DOWNLOAD. Kreuzdach. Karl Charon, Matthias Römer. Raumvorstellung erwerben und üben. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

(1)

Raumvorstellung erwerben und üben Klasse 5–10

Zusammengesetzte Körper in der Geometrie

Karl Charon, Matthias Römer

Kreuzdach

Zusammengesetzte Körper in der Geometrie Raumvorstellung erwerben und üben

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

DOWNLOAD

(2)

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen

Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte

(einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch.

Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.

Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

(3)

1. Raumgeometrie – ein kurzer Überblick

Einführung

Raumvorstellung: Kein Mathematiklehrer würde infrage stellen, dass die Einsichten in die Eigenschaften des Raumes, der uns umgibt, eine der zentralen Aufgaben des Mathematikunterrichts darstellen. Das Arbeiten im Anschauungsraum (Holland 1996) beginnt bereits in der Grundschule, wenn man sich einfachen Körpern annähert, Unterschiede und Gemeinsamkeiten erkennt und benennt. Hierbei spielen noch nicht so sehr konkrete definierende Eigenschaften einzelner geometrischer Körper eine zentrale Rolle, sondern vielmehr das Erfahren und Begreifen der Eigenschaften und auch das Bezeichnen dieser Körper, ihrer Teile und einfacher Relationen zueinander.

Die Kopfgeometrie ist ebenfalls ein wesentlicher Bestandteil dieser Erfahrungen. Damit werden jene Übun- gen und Aufgaben bezeichnet, die eine mentale Repräsentation des Raumes und ein Bewegen in diesem ermöglichen und einüben. So zählt das klassische Würfelkippen mit dem Schaumstoffwürfel (siehe Kasten) ebenso dazu, wie die Fähigkeit, mental zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Darstellungen hin und her zu wechseln. Auch das Arbeiten mit Körpernetzen kann als kopfgeometrische Übung eingesetzt werden. Setzt doch das Auseinander- und Zusammenfalten von Körpern bzw. Körpernetzen gute Raumvor- stellung voraus. Ebenso kann die Identifikation vertikaler und horizontaler Orientierung, die Verschiebung und die Rotation von Objekten im Raum dazugezählt werden.

Würfelkippen mit dem Schaumstoffwürfel

Ein Schaumstoffwürfel wird mit einer bestimmten oben liegenden Augenzahl den Schülern präsentiert.

Die Schüler dürfen den Würfel und seine sichtbaren Augen genau betrachten. Danach müssen die Schüler die Augen schließen und der Würfel wird durch die Lehrperson nach vorne, rechts, links oder hinten mehrmals gekippt und den Lernenden mitgeteilt. Das Ziel ist es, die Augenzahl anzugeben, die nach mehreren Kippvorgängen oben liegt.

Das Arbeiten mit und in der räumlichen Geometrie ist einer der Schwerpunkte des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I, zumindest wenn man den administrativen Vorgaben glauben mag. Kadunz und Sträßer (2009, S. 200) fassen die Essenz der deutschsprachigen Lehrpläne in drei Verfahrensweisen zusammen:

⏺ „die räumliche Wahrnehmung (im Sinne des Aufnehmens von räumlichen Konfigurationen, aber auch das Lesen ebener Darstellungen räumlicher Konfigurationen),

⏺ die räumliche Vorstellung (im Sinne des Umgangs des Schülers / der Lehrerin mit räumlichen Fragestel- lungen; das heißt mentales, kognitives Umgehen mit räumlichen Fragestellungen),

⏺ die Konstruktion (im Sinne des Zeichnens, Abwickelns, Bauens, d. h. der handelnde Umgang mit räum- lichen Situationen.“

Sie weisen darauf hin, dass gerade in der Orientierungsstufe im Bezug auf den Umgang mit geometrischen Objekten mit Handlungen ein Schwerpunkt gesetzt werden sollte. Der Schwerpunkt bei diesen Tätigkeiten liegt eben nicht im Berechnen, sondern in der Wahrnehmung und der mentalen Ordnung und Orientierung.

Geometrie wird somit auch als ein strukturgebender Überbau erfahren, der es leisten kann, in Erfahrungen und Wahrnehmungen Ordnung zu bringen und für diese Ordnung auch Begriffe bereitzustellen. Dies ist Voraussetzung für weitere Ziele des Geometrieunterrichts, z. B. der Fähigkeit, Probleme zu lösen oder logische Argumentationen nachzuvollziehen und selbst zu gestalten.

(4)

Administrative Vorgaben

Die Bildungsstandards liefern einen guten Überblick über die zu erreichenden Ziele in den einzelnen Leit- ideen. Oft wird hier – besser als in Lehr- und Bildungsplänen – aufrissartig das Kompetenzspektrum erfass- bar. Für die Primarstufe führen die Bildungsstandards in der Leitidee „Raum und Form“ unter anderem folgende Kompetenzziele zum Ende der Jahrgangsstufe 4 auf (KMK 2005):

sich im Raum orientieren

⏺ über räumliches Vorstellungsvermögen verfügen,

⏺ räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und nutzen (Anordnungen, Wege, Pläne, Ansichten),

⏺ zwei- und dreidimensionale Darstellungen von Bauwerken (z. B. Würfelgebäuden) zueinander in Bezie- hung setzen (nach Vorlage bauen, zu Bauten Baupläne erstellen, Kantenmodelle und Netze untersuchen).

geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

⏺ Körper und ebene Figuren nach Eigenschaften sortieren und Fachbegriffe zuordnen,

⏺ Körper und ebene Figuren in der Umwelt wiedererkennen,

⏺ Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusam- menfügen, Ausschneiden, Falten …),

⏺ Zeichnungen mit Hilfsmitteln sowie Freihandzeichnungen anfertigen.

einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

⏺ Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen.

Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen

⏺ die Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen und durch Auslegen mit Einheitsflächen messen,

⏺ Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen,

⏺ Rauminhalte vergleichen und durch die enthaltene Anzahl von Einheitswürfeln bestimmen.

Viele der bereits in der Primarstufe angestrebten Kompetenzziele sind beim Arbeiten mit geometrischen Körpern umsetzbar. Für die Sekundarstufe finden sich in den Bildungsstandards für den Hauptschulab- schluss (KMK 2004 a) sowie für den Mittleren Bildungsabschluss (KMK 2004 b) unter anderem in der Leitidee Raum und Form folgende Kompetenzziele:

Die Schülerinnen und Schüler ...

⏺ erkennen und beschreiben geometrische Objekte und Beziehungen in der Umwelt,

⏺ operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,

⏺ fertigen Netze, Schrägbilder und Modelle von ausgewählten Körpern an und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,

⏺ stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,

⏺ analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des Raumes,

⏺ erkennen und erzeugen Symmetrien,

⏺ wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen und Berechnungen an, insbesondere den Satz des Pythagoras,

⏺ zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel, wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware,

⏺ setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.

(5)

Situation in der Schule In der Sekundarstufe I wird die Arbeit der Primarstufe in der Regel fortgeführt. Besonders in den Klassen- stufen 5 und 6, wenn die Vorstellung des Volumenbegriffes ausgeschärft wird und die Berechnung von Oberfläche und Volumen des Quaders oder aus Quadern zusammengesetzter Körper fokussiert wird, sind handelnde Erfahrungen mit Körpern immer noch von zentraler Bedeutung.

Hier werden die entscheidenden Bausteine für ein gelingendes geometrisches Verstehen gelegt. Viele praktische Übungen: Falten, Schneiden, Kleben bilden einen wichtigen Bestandteil in der Geometrie in der Orientierungsstufe. Gerade Begriffsbildung steht im Fokus dieser Altersklasse. Die Fähigkeit, nicht nur Prototypen zu erkennen, sondern Figuren und Körper aber auch Abbildungen und Relationen aufgrund ihrer charakteristischen (definierenden) Eigenschaften zu identifizieren und zu klassifizieren, sind wichtige Ziele in diesen Jahrgangsstufen. Gleiches gilt für die Begriffe Umfang, Flächeninhalt und Volumen – die zentralen Größen im Umgang mit geometrischen Objekten. Hierdurch sind auch die direkten Verbindungen mit der Leitidee Messen gesetzt, welche ebenfalls einen hohen Stellenwert in der Orientierungsstufe einnimmt.

Es wird ebenfalls klar, welche Rolle Geometrie, auch im Raum, für verschiedene Kompetenzbereiche besitzt.

Diesen Aspekt sollte man sich stets vor Augen führen und die Prozesse im Umgang mit geometrischen Objekten dementsprechend betonen.

Situation in der Schule

Leider zählt die Geometrie später in der Sekundarstufe nicht zu den Schwerpunkten im Mathematikunter- richt sondern wird häufig vernachlässigt. Roth und Weigand (2015, S. 4) notieren hierzu folgerichtig: „Be- trachtet man aktuelle Lehrpläne [...], so erscheint die Raumgeometrie weitgehend nur noch als ein Übungs- feld für Längen-, Flächen-, Volumen- und gelegentlich noch trigonometrische Berechnungen“. Das praktische Arbeiten mit echten geometrischen Körpern findet nur noch selten statt, allenfalls werden Plexiglaskörper oder ähnliches zur Verfügung gestellt aber nicht in ausreichender Anzahl, sodass jeder Schüler einen solchen in den Händen halten kann. Eine lobenswerte Ausnahme stellen in diesem Zusammenhang das Material Klickies (www.mued.de/html/material/m4-klickies.html, Download: 26. September 2019) und ähnliche Materialien sowie die GeoEasy-Sets (Lambert, Römer 2011) dar, die aufgrund ihrer einfachen Beschaffenheit auch in höheren Klassenstufen (Raum-)Erfahrungen ermöglichen und nicht nur Volumenbe- rechnungen und Oberflächenberechnungen in den Vordergrund stellen. Zu beiden Materialien gibt es umfangreiches Begleitmaterial, welches neben didaktischen Hinweisen vor allem Arbeitsaufträge und deren Kommentierung beinhaltet.

Die Oberstufe wiederum betrachtet die Geometrie meistens nur aus dem analytischen Standpunkt heraus.

Vielen Oberstufenschülern dürfte gar nicht klar sein, dass das Rechnen mit Vektoren prinzipiell auch eine geometrische Tätigkeit darstellt. Dabei zählt gerade das Koordinatisieren schon in der Sekundarstufe I zu den wichtigsten Zielen auch im dreidimensionalen Raum.

Viele der in der Grundschule und in den unteren Klassenstufen der Sekundarstufe gemachten Erfahrungen scheinen später einfach verschwunden zu sein. Viele Schüler verwechseln Oberfläche und Volumen, können sich mental dreidimensionale Objekte nur schwer vorstellen und entwickeln kein funktionales, dynamisches Denken im Bezug auf den uns umgebenden Raum. Dabei stehen uns durch dynamische Geometriesysteme mittlerweile mächtige Hilfsmittel zur Verfügung. Dafür aber werden Formeln auswendig gelernt und Einhei- ten umgerechnet. Tätigkeiten, die zwar nützlich sind, aber nur wenig mit der tatsächlichen Geometrie im Raum zu tun haben.

(6)

Grundlegende Tätigkeiten

Im reinen Geometrieunterricht und in der Beschäftigung mit Objekten und Relationen in der Geometrie werden genuin mathematische Kompetenzen ausgebildet, welche so in anderen mathematischen Teil- gebieten nicht in gleicher Weise erworben werden können.

Suchen und erkunden

Grundlegend sind elementare Tätigkeiten, die das Erkunden und Suchen an Körpern und im Raum fördern.

Dabei spielen bereits Vorstellungen eine Rolle, die mental aus ebenen Darstellungen räumliche entstehen lassen. Denn, ob zwei Kanten die gleiche Länge haben, kann man im Schrägbild nicht messen, man kann sich den zugehörigen Körper aber vorstellen und sich an diesem dann die Längen erschließen.

Zeichnen und skizzieren

Räumliches Vorstellungsvermögen ist nicht denkbar ohne Zeichnungen. Das Abbilden bzw. Projizieren der dreidimensionalen Gebilde auf das Zeichenblatt erfordert eine genaue Vorstellung von Form und Beschaf- fenheit eines geometrischen Körpers und überdies vor allem Kenntnis der unterschiedlichen Projektions- möglichkeiten. Oft beschränken sich Kollegen auf das klassische Schrägbild, je nach Literatur auch als Kavalier- oder Kabinettprojektion bezeichnet, ohne dabei zu berücksichtigen, dass in vielen Berufsfeldern andere Projektionsmöglichkeiten genutzt werden, weil sie gegenüber dem klassischen Schrägbild Vorteile besitzen. So bietet sich bei kreisrunden Grundflächen oft die sogenannte isometrische Projektion an und bei vielen Problemstellungen ist die Dreitafel-Projektion, bestehend aus Grundriss, Seitenansicht und Drauf- sicht, oft Mittel der Wahl.

Probleme lösen

Bereits bei Holland (1996) wird die herausragende Rolle der Geometrie beim Erwerb von Problemlösekompe- tenzen herausgestellt. Aufgrund der Vielfalt der Fragestellungen aber auch durch die Übertragbarkeit vieler Situationen aus unserem täglichen Umfeld sind geometrische Probleme nicht nur besonders geeignet, sondern auch in hohem Maße motivierend, um Strategien und Heuristiken bei den Schülern zu verankern.

Kuzle und Bruder (2016, S. 5 f.) betonen dabei vor allem folgende Strategien, die bei zahlreichen Fragestel- lungen hilfreich sind und die auch auf einer Metaebene immer wieder thematisiert werden können:

⏺ Vorwärtsarbeiten (aus der gegebenen Situation heraus Folgerungen entwickeln),

⏺ Rückwärtsarbeiten (aus dem gegebenen Ziel den Weg dorthin folgern),

⏺ Kombinationen aus Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten,

⏺ Nutzung von Analogien,

⏺ Zurückführen auf Bekanntes.

Darüber hinaus wird die überragende Rolle des Zerlegungs- und Ergänzungsprinzips in der Geometrie betont. Pragmatisch und auch durch Unterrichtstraditionen geprägt liegt uns das erste Prinzip näher, jedoch lohnt es sich auch, mithilfe von Ergänzungen klassische Probleme in der Stereometrie anzugehen.

Die Fragestellungen zu den Körpern enthalten eine Reihe von Hinweisen darauf. Gleiches gilt natürlich auch bei Flächen etc. Hierzu leistet die DGS einen wertvollen Beitrag. Denn dadurch können – wenn die Dateien entsprechend gestaltet sind – mentale Variationen nachgeprüft und nachvollzogen werden.

Ein wichtiges Instrument, um die Strategien dauerhaft anwendbar zu machen, aber auch um logische Argumentationen und damit auch ein Verständnis für Zusammenhänge zu entwickeln, ist die konsequente Einforderung von Beschreibungen und Reflexionen der eigenen Tätigkeiten beim Problemlösen. Nur so werden eigene Gedankengänge und Überlegungen sichtbar, können aber auch im Nachhinein wieder

(7)

Grundlegende Tätigkeiten überprüft und gegebenenfalls korrigiert werden. Für viele Schüler erscheinen diese Tätigkeiten oft überflüs- sig und unnötig, dennoch sollte man auf keinen Fall darauf verzichten. Die bei Kuzle und Bruder (2016, S. 8) abgedruckte Tabelle mit Leitfragen zum Problemlöseprozess kann in modifizierter Form sicherlich auch eine Hilfe darstellen und durch eigene Hinweise ergänzt werden:

vorher beim Problemlösen nachher

⏺ Worum geht es?

⏺ Was ist gegeben?

Was ist gesucht?

⏺ Was ist das Ziel?

⏺ Was weiß ich dazu schon?

⏺ Wie will ich vorgehen?

⏺ Bild / Skizze

⏺ bekannte Sätze / Zusam- menhänge / Formeln

⏺ Lösungsplan

⏺ Ist das Ergebnis richtig?

⏺ Wie war mein Lösungsweg?

⏺ Welche Sätze / Zusammenhänge / Formeln habe ich genutzt?

⏺ Welche Strategien habe ich genutzt?

Begriffe bilden

Der Erwerb geometrischer Begriffe beginnt normalerweise in der ebenen Geometrie und wird in der Raum- geometrie konsequent weiter betrieben. Dazu zählt nicht allein die Kenntnis des richtigen Wortes, sondern

„das Verständnis dieser Begriffe [zu] entwickeln, d. h., angemessene Vorstellungen und Kenntnisse über diese Begriffe sowie Fähigkeiten im Umgang mit diesen Begriffen und deren Eigenschaften […]” (Roth und Weigand 2015, S. 5). Dabei wird in der Geometrie stets herausgestellt, wie zentral es ist, diese Begriffe in Handlungen zu erwerben und auch zu reflektieren. Diese operative Begriffsbildung führt im Idealfall zu einer Verankerung in den mentalen Strukturen. Ein wichtiges Argument für handelnde Arbeitsaufträge an geometrischen Körpern, die stets auch Varianten und flexibles Denken miteinschließen.

Diese Aufstellung zentraler Tätigkeitsfelder macht die Bedeutung der Stereometrie innerhalb der Geometrie aber auch innerhalb der Schulmathematik rasch deutlich. Im Unterricht sollte dies stets präsent sein, um eine übergreifende Zielperspektive nicht durch Tätigkeiten zu überdecken, deren Wert für das Ausbilden geeigneter Vorstellungen eher gering ist.

(8)

2. Anleitung

Zum Aufbau

Zu dem Körper findet sich eine Aufgabenauswahl sowie mindestens eine zugehörige GeoGebra-Datei. Die Aufgaben sind in drei Komplexitätsstufen gegliedert, die sich sowohl im Anforderungsniveau, den benötig- ten mathematischen Werkzeugen als auch im Anforderungsbereich unterscheiden.

Dabei können die vorgestellten Aufgaben nur exemplarisch sein, denn zu dem Körper lassen sich viele weitere Aufgaben finden. Manchmal kann es sogar eine methodisch sinnvolle Möglichkeit sein, die Schüler selbst Aufgaben zu dem Körper vorschlagen zu lassen.

Es wurde versucht, die beschriebenen zentralen Tätigkeiten bei dem Körper zu verankern und dazu jeweils mindestens einen Arbeitsauftrag zu formulieren.

Eine Auswahl aus den Aufgaben treffen

Auf keinen Fall sollten alle Aufgaben zu einem Körper bearbeitet werden. Das wird auch zeitlich kaum möglich sein. Vielmehr soll anhand des Kompetenzschwerpunktes, der Situation der Lerngruppe, eventuell auch der eigenen Vorlieben als Lehrkraft eine Auswahl aus den Aufgaben getroffen werden. Aus diesem Grunde sind alle Aufgabenblätter auch editierbar digital vorhanden, um daraus ein eigenes Aufgabenblatt herzustellen.

Lösungen und didaktischer Kommentar

Alle Aufgaben wurden didaktisch kommentiert und mit Empfehlungen zum Einsatz versehen. Lösungs- vorschläge sind jeweils angegeben bzw. skizziert und leisten somit eine wertvolle Hilfe beim Einsatz.

GeoGebra-Dateien

Die GeoGebra-Dateien, die den einzelnen Körpern hinzugefügt sind, haben nicht nur illustrierenden Charak- ter. Vielmehr können auch sie zu einzelnen Aufgaben unterstützend genutzt werden bzw. werden teilweise sogar eigene Aufgaben zu den Dateien formuliert. Hierbei ist zu beachten, dass eventuell bestimmte Ansich- ten ausgeblendet werden müssen (z. B. das Algebra-Fenster). Die GeoGebra-Dateien können auch genutzt werden, um weitere Abbildungen zu den Körpern zu generieren. Dies ist in der 3-D-Ansicht einfach zu bewerkstelligen, auch lassen sich verschiedene Arten der Projektion einstellen.

Einstellung der Projektionsart Einstellung der Ansicht Abbildung 1: Einstellungsarten

Standardmäßig sind dies beim Schrägbild ein Winkel von 30° und eine Verkürzung der nach hinten gehen- den Kanten um 0,5. In dieser Darstellung liegen in der Regel auch die Abbildungen der Körper im vorliegen-

Abbildung mit GeoGebra erstellt

(9)

GeoGebra-Dateien den Buch vor. Über die Grafikeinstellungen von GeoGebra lassen sich aber auch leicht andere Darstellungen erzeugen:

Schrägbild

Einstellung Winkel 45°, Verkürzung 0,5

Dies ist die in den meisten Schulbüchern vorge- schlagene Darstellungsart.

Isometrie

Alle Kanten sind gleich lang. Für diese Abbildung muss man die Einstellung Orthografik wählen.

Schrägbild

Dies ist das Schrägbild, das man erhält, wenn man eine Kästchendiagonale im Heft als einen verkürz- ten Zentimeter zeichnet.

Schrägbild

Dies ist das Schrägbild, das bei GeoGebra standard- mäßig eingestellt ist. Im vorliegenden Buch sind die meisten Abbildungen in dieser Art gestaltet.

Abbildung 2: Darstellungsarten

Bei der Erstellung der Aufgaben wurde darauf geachtet, dass der Körper möglichst umfänglich untersucht, betrachtet und analysiert wird. Die Aufgaben dienen vor allem dazu, sich mit dem Körper in all seinen Facetten auseinanderzusetzen. Für einige Aufgaben können auch Selbstkontrollmöglichkeiten geschaffen werden, sodass hierzu keine ausführliche Betreuung notwendig ist. So können Netze gezeigt und eingefärb- te Körper vorbereitet werden.

Auch nicht vergessen werden sollte, dass es sich bei dem abgebildeten Körper um ein Modell handelt, welches bereits in idealisierter Form dargestellt ist und so in unserer Umwelt nicht vorhanden ist (sein kann). Gerade aber das Lesen und Schreiben des Modells ist ein wichtiger Baustein für das Zurechtfinden im Anschauungsraum und sollte in jedem Fall überproportional betrieben werden. Die verbale Beschrei-

2. Anleitung

(10)

Geometrische Körper basteln einzelnen Objekte durch Variablen oder auch die Vorgabe konkreter Größen sind wichtige Tätigkeiten, welche im klassischen Geometrieunterricht eher unterrepräsentiert sind. Lesen und Schreiben der Objekte leisten auch wertvolle Beiträge zur Begriffsbildung und deswegen müssen auch scheinbar einfache Be- zeichner immer wieder im Dialog hinterfragt werden.

Geometrische Körper basteln

Dem Basteln geometrischer Körper im Mathematikunterricht sollte unbedingt Raum gegeben werden.

Dabei gilt es, nicht nur Würfel und Quader in den Blick zu nehmen, sondern auch komplexere Körper. So lohnt es sich zum Beispiel für den Beginn, einen Quader und einen Würfel aufeinanderzukleben, um dadurch einen zusammengesetzten Körper entstehen zu lassen. Auch mithilfe von zusammengeklebten Verpackungen kann es gelingen, neue geometrische Körper zu gestalten, die abwechslungsreichere Frage- stellungen erlauben (vgl. Böer et al. 2016, S. 46 ff.). Nicht alle Körper lassen sich mithilfe eines Bastelbogens nachbauen, aber das Ausschneiden aus einer Kartoffel bzw. das Nachbilden mit Knete ist in den meisten Fällen möglich und führt dazu, dass die Körper begriffen und erfasst werden können und das im doppelten Sinne. Im Folgenden sind Realisationen von Körpern mit Angaben zu den verwendeten Materialien abgebil- det.

Treppe

Steckbausteine

Würfel ohne Würfel Steckrahmen

Würfel ohne Pyramide Knetmasse

Würfel ohne Kreuz

Steckwürfel aus Kunststoff

Gerüst

Holzstäbchen / Klebepaste

Pergola

Holzstäbchen / Heißkleber

(11)

Geometrische Körper basteln

Podest Holz

Halber Würfel Plexiglas / Wasser

Diamant Kartoffel

Abbildung 3: Realisationen von Körpern

Kreuzdach Knetmasse

Schmuckstück Papier

Stehen die Körper in den Händen der Schüler zur Verfügung, so kann man auch andere Fragen stellen und andere Probleme aufwerfen als bei klassischen Schulbuchaufgaben.

(12)

Körper Kreuzdach

Abbildung

A

B

C

(13)

Körper Kreuzdach

Aufgaben

Kreuzdach I

1. Gib die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen des Kreuzdaches an.

2. Markiere alle rechten Winkel im Körper.

3. Markiere gleich lange Kanten und gleich große Winkel jeweils in einer Farbe.

4. Ergänze das Schrägbild so, dass ein Quader entsteht.

5. Zeichne Seitenansichten des Körpers aus den Blickrichtungen A, B und C.

Kreuzdach II

1. Beschreibe, aus welchen Flächen die Oberfläche des Körpers zusammengesetzt ist.

2. Zeichne ein Netz des Körpers. Beschreibe dein Vorgehen.

3. Welche Angaben werden (mindestens) benötigt, um die Oberfläche des Körpers zu berechnen?

Kreuzdach III

1. Welche Angaben werden (mindestens) benötigt, um das Volumen des Körpers zu berechnen?

2. Gib konkrete Maße vor, die zu einem echten Dach passen könnten und

berechne Oberfläche und Volumen des Daches.

Dynamische Geometriesoftware (DGS)

1. Variiere die einzelnen markierten Punkte. Beschreibe deine Beobachtungen.

Was geschieht mit dem Körper?

(14)

Körper Kreuzdach

Lösungen / Kommentar

Kreuzdach I

Die ersten Aufgaben dienen dazu, sich mit dem Körper auseinanderzusetzen. Vor allem das Markieren rechter Winkel und gleicher Kantenlängen leistet Vorarbeit für die weiteren Aufgaben, wenn z. B. Volumen und Oberflä- cheninhalt untersucht werden sollen.

Aufgabe 1: Der Körper besitzt 9 Ecken, 13 Flächen und 18 Kanten. Betrachtet man nur das „Dach“ dann reduzieren sich die Anzahlen auf 9 Ecken, 12 Flächen und 14 Kanten.

Aufgabe 2: rechte Winkel (nicht vollständig)

Aufgabe 3:

gleich lange Kanten (Auswahl) gleich große Winkel (Auswahl)

Aufgabe 4: ergänztes Schrägbild

(15)

Körper Kreuzdach

Lösungen / Kommentar

Aufgabe 5:

Seitenansicht A und C Seitenansicht B

Kreuzdach II

Aufgabe 1: Die Oberfläche besteht aus der Grundfläche (Quadrat), vier gleichschenkligen Dreiecken sowie acht rechtwinkligen Dreiecken.

Aufgabe 2: Netz des Körpers

Entscheidend für die Konstruktion des Netzes ist der in der Zeichnung markierte rechte Winkel und die Erkennt- nis, dass der daran anliegende Schenkel halb so lang wie die Grundkante des Kreuzdaches ist.

Aufgabe 3: Um die Oberfläche des Körpers berechnen zu können, benötigt man die Länge der Grundkante sowie entweder die Höhe der gleichschenkligen Dreiecke bzw. die Seitenlänge der gleichschenkligen Dreiecke. Die jeweils andere Länge kann mit Pythagoras berechnet werden. Ist der Satz des Pythagoras nicht vorhanden, braucht man entsprechend mehr Angaben (wenn man keine Alternativen zur Berechnung hat, z. B. maßstäblich verkleinert konstruiertes Dreieck).

(16)

Körper Kreuzdach

Lösungen / Kommentar

Kreuzdach III

Aufgabe 1: Um das Volumen des Körpers zu analysieren, gibt es zwei Möglichkeiten:

Erste Möglichkeit: Man kann sich den Körper unterteilt vorstellen. Es gibt hier verschiedene Zugänge. Eine Möglichkeit ist folgende – in die Mitte des Körpers kann man sich eine quadratische Pyramide denken.

Die Seitenteile sind jeweils „schiefe Tetraeder“, die als Grundfläche das exponierte gleichschenklige Dreieck haben und eine Höhe, die der halben Grundkantenlänge entspricht.

Für die Volumenberechnung werden also die Länge der Grundkante und die Höhe der gleichschenkligen Dreiecke benötigt.

Eine andere Möglichkeit wäre die Unterteilung in eins der oben beschriebenen Tetraeder und in ein Dreiecks- prisma (siehe Zeichnung). Auch hier benötigt man für die Volumenberechnung die gleichen Angaben.

Als dritte Möglichkeit könnte man den Körper zu einem Quader ergänzen (siehe „Kreuzdach I“ Aufgabe 4.) und sich fragen, wie die Körper aussehen, die man zur Ergänzung benötigt. Es handelt sich hierbei um vier quadratische Pyramiden mit der Höhe des Körpers und der Grundfläche, die ein Viertel der Grundfläche des Körpers beträgt. Die vier Pyramiden lassen sich so zusammensetzen, dass die Pyramide im Innern des Kreuzdachs entsteht.

(17)

Körper Kreuzdach

Lösungen / Kommentar

Damit hat das Kreuzdach folgendes Volumen, wenn man als Vergleichsvolumen den umschließenden Quader (V_Quader) nimmt:

V_Dach = V_Quader – V_Pyramide = ²₃ · V_Quader

Die Volumenberechnung bzw. die vorausgehende Analyse lässt sich ideal durch die Aufgabe am DGS begleiten.

Variiert man die Ecken in der Datei sind die Effekte gut zu beobachten.

Aufgabe 2: Unter der Annahme, dass die Grundkantenlänge des Daches a = 5 m und die Höhe h = 8 m beträgt, gelten folgende Berechnungen:

Volumen:

V_Dach = ²₃ · V_Quader = ²₃ · 5² · 8 m³≈ 133 m³

Oberfläche: Die Oberfläche besteht aus vier gleichschenkligen Dreiecken und acht „nach innen ragenden“

rechtwinkligen Dreiecken.

Agleichseitiges Dreieck = ₃¹ · 5 · 8 m²≈ 13,3 m²

Für die, nach innen ragenden, Dreiecke (insgesamt acht Stück) werden die Seitenlängen der gleichschenkligen Dreiecke benötigt. Diese erhält man mit dem Satz des Pythagoras:

s = 2,5² + 8² = 70,25 ≈ 8,4

Damit gilt für den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks:

Ainnen liegendes Dreieck = ¹₃ · 2,5 · 8,4 m²≈ 7,0 m² Die Oberfläche ergibt sich also zu:

O = 4 · Agleichseitiges Dreieck + 8 · Ainnen liegendes Dreieck + 25 m² (Grundfläche) ≈ 134,2 m²

(18)

Literatur

Böer, H. et al. (2016): Mathe Live 10E(N). Stuttgart: Klett

Holland, G. (1996) (2.Aufl.): Geometrie in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum

Kadunz, G., Sträßer, R. (2009) (3.Aufl.): Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe. Hildesheim: Franzbecker Kultusministerkonferenz (2004 a): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss.

Darmstadt: Luchterhand. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_

15-Bildungsstandards-Mathe-Haupt.pdf (Download: 26. September 2019)

Kultusministerkonferenz (2004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss.

Darmstadt: Luchterhand. www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2003/2003_12_04- Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdf (Download: 26. September 2019)

Kultusministerkonferenz (2012): Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife.

Köln: Wolters Kluwer. www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2012/2012_

10_18-Bildungsstandards-Mathe-Abi.pdf (Download: 26. September 2019)

Kultusministerkonferenz (2005): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Beschluss vom 15.10.2004. München, Neuwied: Luchterhand. www.kmk.org/fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_

beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Primar.pdf (Download: 3. Dezember 2019) Kuzle, A., Bruder, R. (2016): Probleme lösen lernen im Themenfeld Geometrie. In: Mathematik lehren. Heft

196/2016, Seelze: Friedrich, S. 2–8

Lambert, A., Römer, M. (2011): Geoeasy – Didaktische Materialien für den Geometrieunterricht. Saarbrücken:

Softfrutti

Roth, J., Weigand, H.-G. (2015): Mathematik im Raum. In: Mathematik lehren, Heft 190/2015, Seelze: Friedrich, S. 2–8

(19)

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.

Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung.

Der AOL-Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus.

Engagiert unterrichten.

Begeistert lernen.

Veritaskai 3 · 21079 Hamburg

Fon (040) 32 50 83-060 · Fax (040) 32 50 83-050 info@aol-verlag.de · www.aol-verlag.de

Redaktion: Janine Worg

Lektorat: Uschi Pein-Schmidt, Sickte

Layout/Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Cover: Roh Pierell

Die Abbildungen in diesem Band wurden mit GeoGebra erstellt.

Bestellnr.: 10304DA10

Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen AOL-Verlagsprogramms finden Sie unter:

Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf www.aol-verlag.de direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit.

Engagiert unterrichten.

Begeistert lernen.

www.aol-verlag.de

Körper in der Geometrie

Karl Charon ist seit fünfzehn Jahren Lehrer für Mathematik und Physik an Gesamt- und Gemeinschafts- schulen im Saarland. Davor schloss er eine Berufsausbildung zum Tischler ab und arbeitete als freiberuflicher Perkussionist. Zurzeit ist er mit einer halben Stelle an den Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität des Saarlandes teilabgeordnet um dort Lehrerfortbildungen zu entwickeln und durchzuführen.

Er ist Vater zweier Söhne.

Matthias Römer ist seit über 20 Jahren Lehrer an Gesamt- und Gemeinschaftsschulen für Mathematik und Sozialkunde. Neben seiner Tätigkeit in der Schule führt er am Landesinstitut für Pädagogik und Medien Fortbildungen für Mathematiklehrerinnen und -lehrer durch und ist an die Universität des Saarlandes, Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik abgeordnet. Er hat einen Sohn.