Ziel: Berechnung der Energieverteilung der Strahlung im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T.

6.2 Schwarzer Strahler , Plancksche Strahlungsformel

Sehr knappe Herleitung der Planckschen Strahlungsformel

Ziel: Berechnung der Energieverteilung der Strahlung im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T.

0 20 40 60 80 100

0 100 200 300 400 500

energieverteilung.opj

Energieverteilungsfunktion L(E,T)

E+dE E

Energieverteilung L(E,T)

Energie E (willk. Einh.)

L(E,T)dE

Energie der Strahlung im Intervall E, E+dE.

Diese Energieverteilung L(E,T) war gegen Ende des 19. Jahrhunderts

experimentell sorgfältig bestimmt worden.

Schwarzkörperstrahlung.

Grundideen:

1) Berechnung der Zahl der Schwingungsmöglichkeiten (Moden) von

elektromagnetischen Wellen in einem Hohlraum, Volumen V = L·L·L, mit perfekt elektrisch leitfähigen Wänden.

2) Multiplikation dieser Modenverteilung mit der Wahrscheinlichkeit, daß diese Schwingungsmode der Energie E = h·ν bei der Temperatur T besetzt ist.

Die Herleitung benutzt in 1) das Wellenbild zur Berechnung der Modendichte.

In 2) wird dann die Lichtquantenvorstellung E = h·ν entscheidend eingesetzt.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

moden01.opj

Ex , Ey

x/L

Licht:

Transversale elektromagnetische Welle E ⊥ Ausbreitungsrichtung

Randbedingung für Schwingungen (stehende Wellen) entlang x:

E

, E

0 für x = 0 und x = L

Die Maxwell-Gleichungen lassen als Lösungen harmonische Schwingungen zu:

) sin(

) sin(

) ,

( x t = A ⋅ k ⋅ x ⋅ ω t + ϕ

E

Beliebige Anfangsphase ϕ ω = 2πν Kreisfrequenz

k_x: k-Vektor der Welle E_y(x,t): elektrische Feldstärke

Eine analoge Lösung ergibt sich auch für E_z(x,t)

Durch die Wahl sin(k_x·x) ist automatisch E_y(0,t) = 0

E_y(L,t) wird dann 0, wenn sin(k_x·L) = 0 wird. k_x·L = n_x·π , n_x = 1,2,3, etc.

D.h. die durch die elektrisch leitfähigen Wände bei x = 0 und x = L aufgezwungenen Randbedingungen führen zu ganz bestimmten erlaubten Werten des Wellenvektors k_x:

etc , 3 , 2 ,

= 1 π ∈

⋅

=

x

n N n

n L

k

die Wellenlänge λ formulieren:

x x

x

n L

n

L 1 2 2 π π ⋅ =

=

λ

Für die zweite Polarisationsrichtung E_z(x,t) gelten die gleichen Randbedingungen.

Für die Schwingungen entlang der y-Richtung und entlang der z-Richtung macht man die gleichen Überlegungen und erkennt, daß für den k-Vektor k nur folgende Lösungen in Frage kommen (nur diese erfüllen die Randbedingungen auf den Begrenzungsebenen):

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ π

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

= L

n n n

k k k

z y x

z y x

k _n

x

, n

, n

= 1,2,3,...

Im k-Raum spannen die möglichen Lösungen ein einfaches kubisches Punktgitter auf.

k

k

k

Ein Punkt im k-Raum nimmt das –Raum Volumen

3

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π

k

L

V

Der Zusammenhang zwischen k und der Frequenz ν ist eine direkte Proportionalität:

ν π ⋅ λ π =

= c

k 2 2 ν = c π ⋅ k

2

Zur Berechnung der Zahl der Schwingungsmoden mit Frequenzen ν im Bereich ν , ν +d ν geht man von einer Summation zu einer Integration im k-Raum über, weil die Moden im k-Raum sehr dicht liegen. Man kann L sehr groß machen, dann ist das Volumen V_k sehr klein. Formal kann man L → ∞ gehen lassen, denn L ist beliebig.

Man integriert über eine Kugelschale 4πk²dk im k-Raum.

k dk

k

k

k

Im Bereich k, k+dk liegen N(k)dk Zustände:

V

dk dk k

k N

4

8 2 ) 1

( = ⋅ ⋅ π

Nur positive Werte von

nx,ny,nz 2 Polarisationsrichtungen

2 2 3 3

2 3

) 8

( 8

1

= π π

⋅ π

= k dkL k dk L

dk k N

Das Volumen im Ortsraum ist V = L³. Berechnet man jetzt die Ortsraumdichte der Moden, so muß man durch das Volumen V dividieren, und wird von L unabhängig!

2 2 3

) ( )

) (

( = = = k π dk

L k N V

k k N

n

Für die Umrechnung auf Frequenzen ν benutzt man k = (2π)/c·ν und dk = (2π)/c·dν

ν ν

π ⋅

= ν

ν d

d c

n ( ) 8

n(ν)dν ist die Zahl der Schwingungsmoden/Volumeneinheit im Bereich ν, ν + dν n(ν) ist also die Modendichte: Schwingungsmoden

Volumen·Frequenzeinheit

n(ν) =

n(ν)

Frequenz ν

ν ν π⋅

= ν

ν d

d c

n( ) 8₃ ²

Das quadratische Anwachsen der Modenzustandsdichte ist

charakteristisch für die Zustandsdichte von Photonen (ganz allgemein von Teilchen der Ruhemasse 0).

Werte als Beispiele:

1) Im Bereich ν = f = 100 MHz (UKW-Sender):

2) Im Bereich des sichtbaren Lichtes, λ = 500 nm, ν = 6·10¹⁴Hz

Hz 1 m

Moden 10

3 . 9 )

MHz 100

( = ⋅ ⁻⁹ ₃ ⋅

n

Hz 1 m

Moden 10

35 . 3 )

Hz 10

6

( ⋅ ¹⁴ = ⋅ ⁵ ₃ ⋅ n

Zur Energiedichte der Hohlraumstrahlung gelangt man durch die Quantenhypothese, Max Planck (1900). In moderner Ausdrucksweise postuliert man:

1) Die Energie einer Mode ist mit der Frequenz einer Mode über

E = h·ν verknüpft. Diese Energie

h·ν

2) Im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T ist eine Schwingungsmode der Energie E = h·ν mit folgender Wahrscheinlichkeit besetzt:

1 ) 1

,

( = −

kT E

e

T E f

1 ) 1

,

( ν =

−

kT

e

T f

Diese fundamentale Besetzungswahrscheinlichkeit f_BE(E,T) ist die Bose-Einstein Statistik.

Sie gilt nicht nur für Photonen, sondern für alle Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin).

Es gibt in der Physik nur zwei fundamentale Verteilungsfunktion:

Bose-Einstein Statistik für Bosonen und Fermi-Dirac Statistik für Fermionen

0 1 2 3 4 5 0

2 4 6 8 10

Bose-Einstein Verteilung

BoseEinstein01.opj

f

(E ,T )

E/kT

Die Bose-Einstein Verteilungsfunktion beschreibt die Besetzungswahrscheinlichkeit für Bosonen-Zustände der Energie E im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T

1 ) 1

,

( = −

kT E

e

T

E

f

Näherungen: kleine Energien E<<kT : exp(E/kT) ≈ 1 +E/kT f_BE(E,T) ≈ kT/E

große Energien E >>kT: exp(E/kT) >>1 f_BE(E,T) ≈ exp(-E/kT)

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10

x10 x10

E >> kT : exp(-E/kT) E << kT : kT/E

Näherungslösungen:

BoseEinstein02.opj

f

(E ,T )

E/kT

Die Energiedichte u(ν,T) der Strahlung des schwarzen Körpers ist dann:

) , ( )

( )

( )

,

( T h n f T

u ν = ⋅ ν ⋅ ν ⋅

ν

Energie pro Mode

Modendichte

Verteilungsfunktion

1 ) exp(

8 1 )

,

(

3

⋅ ν ⋅ −

= π

ν

kT

c

T h u

Dies ist die Plancksche Strahlungsformel, welche die Energieverteilung der Hohlraumstrahlung (Schwarzkörperstrahlung) vollständig quantitativ beschreibt.

Zur Energieverteilung L(E,T) kommt man durch:

E = h·ν und L(E,T) = Volumen*u(E/h,T)

u(ν,T) ist im wesentlichen die Energiedichte (Energie pro Volumeneinheit)

0 2 4 6 8 10 0.00

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

Planck01.opj

T = 2500 K

T = 5000 K

Energieverteilung

Energie (eV)