Bestimmen Sie die m¨oglichen Werte von k und den Wert von A

Ubungen zur Theoretischen Physik V¨ Quantenmechanik II

WS 2004/2005 Prof. H. B¨uttner

Blatt 7 Abgabe: Donnerstag, den 02.12. 2004, bis 14 Uhr vor Zi. 01.504

Aufgabe 17: freie Fermionen in einem W¨urfel

Wir stecken N freie (d.h. nicht wechselwirkende) Elektronen in einen W¨urfel der Kantenl¨ange L, den wir durch die Randbedingungen

φ(x+Lei) =φ(x) i=x, y, z

f¨ur eine Einteilchenwellenfunktion φ(x) beschreiben. (Wir arbeiten also, wie es auch der Rest der Welt aus guten Gr¨unden tut, mit periodischen Randbedingungen.) F¨ur das Folgende nehmen wir stets an, dassL hinreichend groß ist, um bestimmte N¨aherungen zu rechtfertigen (genauer gesagt:

wir betrachten das System im thermodynamischen Limes L→ ∞ mitN/L³ =const.).

(a) Die Einteilchenwellenfunktionen haben die Form φ(x) = Aexp(ik·x). Bestimmen Sie die m¨oglichen Werte von k und den Wert von A. Ber¨ucksichtigt man zus¨atzlich noch den Spin der Elektronen, liefern diese Wellenfunktionen eine Ein-Teilchen-Basis |k, σi, wobei σ =±¹₂ diez−Komponente des Spins bezeichnet. Diese Basis ist Eigenbasis des Impuls- und Hamil- tonoperators: bestimmen Sie die zugeh¨origen Eigenwerte.

(b) Im Grundzustand sind alle Zust¨ande bis zu einer gewissen Wellenzahlk_F, der Fermi-Wellenzahl, besetzt. Der Grundzustand schreibt sich in zweiter Quantisierung als

|ψi= Y

k≤k_F

Y

σ

c^†_kσ|0i

wobeic^†_kσfermionische Erzeuger in der obigen Einteilchenbasis sind und|0idas (Fock-)Vakuum ist. Bestimmen Sie den Wert von k_F und die Gesamtenergie.

(c) Die spinabh¨angige Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion im Grundzustand ist durch G_σσ′(x,x^′) =hψ

c^†_xσcxσc^†_x′σ^′c_x′σ^′

ψi

definiert. Was ist die physikalische Bedeutung der Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion?

Berechnen Sie ihren Wert (betrachten Sie die F¨alle σ =σ^′ und σ 6=σ^′ getrennt), und inter- pretieren Sie Ihr Ergebnis.

Zusatzfrage: was ¨andert sich, wenn wir statt Fermionen Bosonen betrachten?

Aufgabe 18: wechselwirkende Fermionen in einem W¨urfel

In der vorherigen Aufgabe haben wir uns das Leben etwas zu einfach gemacht: reale Elektro- nen wechselwirken durch Coulomb-Abstoßung U(x,x^′) = _|x−x^e2 ′|. Wir nehmen zus¨atlich an, der W¨urfel sei homogen positiv geladen, mit einer Ladungsdichte ρ0, die gerade so groß ist, dass der W¨urfel nach außen neutral ist. Zeigen Sie, dass der entsprechende Hamiltonoperator in zweiter Quantisierung durch

H =X

k

εkc^†_kσckσ+ e² 2L³

X

k,k^′,q6=0

4π

q²c^†_k+q,σc^†_k′−q,σ^′c_k^′_σ′ckσ

gegeben ist, wobei wir die eben eingef¨uhrte Einteilchenbasis|k, σi benutzen, ε_k = ^~₂²_m^k2 setzen und implizit ¨uber die Spinindizesσ, σ^′ summieren. Dabei ist in der zweiten Summe der Fallq= 0 ausge- schlossen, der entsprechende Beitrag hebt sich gerade gegen die Wechselwirkung der Elektronen mit dem positiven Ladungshintergrund auf. (Das brauchen Sie nicht explizit zu zeigen, konzentrieren Sie sich auf die Wechselwirkung der Elektronen untereinander.)

Best¨atigen Sie, dass der Operator Nσ = P

kc^†_kσckσ mit H kommutiert. Welche physikalische Ei- genschaft spiegelt sich hier wider?

Berechnen Sie schließlich die Grundzustandsenergie dieses wechselwirkenden Systems in erster Ord- nung St¨orungsrechnung. Welchen Druck hat das System (P =−^∂E_∂V)?

Aufgabe 19: fermionische Kletteroperatoren Eine letzte Aufgabe zur Entspannung:

der Operator c mit Adjungiertem c^† erf¨ulle {c, c} = {c^†, c^†} = 0, {c, c^†} = 1, wobei der Anti- kommutator zweier Operatoren {A, B} = AB+BA definiert ist. Bestimmen Sie die Eigenwerte von n:= c^†c unter der Annahme, dass genau ein Zustand |0i mit c|0i = 0 existiert (mit anderen Worten, 0 ist nicht entarteter Eigenwert von c ).

(Gehen Sie analog zur Behandlung der Kletteroperatoren beim harmonischen Oszillator vor.)