Wahrscheinlichkeit3 – Binomialverteilung/Bernoulli-Formel

Wahrscheinlichkeit3 – Binomialverteilung/Bernoulli-Formel

Aufgaben

Lösen Sie A1 und A2 sowohl mit der Bernoulli-Formel als auch mit dem TR(BV), die anderen Aufgaben lösen sie mit dem TR(BV).

A1 Eine Familie hat 6 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu gebären betrage p = 0,5.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das unter den 6 Kindern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mädchen sind und zeichnen Sie das

Säulendiagramm/Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: Genau die Hälfte der Kinder sind Mädchen.

B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.

C: Mindestens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.

A2 Eine Münze wird 5 mal geworfen. p sei 0,5.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der Wappen.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man

(1) höchstens 3 mal Wappen? (2) weniger als 3 mal Wappen?

(3) mindestens 1 mal Wappen? (4) mehr als einmal Wappen?

A3 Eine Münze wird 20 mal geworfen.

a) Zeichnen Sie das Säulendiagramm der Binomialverteilung.

b) Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:

(1) Genau 10 mal Wappen.

(2) Höchstens 15 mal Wappen.

(3) Mindestens 7 mal Wappen.

(4) Mindestens 6 und höchstens 16 mal Wappen.

A4 Ein Multiple- Choice- Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten?

a) Mehr als 20 Aufgaben.

b) Mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben.

c) Weniger als 10 Aufgaben.

d) Genau 15 Aufgaben.

Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Aufgabe ist 1/5 = 0,2.

Berechnen Sie für A5, A6 und A7 auch den Erwartungswert und die Standardabweichung.

A5 n20 und p0,5

a) Die Anzahl der Erfolge beträgt höchstens 12 b) Die Anzahl der Erfolge beträgt mindestens 10 c) Die Anzahl der Erfolge beträgt genau 11

d) Die Anzahl der Erfolge liegt zwischen 7 und 13

A6 1

n 60 und p

  6

a) Die Anzahl der Erfolge beträgt genau 10 b) Die Anzahl der Erfolge beträgt mindestens 11 c) Die Anzahl der Erfolge liegt zwischen 6 und 14 d) Die Anzahl der Erfolge beträgt höchstens 8

A7 n100 und p0,1

a) Die Anzahl der Erfolge beträgt genau 10 b) Die Anzahl der Erfolge beträgt mindestens 9 c) Die Anzahl der Erfolge liegt zwischen 5 und 15 d) Die Anzahl der Erfolge beträgt höchstens 12

A8 Bestimmen Sie die 95%- Umgebung vom Erwartungswert.

a) n150 und p0,28 b) n250 und p0,7

Lösungen

A1 Berechnung mit Bernoulli-Formel

Das Problem kann als 6- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden mit n = 6 und p = 0,5. Gesucht ist P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

   

 

 

 

k n k

3 3 6

3 3 6

3 3 6

P X k n p 1 p k

6 1 1 1 1 1

P X 0 1 1 0,015625

0 2 2 2 64 64

6 1 1 1 1 6

P X 1 6 6 0,09375

1 2 2 2 64 64

6 1 1 1

P X 2 15 15

2 2 2 2

  

    

 

       

                  

       

                  

       

                

 

 

 

3 3 6

3 3 6

3 3 6

1 15

0,234375 64 64

6 1 1 6 5 4 1 1

P X 3 20 0,3125

3 2 2 3 2 1 2 64

6 1 1 1 1 15

P X 4 15 15 0,234375

4 2 2 2 64 64

6 1 1 1

P X 5 6 6

5 2 2 2

 

         

                   

       

                  

       

                

 

1 6

0,09375 64 64

6 1 1 1 1 1

P X 6 1 1 0,015625

6 2 2 2 64 64

 

       

                  

Histogramm der Binomialverteilungverteilung

1 0 1 2 3 4 5 6 7

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

P k( )

k

A1 ^{P A}

 





ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern genau drei Mädchen sind.

           

P B P X 3 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 1 6 15 20 42 21

0,65625 64 64 64 64 64 32

         

      

ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern höchstens drei Mädchen sind.

           

P C P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 P X 6

20 15 6 1 42 21

0,65625 64 64 64 64 64 32

         

      

ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 6 Kindern mindestens drei Mädchen sind.

A2 Berechnung mit Bernoulli-Formel

Das Problem kann als 5- stufiger Bernoulli- Versuch betrachtet werden mit n = 5 und p = 0,5.

a) Gesucht ist P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

 

0 5 0 5

5

1 5 1 4 5

5

2 5 2 2 3

k P X k

5 1 1 1 1 1

0 1 1

0 2 2 2 2 32

5 1 1 5 1 1 1 1 5

1 5 5

1 2 2 1 2 2 2 2 32

5 1 1 5 4 1 1 1

2 10

2 2 2 2 1 2 2 2









            

           

 

                 

                  

 

            

                 

 

5

5

3 5 3 3 2 5

5

4 5 4 4 1 5

5

1 10

10 2 32

5 1 1 5 4 3 1 1 1 1 10

3 10 10

3 2 2 3 2 1 2 2 2 2 32

5 1 1 5 4 3 2 1 1 1 1 5

4 5 5

4 2 2 4 3 2 1 2 2 2 2 32

5





   



                 

                    

 

                  

                     

 

    1 ⁵ 1 ^{5 5} 5 4 3 2 1       1 ⁵ 1 ⁰   1 ⁵   1  1

A2

b) (1) Höchstens 3 mal Wappen bedeutet:

^{P X}





32 32 32 32 32

      

(2) Weniger als 3 mal Wappen bedeutet:

^{P X}





32 32 32 32

     

(3) Mindestens 1 mal Wappen bedeutet:

^{P X}





32 32 32 32 32 32

       

(4) Mehr als 1 mal Wappen bedeutet:

^{P X}





32 32 32 32 32

      

A3 a) Säulendiagramm der Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 131415 1617 181920 0.02

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

P k( )

k

b) (1) Die Wahrscheinlichkeit P(X = 10) kann aus der Tabelle, bzw. aus dem Diagramm abgelesen werden.

 

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 10 mal Wappen beträgt:

P X10 0,176

b) (2) Höchstens 15 mal bedeutet P X





     

Mindestens 7 mal bedeutet:

P X7 P X20 P X6  1 0,0580,942 b) (4)

     

Mindestens 6 mal und höchstens 16 mal bedeutet

P 6,7,...16 P X16 P X5 0,999 0,021 0,978

A4 a) ^{P X}













Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten mehr als 20 Aufgaben richtig zu beantworten ist kleiner als 0,001 (0,1%).

b) ^{P 10}







 



Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,565 (56,5%).

c) ^{P X}





Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten weniger als 10 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,444 (44,4%).

d) ^{P X}







 



Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten genau 15 Aufgaben richtig zu beantworten ist 0,03 (3%).

A5 _{n20 und p0,5  10 ;  5 2,236}

a) ^{P X 12}









c) ^{P X}









A6 1 50

n 60 und p 10 ; 2,887

6 6

       

a) ^{P X}









c) ^{P 7}









A7 _{n100 und p0,1  10 ;  9 3,00}

a) ^{P X}









c) ^{P 6}









A8 a)

 

 

     

        



      

    

    

n 150 p 0,28 n p 150 0,28 42

n p 1 p 42 0,72 30,24 5,499 3 95% Umgebung : [...{ ?...42...? }...]

z 1,96 r z 1,96 5,499 10,778 r 42 10,778 31,22

r 42 10,778 52,78

b)

 

 

     

        



      

    

    

n 250 p 0,7 n p 250 0,7 175

n p 1 p 175 0,3 52,5 7,246 3 95% Umgebung : [...{ ?...175...? }...]

z 1,96 r z 1,96 7,246 14,2 r 175 14,2 160,8

r 175 14,2 189,2