Rayleigh-Jeans: Black-Body Emissions

(1)

Grundlagen der Quantentheorie

Ein Schwarzer Körper (Schwarzer Strahler, planckscher Strahler, idealer schwarzer Körper) ist eine idealisierte thermische Strahlungsquelle:

Alle auftreffende elektromagnetische Strahlung jeglicher Wellenlänge wird vollständig absorbiert (reale Körper reflektieren Anteile).

Gleichzeitig sendet der Scharze Körper Wärmestrahlung in Form

elektromagnetischer Strahlung aus, deren Intensität und spektrale Verteilung nur von der Temperatur abhängt (unabhängig von der Beschaffenheit des Körpers und seiner Oberfläche ist ).

Die Wärmestrahlung des schwarzen Körpers ist bei jeder Wellenlänge stärker als die eines realen Körpers gleicher Fläche und gleicher Temperatur.

(2)

Boltzmann: Strahlung schwarzer Körper

Strahlungsleistung (P_em) in Abhängigkeit von Fläche (A) und Temperatur (T)

4

5 4

8 -2 -4

3 2

Stefan Boltzmann Konstante

2 5.670 10 W m K

15

em

B

P A T

k h c

σ

σ π ⁻

=

 

= =  

(3)

Rayleigh-Jeans: Black-Body Emissions

passt für grosse Wellenlängen für kleineWellenlängen:

UV-Katastrophe (λ→0, ρ→∞) 4

23 -1

8 1.4 10 J K

B

d d

k T k

ε ρ λ

ρ π

λ

−

=

 

=  

ε =

Energie des Feldes pro Volumeneinheit im Inneren des schwarzen Körpers

∆ε für λ + d λ

Annahmen:

Strahlung entsteht durch thermische Anregung geladener Teilchen im Inneren der Wand. Die mittlere kinetische Energie jedes Teilchens ist gleich gross (klassische Gleichverteilung). Im Inneren des Scharzen Körpers bilden sich stehende Wellen aus, die im Gleichgewicht mit der Wand sind.

(4)

Plank: Black-Body Emission

h: Planksches Wirkungsquantum Energie jedes Oszillators ist auf

diskrete Werte beschränkt

Oszillator kann nur angeregt werden, wenn k_BT ≥ hν

(sonst hat die Wand nicht genug thermische Energie)

5

8 1

1

B

hc k T

d d

h c

e

^λ

ε ρ λ

ρ π

λ

=

 

 

=  

−

 

[ ]

34

0, 1, 2, ...

6.62 10 J s

E n h

n h

ν

−

=

(5)

Rayleigh-Jeans als Grenzfall von Planck

x

4 5

5

8 1

1 wenn dann geht 0

da e 1 für 0 gilt

1 1

8 1

8

B

hc k T

B

hc k T

B B

B

h c

e

hc k T

x x

e hc k T hc k T

k T k

h c

h

T c

λ

ρ π

λ λ

π λ

λ λ

λ ρ π

λ λ

 

=  

−

 

→ ∞ →

≈ + →

− ≈ + − =

≈ =

(6)

Planck Postulat

• Elektromagnetische Oszillatoren der Frequenz ν können nur Energien von 0, 1h ν , 2h ν , 3h ν …aussenden/aufnehmen

• Strahlung entsteht bei der Anregung eines Oszillators in einem erlaubten Energieniveau

• Die ausgesandten Teilchen sind PHOTONEN mit festgelegter Energie h ν

• Intensitätserhöhung: Zunahme der Anzahl von Photonen

mit

^h

ν (monochromatische Strahlung)

(7)

Wärmekapazität: Dulong-Petit

Q = C ∆ T

jedes Atom in einem Festkörper besitzt

die gleiche mittlere Energie von 3 k

_B

T (R = N

_A

k

_B

)

,

3

m

m v m

V

U RT

c U R

T

=

∂

 

=   =

∂

 

C = 3R 3 R = 24 [J K

^-1

mol

^-1

] molare isochore Wärmekapazität (c

_V,m

)

U

_m

molare innere Energie

OK bei hohen, falsch bei tiefen Temperaturen.

(tatsächlich geht die Wärmekapazität von Metallen bei tiefen Temperaturen gegen Null)

(8)

Wärmekapazität: Einstein

Einstein (analog zum Planckschen Ansatz):

jedes Atom schwingt mit der Frequenz

ν

um seine Gleichgewichtslage:

E = n h ν

2 ,

2

3

1 daraus 3

mit

1

B

A

m h k T

v m

h k T h k T B

U N h

e

c R f

h e

f k T e

ν

ν ν

ν

= −

=

 

=  

 − 

bei hohen Temperaturen: Einstein → Dulong-Petit,

bei bei T → 0 geht f → 0

(9)

Metallblock UV-Strahlung

Der Photoelektrische Effekt

• Bei Beschuss von Materie mit elektromagnetischer Strahlung werden unabhängig von der Intensität der Strahlung Elektronen freigesetzt ^(die

Frequenz der Strahlung muss allerdings über einem für das Material) charakteristischen Wert liegen)

• Die kinetische Energie der freigesetzten Elektronen steigt linear mit der Frequenz der Einstrahlung, ist jedoch von der Intensität unabhängig

• Selbst bei geringer Intensität werden sofort Elektronen freigesetzt, sobald die Frequenz den Grenzwert überschreitet

(10)

Der Photoelektrische Effekt

Elektromagnetische Strahlung (Licht) ist quantisiert (Einstein)

1

2

2 mv = h ν − φ ¹

²

h ν

2 mv kinetische Energie Ablösearbeit φ

Photonen-Energie

Elektromagnetische Strahlung hat Teilchencharakter Teilchen haben Wellencharakter:

Jedes Teilchen mit Impuls p = m v hat auch eine Wellenlänge λ

h h

p m v

λ = =

(11)

Linienspektrum

verschiedener Elemente im sichtbaren Spektralbereich

Kirchhoff (1844)

erhitzte Atome senden kein kontinuierliches Spektrum aus, sondern diskrete Linien

(„Ein Körper, der Licht absorbiert, sendet auch Licht der selben Wellenlänge aus“)