16. Juni 2008 Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer
Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 10
Abgabe: 23. Juni 2008
H27. Wahrscheinlichkeitsstromdichte im Zentralpotential (7P) Die Wellenfunktionen (in Kugelkoordinaten),
ψ1(r, θ, φ, t) = YL0(θ, φ)R1(r)e−iE1t/~, ψ2(r, θ, φ, t) = YLL(θ, φ)R2(r)e−iE2t/~ , seien L¨osungen der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung f¨ur ein Teilchen in einem Zen- tralpotential. Die Radialfunktionen R1(r) und R2(r) seien reellwertig.
i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte J~(r, θ, φ, t) zu diesen Wellenfunk- tionen (3P). Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung des Gradienten in Kugelkoordina- ten. Bevor Sie rechnen, ¨uberlegen Sie, welcher Teil einer komplexen Wellenfunktion zur Wahrscheinlichkeitsstromdichte beitr¨agt. Benutzen Sie, dass die assoziierten Legendre–
Funktionen reell sind.
ii) Wie vereinfacht sich die Kontinuit¨atsgleichung f¨ur Wellenfunktionen der Form ψ(r, θ, φ, t) = YLM(θ, φ)R(r)e−iEt/~ (1P)?
Warum muss der radiale Teil R(r) einer Wellenfunktion dieser Form immer reell sein (3P)? Benutzen Sie den Gauss’schen Satz f¨ur die Kontinuit¨atsgleichung. Berechnen Sie die radiale Wahrscheinlichkeitsstromdichte und integrieren Sie diese ¨uber eine Kugel- oberfl¨ache.
H28. Ortserwartungswerte im Wasserstoffatom (Coulombpotential) (5+5P) Berechnen Sie die Erwartungswerte
hrki =hnLM|rk|nLMi
f¨urk= 1,2 bez¨uglich eines beliebigen Eigenzustandes des Hamiltonoperators des Was- serstoffatoms |nLMi.
i) Benutzen Sie zun¨achst den Virialsatz, um den Erwartungswert hr−1i zu berechnen (2P).
ii) Berechnen Sie hrki f¨ur k = 1,2 mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil i) und der soge- nannten Kramers Beziehung
k+ 1
n2 hrki−(2k+1)a0hrk−1i+k 4 h
(2L+ 1)2−k2i
a20hrk−2i = 0,
wobei a0 der Bohr’sche Atomradius ist (3P).
iii) Leiten SieKramers Beziehung aus der Radialgleichung
−~2 2m
∂2
∂r2 +~2L(L+ 1) 2mr2 −e2
r
unL(r) = EnunL(r)
f¨ur unL(r) = rRnL(r) her. Vereinfachen Sie die Radialgleichung zun¨achst, indem Sie die Variablentransformationr =na0ρ durchf¨uhren. Multiplizieren Sie die Gleichung auf beiden Seiten von rechts einmal mitρkunL(ρ) und einmal mitρk+1∂ρ∂unL(ρ). Mehrfache partielle Integration liefert das Ergebnis (+5P).