10. ¨ Ubung zur Informatik II

Prof. Dr. R. Schrader WS 2002/2003 D. R¨abiger

10. ¨ Ubung zur Informatik II

Abgabe in den ¨Ubungen 15.1. – 17.1.2003

Aufgabe 1: 4 + 3 + 2 Punkte

Zeigen Sie:

a) Jede unendliche rekursiv aufz¨ahlbare Sprache besitzt eine unendliche entscheidbare Teil- menge.

b) Sind A und B rekursiv aufz¨ahlbare Sprachen, so sind auch A ∪ B und A∩ B rekursiv aufz¨ahlbar.

c) Teilmengen von rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen sind nicht notwendigerweise selbst rekursiv aufz¨ahlbar.

Aufgabe 2: 7 Punkte

Die primitiv rekursiven Grundfunktionen sind genau die folgenden Funktionen:

(i) die nullstellige FunktionC₀⁰ = 0, (ii) die einstellige FunktionC₁⁰(x) = 0,

(iii) die Nachfolgefunktionsucc(x) =x+ 1und

(iv) die Projektionenpⁱ_n(x₁, . . . , x_n) =x_if¨ur1≤i≤n.

Eine Funktion heißt primitiv rekursiv, wenn sie entweder eine der primitiv rekursiven Grundfunk- tionen ist oder aus diesen durch endlichmalige Anwendung der folgenden Vorschriften erhalten werden kann:

Substitutionsvorschrift Seienh_i :^Nn→^Nundg :^Nr →^Nmitn≥0und1≤i≤r.

Dann entsteht die Funktion

f(x) =g(h₁(x), . . . , h_r(x)) ausg durch Substitution vonh₁, . . . , h_r.

Induktionsvorschrift Seieng :^Nn→^Nundh:^Nn+2 →^Nmitn ≥0.

Dann wird die Funktionf :^Nn+1 →^Nwie folgt induktiv durchgundhdefiniert:

f(x,0) = g(x)

f(x, y+ 1) = h(x, y, f(x, y))

Seienx_i, x, y, k, n∈^N. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen primitiv rekursiv sind:

(a) C_n^k(x₁, . . . , x_n) =kf¨urn, k ≥0 (b) f(x, y) =x+y

(c) f(x, y) =x·y (d) f(x, k) =x^k (e) f(x) = x!

(f) f(x, y) = max{x, y} (g) f(x, y) =|x−y|

Aufgabe 3: 8 Punkte

Zeigen Sie, dass die primitiv rekursiven Funktionen RAM-berechenbar sind. Geben Sie dazu ex- plizite RAM-Programme an.