Algebraische Zahlentheorie 5. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2010
Prof. Dr. J. H. Bruinier 26. Mai 2010
Dipl.-Math. E. Hofmann
Gruppenübung
Aufgabe G1
Beweisen Sie: Zu jedem ganzen Idealain einem DedekindringO gibt es ein ein ganzes Idealb, solcher Art, dass das Produkta·beine Hauptideal ist.
Vorgehensweise:
• Für ein Elementα6=0aus asetzt manb={β ∈ O; βa⊆(α)}.
• BetrachteA=α−1ab. Man überlegt sich leicht, dass dies ein (ganzes) Ideal inO ist.
• Um zu zeigen, dass A=O ist, betrachteγ∈A−1und führe die Annahme γ6∈ O zu einem Widerspruch. (Hinweis:b⊆A. Man folgereγb⊆b.)
Aufgabe G2
Es sei O ein Dedekindring. Zeigen Sie: IstO faktoriell, so istO auch ein Hauptidealring.
Hinweise:
• Seia⊂ O ein (beliebiges) ganzes Ideal; nach Aufgabe G1 hat mana|(α), mitα∈a,α6=0.
Betrachten Sie die Primfaktorzerlegung vonα.
• Zeigen Sie, dass Primelement vonO prime Hauptideale erzeugen.
Aufgabe G3
Sei K|Qein Zahlkörper undJK die Gruppe der gebrochenen Ideale. Zeigen Sie, dassJK isomoph ist zur durch die maximalen Ideale vonOK frei erzeugten abelschen Gruppe.
Aufgabe G4
Man zeige, dass die Schranke im Minkowskischen Gitterpunktsatz nicht verbessert werden kann, indem man für jedes n =dim(V) ein vollständiges Gitter Γ und eine konvexe, symmetrische Menge X ⊆V angibt, mitvol(X) = 2nvol(Γ), die keinen von Null verschiedenen Punkt aus Γ enthält.
Bemerkung. Setzt man allerdings im Minkowskischen Gitterpunktsatz voraus, dassX nicht nur zentralsymmetrisch und konvex sondern auchkompakt ist, so genügt sogar
vol(X) =2nvol(Γ), damitX midestens einen Punkt6=0ausΓ enthält.
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Aufgabe G5 (*)
Zeigen Sie, dass die quadratischen Zahlköper mit der Diskriminante5,8,11,−3,−4,−7,−8,
−11alle die Klassenzahl1haben.
Zur Vorgehensweise:
Tatsächlich erfordert diese Aufgabe, jeden Fall einzeln zu behandeln. Es genügt zum Beispiel, wenn man zeigen kann, dass der betreffende Zahlkörper euklidisch ist. Im Allgemeinen wird man jedoch explizit versuchen müssen, alle möglichen Idealklassen anzugeben. Bekanntlich enthält jede IdealklasseA∈C lK ein Idealamit
N(a)≤ 2
π s
p|dK|. (*)
Zu jedem Primidealpmitp|a gibt es eine Primzahl p∈ZmitZ∩pOK =pZ(man sagt pliegt über p); es gilt dann p | N(a). Wegen (*) kommen nur einige wenige p in Frage. Gelingt es nun nachzuweisen, dass es kein Primideal gibt, welches über einem solchen p liegt und der Abschätzung (*) genügt, oder, dass jedes derartige Primideal ein Hauptideal ist, ist man fertig.
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