 1)k_F³ 6π² Mit der Fermienergie

εF = ~²k_F²

2m , kF =

2mεF

~² 1/2

ergibt sich sofort (s= 1/2) der erste Ausdruck f¨urN/V . NachkF oderεF aufgel¨ost ergibt sich

kF = (3π²n)^1/3 , εF = ~²

2m(3π²n)^2/3 , n= N V

(b) Wie Sie auf Folie 7 von Vorlesung11.pdf nachschauen k¨onnen, haben Sie am Ende die Gleichung

(ǫF)²³ =µ³² + π²

8√µ(kBT)² +. . . nachµaufzul¨osen.

Im Allgemeinen d¨urfte das schwierig werden, wir k¨onnen allerdings im Falle des entarteten Fermi-Gases ausnutzen, dasskBT ≪ǫF. In diesem Limes gibt es immer Ausdr¨ucke, die viel kleiner als eins sind. Somit kann man entwickeln und durch geschicktes Jonglieren mit den Termen wird man immer das Resultat aus der Vor- lesung finden. Denkt man aber ein bisschen genauer nach, findet sich das Resultat noch einfacher, wie wir im Folgenden zeigen wollen.

µ³² = (ǫF)³² 1− π² 8√µ ε

3 2

F

(kBT)²+. . .

!

⇔ µ = ǫF 1− π² 8√µ ε_F³²

(kBT)²+. . .

!²₃

An dieser Stelle verwenden wir unser Wissen von Aufgabe 2, n¨amlich dass sich das chemische Potential µ im Tieftemperaturlimes der Fermi-Energie ann¨ahert, µ(T ≪ _k^ǫF_B) ≈ ǫF. Wir ersetzen aber nur im rechten Term √µ, da dieser Term sehr klein ist gegen¨uber allen anderen Termen: wegenkBT ≪ǫF ist nat¨urlich auch (kBT)²/(√µǫ_F³²)≪1. Damit erhalten wir:

⇒ µ = ǫF 1− π²

8 ε²_F (kBT)²+. . .

!³₂

⇒ µ ≈ ǫF 1−2 3

π² 8

kBT εF

2

+. . .

!

In der letzten Zeile haben wir lediglich Taylor-entwickelt, was nach obiger Betrach- tung gerechtfertigt ist und wir haben das Resultat aus der Vorlesung.

(c) Wir suchen C_V =T _∂T^∂S

V,N, d.h. wir brauchen die Entropie S(T, V, N).

Als Ableitung von Ω(T, V, µ) finden wir schon mal S(T, V, µ) =− ^∂Ω_∂T

V,µ. S(T, V, µ) = (2s+ 1)Vπ²

3 k_B²TN(µ) wobei die Zustandsdichte in drei Dimensionen immer noch durch

N(E) =θ(E) m³²E¹²

√2~³π²

gegeben ist. Als Ausdruck f¨ur das chemische Potential verwenden wir das Resultat von Aufgabenteil (b),µ=ǫF(1−π²/12 (kT)²/ǫ²_F).

Setzen wir jetzt also µ ein, bekommen wir die Entropie als Funktion von den gew¨unschten Variablen:

S(T, V, µ(T, N)) = (2s+ 1)V 1

3k²_BT m³²

√2~³

√ǫF

s 1−π²

12 kBT

ǫ_F 2

≈(2s+ 1)V 1

3k_B²T m³²

√2~³

√ǫF

| {z }

:=γT

1− 1 2

π² 12

kBT ǫF

2!

=γT +O T³ ǫ_F³²

!

| {z }

≈0

Wir finden also f¨ur CV(T, V, N) folgenden Ausdruck:

CV(T, V, N) = T

∂S(T, V, µ(T, N))

∂T

= γT

= kB

kBT

ǫ_F V(2s+ 1)ǫ_F³²m³² 1 3√

2~³

= π²

2 n(T = 0)V kB

kBT ǫF

,

wobei wir den Ausdruck aus Aufgabe 3a f¨ur die Teilchendichte n(T = 0) = N/V beiT = 0 verwendet haben (nochmal: bei T = 0 giltµ=ǫF).

(d) Um den Druck bei T = 0 zu bestimmen, sind im wesentlichen die beiden Integrale a und b aus der Vorlesung zu berechnen:

a(ǫ) ≡ Z ǫ

−∞

dǫ1N(ǫ1)

= Z ǫ

0

dǫ₁ θ(ǫ₁)C₃ ǫ₁¹²

= θ(ǫ) 2 3 C3 ǫ³²

Andererseits wissen wir aber, dass die Teilchendichte n(T = 0) = N(T = 0)/V gegeben ist als Integral ¨uber die Zustandsdichte:

n(T = 0) = (2s+ 1) Z ^∞

−∞

N(ǫ)dǫ Also finden wir

a(ǫ) = 2

3 θ(ǫ)C3 ǫ³² = N(T = 0) V(2s+ 1) . Nun zum zweiten Integral:

b(µ) = Z µ

−∞

dǫ₁a(ǫ₁) = 2 5

2 3 C₃ µ⁵²

| {z }

N(T=0) (2s+1)Vµ

= 1

2s+ 1 2

5NkBTF

mit µ(T = 0) =ǫF =kBTF. Damit finden wir also auch den Druck bei T = 0:

P =− ∂Ω

∂V

T,µ T=0

−→ (2s+ 1)b(µ) = 2

5Nk_BT_F .