1. ¨ Ubung zur Informatik II

Prof. Dr. R. Schrader WS 2002/2003 D. R¨abiger

1. ¨ Ubung zur Informatik II

Abgabe in den ¨Ubungen 23.10. – 25.10.2002

Aufgabe 1: (Rechenoperationen im Bin¨arsystem) 2 Punkte

Die folgenden ZahlenA, B, Cseien in 8-bit-Zweierkomplementdarstellung gegeben:

A= 00011011,B = 00101010,C = 11100011 Berechnen Sie die folgenden Ausdr¨ucke jeweils durch Addition:

A+B,A−B,A−C,B−A

Aufgabe 2: (Darstellung ganzer Zahlen zur negativen Basis) 10 Punkte Es seib∈^Z, b ≤ −2. Dann l¨aßt sich jede ganze Zahla 6= 0eindeutig in der Form

a=X^r

k=0

a_kb^k, a_k∈ {0,1, . . . ,|b| −1}, mita_r 6= 0

darstellen.

Beweisen Sie die Aussage durch folgende Schritte:

(i) Eindeutigkeit der Darstellung

(ii) IstDm die Menge aller Darstellungen der L¨ange h¨ochstensmzur negativen Basisb, so ist

|D_m|=|b|^m.

(iii) Seif :Dm →^Zmitf(al, . . . , a0) =P_l

k=0akb^kf¨url ≤m−1. Bestimmen Sie ein Intervall I_mmitf(D_m)⊆I_mund|I_m|=|b|^m =|D_m|.

(iv) Folgern Sie aus den obigen Aussagen die Behauptung.

Aufgabe 3: 2 Punkte

Bei dem Besuch der allj¨ahrlichen Halloween-Party einer Kleinstadt machte der zust¨andige Lokal- reporter folgende Beobachtungen:

(1) Jede Frau auf der Party hatte eine Sense bei sich.

(2) Kein Mann auf der Party trug einen schwarzen Umhang.

(3) Jeder, der auf der Party eine Sense bei sich hatte, war ein Mann; dar¨uber hinaus trug jeder Mann eine Axt, aber keine k¨unstlichen Vampirz¨ahne.

(4) Jeder Mann, der auf der Party eine Axt bei sich hatte, trug auch einen schwarzen Umhang oder k¨unstliche Vampirz¨ahne (oder beides).

Geben Sie an, wieviele Frauen und M¨anner zum Fest erschienen.

Aufgabe 4: (Wahrheitstabellen) 4 Punkte

Beweisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle (a) das Verschmelzungsgesetz(x∨y)∧x=x,

(b) das Distributivgesetzx∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z), (c) das Komplementgesetzx∨(y∧y) =¯ xund

(d) die de Morgansche Regelx∨y = ¯x∧y¯ f¨ur Elementex, y, z∈ IB={0,1}.