¨Ubungsblatt Aufgabe 16: (4 Punkte) Seien A ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit und b ∈ Rn

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

26. NOVEMBER2020

16 17 18 19 Σ

NAME: MAT-NR.:

Numerik II – 5. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 16: (4 Punkte)

Seien A ∈ R^n×n symmetrisch und positiv definit und b ∈ Rⁿ. Seien x ∈Rⁿ die L¨osung von Ax =b und rk=b−Axk das Residuum der Iteration k.

Sei f_X :Rⁿ→R^≥0, r7→ krk_X := (r^TXr)^1/2 f¨ur eine beliebige symmetrisch positiv definite Matrix X.

Zeigen Sie, dass f_Aund f_A⁻¹ Vektornormen definieren.

Zeigen Sie, dass kr_kk_A⁻¹ =kx_k−xk_A.

Aufgabe 17: (4 Punkte)

Seien A∈R^2×2 symmetrisch,b∈R² undF :R²→R, F(x) = ¹₂x^TAx−x^Tb,x= (x₁, x₂)^T.

Zeigen Sie: Ist A positiv definit, so ist F ein elliptischer Paraboloid, d. h. es existieren eine Trans- formation (y₁, y₂)^T =y = U^Tx mitU ∈R^2×2 sowie Konstanten c, d, e > 0 undx^∗ = (x^∗₁, x^∗₂)^T ∈R² mit

F(x) = (y1−x^∗₁)²

c² +(y2−x^∗₂)² d² −e.

Ist Aindefinit, so istF ein hyperbolischer Paraboloid, d. h. es existieren eine Transformation (y1, y2)^T =y =U^TxmitU ∈R^2×2 sowie Konstantenc, d >0,e∈Rund x^∗ = (x^∗₁, x^∗₂)^T ∈R² mit

F(x) = (y1−x^∗₁)²

c² −(y2−x^∗₂)² d² −e.

Aufgabe 18: (4 Punkte)

Sei A ∈ R^2×2 symmetrisch und positiv definit mit Eigenwerten λ1 ≤ λ2. Seien weiter b ∈ R² und F :R²→R, F(x) = ¹₂x^TAx−x^Tb.x^∗ sei die Position des Minimums von F.

Die H¨ohenlinien von F sind konzentrische Ellipsen um x^∗. Zeigen Sie, dass f¨ur das L¨angenverh¨altnis zwischen Haupt- und Nebenachse einer dieser Ellipsen

kx₁−x^∗k₂ kx₂−x^∗k₂ =

rλ₂ λ₁ =p

κ₂(A)

gilt, wobeix₁, x₂∈R² zwei Punkte auf der gleichen H¨ohenlinie sind.x₁ liegt dabei auf der Hauptachse und x₂ auf der Nebenachse der zugeh¨origen Ellipse. κ₂(A) = ^λ_λ²

1 sei die Konditionszahl vonA.

b.w.

Aufgabe 19: Programmieraufgabe(4 Punkte)

Gegeben Sei die Vorlage A19-Vorlage.ipynb, die Sie in den Unterlagen zur ¨Ubung finden. Dort sind ein V-Zyklus sowie die Mehrgittermethode zur L¨osung des zweidimensionalen Poisson Problems implementiert. Im V-Zyklus wird aktuell das Jacobi-Verfahren verwendet. Machen Sie sich mit dem Programm vertraut und verstehen Sie die Vorgehensweise. Schreiben Sie einen alternativen V-Zyklus, sodass nun das underrelaxed Jacobi-Verfahren verwendet wird. Vergleichen Sie die L¨osungen, indem Sie jeweils den hier entstehenden Fehler bei Verwendung von Jacobi und underrelaxed Jacobi zur exak- ten L¨osung des Problems vergleichen. Dabei sind die Fehler an den Stellen 8ν+ 4νkeinzutragen, wobei k die Anzahl der verwendeten vollen V-Zyklen nach Erreichen des feinsten Gitters bezeichnet und ν die Anzahl der Iterationen mit dem einfachen iterativen Verfahen in Schritt 1 und 6 der Mehrgitter- methode. Zeichnen Sie in den gleichen Plot die Fehler des Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahrens.

W¨ahlen Sie einen geeigneten Parameter m selbstst¨andig.

Abgabe bis 3. Dezember 2020, 14:30 Uhr im ILIAS.

Besprechung in den ¨Ubungsgruppen ab dem 7. Dezember 2020.