Inhaltsverzeichnis Variationsrechnung

Variationsrechnung

Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel

Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing Technische Universit¨at Wien

Unkorrigiertes Kurzskript 17. Februar 2009

Dieses Vorlesungsmanuskript enth¨alt eine Zusammenfassung wichtiger Definitionen und Ergebnisse des Manuskriptes “Variationsrechnung” von Prof. Arnold. Es erhebt keinen Anspruch auf Vollst¨andigkeit.

Inhaltsverzeichnis

1 Euler-Lagrange-Gleichungen 2

2 Zweite Variation, Konvexit¨at 3

3 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 6

4 Existenztheorie f¨ur Minimierer 7

5 Nichtkonvexe Probleme 8

6 Sattelpunktprobleme 10

1 Euler-Lagrange-Gleichungen

Seien X ein linearer Raum ¨uber R,U ⊂X eine Menge und F :U →X ein Funktional.

Erste Variation. Seien u0 ∈U, ξ ∈ X und ε0 >0, so daß die Strecke [u0, εξ] in U liegt.

Sei ferner φ(ε) = F(u0+εξ), so daßφ^′(0) existiert. Dann heißtδF(u0, ξ) =φ^′(0) die erste Variation von F anu0 in Richtung ξ.

Station¨arer Punkt.u₀ ∈U heißt station¨arer Punkt von F, wenn δF(u0, ξ) = 0 f¨ur alle ξ∈X, so daß δF(u0, ξ) existiert.

. . . . Seien Ω⊂Rⁿ eine offene, beschr¨ankte Menge, X =C¹(Ω,R^N) und u∈X. Wir definieren

1-Graph(u) = {(x, u(x), Du(x)) :x∈Ω}.

Seien ferner V ⊂ Rⁿ×R^N ×R^nN, F ∈ C¹(V,R), F = F(x, u, p), und U = {u ∈ X : 1-Graph(u)⊂V}.

Variationsintegral. Das Variationsintegral F :U →R, F(u) =

Z

Ω

F(x, u(x), Du(x))dx,

ist wohl definiert und seine erste VariationδF(u0, ξ) existiert f¨ur alleu0 ∈U und ξ ∈X.

Schwache Minimalstelle. Sei C ⊂ X. Dann heißt u ∈ C eine schwache (lokale) Mini- malstelle von F in C, wenn

∃δ0 >0 :∀v ∈C∩Bδ0(u;X) : F(u)≤ F(v).

Starke Minimalstelle. Sei C ⊂X. Dann heißt u ∈C eine starke (lokale) Minimalstelle von F inC, wenn

∃δ₀ >0 :∀v ∈C∩Bδ0(u;Y) : F(u)≤ F(v), wobei Y =C⁰(Ω,R^N).

Strikte Minimalstelle. Eine Minimalstelle heißt strikt, wenn das strikte Ungleichungs- zeichen “<” gilt.

Erste Variation.Es gelten die oben genannten allgemeinen Voraussetzungen.

• Sei u eine schwache Minimalstelle von F in C ⊂X, und es gelte u+ξ ∈ C f¨ur alle ξ∈C₀^∞(Ω,R^N). Dann folgt δF(u, ξ) = 0 f¨ur alle ξ ∈C₀^∞(Ω,R^N).

• Notwendige Bedingung einer Minimalstelle: Seiu∈C²(Ω,R^N)∩C¹(Ω,R^N). Es gelten

∂F/∂pij ∈C¹(V) undδF(u, ξ) = 0 f¨ur alleξ ∈C₀^∞(Ω,R^N). Dann erf¨ulltudieEuler- Lagrange-Gleichung von F:

∇F(x, u(x), Du(x))−divx ∇pF(x, u(x), Du(x))

= 0, x∈Ω.

Falls die Regularit¨at an F und u nicht gilt, dann erf¨ullt u nur eine schwache Form der Euler-Lagrange-Gleichung.

• Nat¨urliche Randbedingungen: Gilt zus¨atzlich zum letzten Punkt, daß∂Ω∈C¹, F ∈ C¹(V,R) und δF(u, ξ) = 0 f¨ur alle ξ ∈ C^∞(Ω,R^N), so erf¨ullt u die nat¨urlichen Randbedingungen

∇pF(x, u(x), Du(x))ν(x) = 0, x∈∂Ω, wobei ν(x) der ¨außere Normalenvektor an x ist.

. . . . Seien I = [a, b], D¹(I,R^N) die Menge aller stetigen Funktionen, die bis auf endlich viele Punkte (“Ecken”) stetig differenzierbar sind,F ∈C¹(I×R^N ×R^N) und

F(u) = Z b

a

F(x, u(x), u^′(x))dx.

Wir definieren die “Umgebung” von u:

Cr ={v ∈D¹(I,R^N) :v =u auf∂I, sup

I

|u−v|< r}, r >0.

Eckmannsche Eckenbedingungen. Seien u ∈ D¹(I,R^N) mit F(u) ≤ F(v) f¨ur alle v ∈Cr, x0 eine “Ecke” von uund setze z0 =u(x0), p^±₀ =u^′(x0±0). Dann gelten:

∇pF(x0, z0, p⁻₀) = ∇pF(x0, z0, p⁺₀),

F(x₀, z₀, p⁻₀)−p⁻₀ · ∇pF(x₀, z₀, p⁻₀) = F(x₀, z₀, p⁺₀)−p⁺₀ · ∇pF(x₀, z₀, p⁺₀).

2 Zweite Variation, Konvexit¨ at

Seien X ein linearer Raum ¨uber R,U ⊂X, u∈U und F :U →R [strikt] konvex.

Notwendige Bedingungen f¨ur Minimalstellen.

• Es gelte:

∀v ∈U :∃ε >0 :∀λ∈[0, ε] : F(u)≤ F(u+λ(v−u)).

Dann ist u eine [strikte] globale Minimalstelle vonF.

• Es existiereδF(u, v−u) f¨ur alle v ∈U. Dann gilt:

u ist [strikte] globale Minimalstelle von F ⇔ δF(u, v−u) = 0 f¨ur alle v ∈U.

Zweite Variation und Konvexit¨at. SeienF :U →Rkonvex, es existiereδ²F(u, v−u) f¨ur alle u, v ∈U mit u6=v und

δ²F(u, v−u)≥0 [>0].

Dann ist F [strikt] konvex.

. . . . Seien Ω⊂Rⁿ eine offene, beschr¨ankte Menge,V ⊂Rⁿ×R^N×R^nN offen, X =C¹(Ω,R^N), U ={u∈X : 1-Graph(u)⊂V}, F ∈C²(V,R) und

F(u) = Z

Ω

F(x, u(x), Du(x)), u∈U.

Notwendige Bedingungen f¨ur Minimalstellen.

• Sei u eine schwache Minimalstelle von F in C ⊂ X und sei u+ξ ∈ C f¨ur alle ξ∈C₀^∞(Ω,R^N). Dann folgt

δ²F(u, ξ)≥0 f¨ur alle ξ∈C₀^∞(Ω,R^N).

• Sei u ∈ U und es gelte δ²F(u, ξ) ≥ 0 f¨ur alle ξ ∈ C₀^∞(Ω,R^N). Dann erf¨ullt u die Legendre-Hadamard-Bedingung

N

X

i,k=1 n

X

j,ℓ=1

∂²F

∂pij∂pkℓ

(x, u(x), Du(x))χiχkηjηℓ ≥0 f¨ur alle x∈Ω, χ∈R^N, η ∈Rⁿ.

Strikte Legendre-Hadamard-Bedingung. u ∈ X erf¨ulle die strikte Legendre-Hada- mard-Bedingung: Es existiert λ >0, so daß

N

X

i,k=1 n

X

j,ℓ=1

∂²F

∂pij∂pkℓ

(x, u(x), Du(x))χiχkηjηℓ ≥λ|χ|²|η|² f¨ur alle x∈Ω, χ∈R^N, η ∈Rⁿ.

• Dann existiertδ >0, so daß

F(u)≤ F(u+ξ) f¨ur alleξ ∈X mit kξkX < δ, δF(u, ξ) = 0.

• Ferner gilt:

ustation¨arer Punkt von F ⇔ u ist schwache lokale Minimalstelle von F.

. . . . Ziel: Hinreichende Bedingungen f¨ur strikte schwache lokale Minimalstellen von F f¨ur den Falln = 1.

Seien V ⊂ R×R^N ×R^N offen, F ∈ C²(V,R), I = [a, b], X = C¹(I,R^N), u ∈ X mit 1-Graph(u)⊂V und definiere die “Umgebung” von u:

Cδ={v ∈X :v =uauf ∂I, ku−vkX < δ}, δ >0, und die MengeX0 ={w∈C¹([a, b],R^N) :w(a) = w(b) = 0}. Sei

F(u) = Z b

a

F(x, u(x), Du(x))dx.

Notwendige Bedingungen.Sei uschwache lokale Minimalstelle vonF inCδ. Dann gilt:

• δF(u, ξ) = 0 f¨ur alle ξ ∈X₀.

• δ²F(u, ξ)≥0 f¨ur alle ξ∈X₀.

• ∂²F/∂p²(x, u(x), Du(x))≥0 f¨ur allex∈Ω.

Akzessorisches Integral.Sei u∈X. Dasakzessorische IntegralvonF ist gegeben durch Q(ξ) =δ²F(u, ξ) =

Z b

a

Q(x, ξ(x), ξ^′(x))dx, ξ∈X0, Q(x, z, p) =z^⊤A(x)z+ 2z^⊤B(x)p+p^⊤C(x)p,

wobei

A= ∂²F

∂z², B = ∂²F

∂z∂p, C = ∂²F

∂p².

Jacobi-Feld und Jacobi-Gleichung.EinJacobi-Feld φl¨angs u∈X ist eine L¨osung der Jacobi-Gleichung von F bzgl. u:

(B^⊤φ+Cφ^′)^′−Aφ−Bφ^′ = 0 in [a, b].

Die Jacobi-Gleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung von Q.

Jacobi-Bedingung. Ein Punkt y ∈ (a, b] heißt konjugiert zu a (bzgl. F und u), wenn es ein Jacobi-Feld φ ∈ X, φ 6≡ 0, l¨angs u gibt, so daß φ(a) = φ(y) = 0. Eine Funktion u ∈ X erf¨ullt die [strikte] Jacobi-Bedingung, wenn es keinen zu a konjugierten Punkt in (a, b) [bzw. (a, b]] gibt.

Satz 2.1. Die Funktion u erf¨ulle die strikte Legendre-Hadamard-Bedingung. Dann gilt:

u erf¨ullt [strikte] Jacobi-Bedingung ⇔ Q(ξ)≥0 [>0] f¨ur alle ξ∈X₀ [ξ 6= 0].

Hinreichende Bedingung. Ist u eine schwache lokale Minimalstelle von F in Cδ und erf¨ullt u die strikte Legendre-Hadamard-Bedingung, so erf¨ulltu die Jacobi-Bedingung.

Notwendige Bedingung. Die Funktion u erf¨ulle δF(u, ξ) = 0 f¨ur alle ξ ∈ X0, die strikte Legendre-Hadamard-Bedingung unde entweder die strikte Jacobi-Bedingung oder δ²F(u, ξ)>0 f¨ur alleξ ∈X0, ξ6= 0. Dann ist u eine strikte schwache lokale Minimalstelle von F.

3 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen

Seien Ω⊂Rⁿeine offene, beschr¨ankte Menge,X =C¹(Ω,R^N),u∈X,V ⊂Rⁿ×R^N×R^nN offen, 1-Graph(u)⊂V,F, G∈C²(V,R). Definiere die “Umgebung” vonu

Cδ ={v ∈X :v =u auf ∂Ω, ku−vkX < δ, Nebenbedingung f¨ur v}, δ >0, und das Funktional

F(v) = Z

Ω

F(x, v(x), Dv(x))dx, v ∈Cδ. Ziel: MinimiereF auf Cδ.

Isoperimetrische Nebenbedingungen. Die Nebenbedingung sei gegeben durch G(v) =

Z

Ω

G(x, v(x), Dv(x))dx=c, c∈R.

Seien u ∈ X eine schwache lokale Minimalstelle von F in Cδ und δG(u, ξ) 6= 0 f¨ur alle ξ ∈C₀^∞(Ω,R^N). Dann gilt:

• Es existiert ein eindeutiges λ∈R (Lagrange-Multiplikator), so daß δF(u, ξ) +λδG(u, ξ) = 0 f¨ur alle ξ∈C₀^∞(Ω,R^N).

• Sei u∈C²(Ω,R^N). Dann gelten die Euler-Lagrange-Gleichungen

∇z(F +λG)(x, u(x), Du(x)) + divx ∇p(F +λG)(x, u(x), Du(x))

= 0, x∈Ω.

Holonome Nebenbedingungen.SeiG∈C²(Rⁿ×R^N,R^r) mitr < N und rg(∇zG)(x, z)

=r f¨ur alle (x, z)∈Rⁿ×R^N mit G(x, z) = 0. Die Nebenbedingung lautet G(x, v(x)) = 0, x∈Ω.

Dann gilt: Ist u ∈ X∩C²(Ω,R^N) eine schwache lokale Minimalstelle von F in Cδ, dann existiert ein eindeutig bestimmtes λ = (λ1, . . . , λr)∈ C⁰(Ω)^r (Lagrange-Multiplikatoren), so daß

∇z(F +λ·G)(x, u(x), Du(x)) + divx ∇p(F +λ·G)(x, u(x), Du(x))

= 0, x∈Ω.

4 Existenztheorie f¨ ur Minimierer

Wir betrachten konvexe Funktionen F und minimieren F(u) =

Z

Ω

F(x, u(x), Du(x))dx.

Unterhalbstetigkeit. Seien X ein Banachraum, F :X →R, (uk)⊂X.

• F heißtunterhalbstetig, wenn uk →uin X ⇒F(u)≤limk→∞F(uk).

• F heißtschach stetig, wenn uk ⇀ uin X ⇒ F(u) = limk→∞F(uk).

• F heißtschwach unterhalbstetig, wenn uk ⇀ uin X ⇒ F(u)≤limk→∞F(uk).

• Satz von Tonelli: Sei F = F(x, z, p) glatt, nach unten beschr¨ankt und konvex in p f¨ur alle (x, p). Dann ist F schwach unterhalbstetig in W^1,q(Ω), 1< q <∞.

Existenz von Minimierern im Fall N = 1.SeienU ={u∈W^1,q(Ω) :u=g auf ∂Ω} 6=

∅, 1 < q < ∞, und F glatt, konvex in p und koerziv (d.h. F(x, z, p) ≥ α|p|^q−β f¨ur ein α >0,β ≥0, 1 < q <∞, f¨ur alle (x, z, p)). Dann existiert ein u∈U mit

F(u) = min

v∈U F(v).

Ist F stetig und p 7→ F(x, z, p) streng konvex f¨ur alle (x, z), dann ist der Minimierer von F eindeutig.

F¨ur den FallN >1 ben¨otigen wir den Begriff der Polykonvexit¨at.

Polykonvexit¨at. Seien n=N und F =F(x, z, p,detp) : Ω×Rⁿ×R^n×n×R glatt mit (p, r)7→F(x, z, p, r) ist konvex f¨ur alle (x, z)∈Ω×Rⁿ.

Dann heißt F polykonvex. Damit l¨aßt sich der Satz von Tonelli verallgemeinern: Seien n < q < ∞ und F glatt, nach unten beschr¨ankt und polykonvex. Dann ist F schwach unterhalbstetig.

Existenz von Minimierern im Fall N >1.Seienn < q <∞,U ⊂W^1,q(Ω) mitU 6=∅, und F sei glatt, koerziv und polykonvex. Dann existiert ein u∈U mit

F(u) = min

v∈U F(v).

. . . . Seien Ω ⊂ Rⁿ offen, beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C¹, f ∈ L²(Ω), h : Ω → R glatt, U = {u ∈ H₀¹(Ω) :u≥h in Ω}.

Variationsungleichung. Es gilt:

• Es existiert eine eindeutige L¨osungu∈U von F(u) =

Z

Ω

1

2|∇u|²−f u

dx→min.

• Der Minimierer u ist die eindeutige L¨osung von Z

Ω

∇u· ∇(v−u)dx≥ Z

Ω

f(v−u)dx f¨ur alle v ∈U.

• Die Abbildung f 7→uist lipschitzstetig, d.h., es gibt ein c >0 mit ku1−u2k_H0¹_(Ω) ≤ckf1−f2kL²(Ω), ui =ui(fi), i= 1,2.

Strafterm-Methode. Seien H die Heaviside-Funktion und uε ∈ H₀¹(Ω) die eindeutige L¨osung von

−∆uε+ε⁻¹H(uε) = f in Ω, uε = 0 auf ∂Ω.

Dann folgtuε ⇀ uinH₀¹(Ω) f¨urε→0, undu ist eine L¨osung der obigen Variationsunglei- chung.

5 Nichtkonvexe Probleme

Ziel: L¨osen nichtkonvexer Probleme mit modifiziertem Funktional (relaxiertes Funktional) oder mit modifiziertem L¨osungsbegriff (Young-Maße).

Relaxierte Funktion. Seien X ein topologischer Raum und F : X → R. Die relaxierte Funktion oder unterhalbstetige Einh¨ullende sc⁻F von F ist definiert durch

(sc⁻F)(x) = sup{φ(x) :φ :X →R unterhalbstetig, φ(y)≤ F(y), y ∈X}, x∈X.

Koerzive Funktion. Die Funktion F : X →R heißt koerziv, wenn jede Folge (xn) ⊂ X mit (F(xn)) beschr¨ankt einen H¨aufungspunkt hat.

Satz 5.1. Seien X ein topologischer Raum und F :X →R. Dann gilt:

• Jeder H¨aufungspunkt einer Minimalfolge von F ist Minimalstelle von sc⁻F.

• Sei F koerziv. Dann nimmt sc⁻F sein Minimum an und minXsc⁻F = infXF. Konvexe Einh¨ullende.Sei f :I →R. Die konvexe Einh¨ullendevon f ist definiert durch

Cf(y) = sup{g(y) :g konvex, g ≤f in I}, y∈I.

Das relaxierte Funktional kann mit Hilfe der konvexen Einh¨ullenden dargestellt werden.

Seien daf¨ur Ω ∈ Rⁿ offen, 1 < q < ∞, u₀ ∈ W^1,q(Ω), F : Rⁿ → R stetig mit c₀|y|^q ≤ F(y)≤c1|x|^q+c2 f¨ur gewisse ci >0 und f¨ur alle y∈Rⁿ, und

F(u) = Z

Ω

F(Du(x))dx, u∈W₀^1,q(Ω) +u0. Dann gilt

(sc⁻F)(u) = Z

Ω

(CF)(Du(x))dx.

. . . . Erstes Abz¨ahlbarkeitsaxiom.SeiX ein topologischer Raum.X erf¨ullt daserste Abz¨ahl- barkeitsaxiom, wenn

∀x∈X :∃ offene Umgebungen (Uj) :∀ offene Umgebungen U von x:∃j ∈N:U ⊂Uj. Sei im folgendenXstets ein topologischer Raum, der das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ullt.

Γ-Konvergenz. Es heißtFn :X →R gegen F Γ-konvergent, F = Γ-limn→∞Fn, wenn

• f¨ur alle Folgen (xn) mit xn→x f¨ur ein x∈X gilt: F(x)≤lim infn→∞Fn(xn).

• f¨ur alle x∈X existiert eine Folge (xn) mit xn→x gilt: F(x) = lim infn→∞Fn(xn).

ε-Minimierer. Seien ε >0 undF :X →R∪ {∞}mit infXF >−∞. Dann heißt x∈X ein ε-Minimierer von F, wenn F(x)<infy∈XF(y) +ε.

Minimierer von Γ-Grenzwerten. Seien Fn:X →R und F = Γ- limFn. Dann gilt:

• F ist unterhalbstetig.

• Seien infXFn > −∞ f¨ur alle n ∈ N und xn ein εn-Minimierer von Fn mit εn → 0 und xn → x f¨ur ein x ∈ X. Dann ist x eine Minimalstelle von F und F(x) = limn→∞Fn(xn).

• Sei xn Minimierer von Fn mit xn →x f¨ur ein x∈ X. Dann ist x eine Minimalstelle von F und F(x) = limn→∞Fn(xn).

. . . . SeienC₀⁰(R) der Raum der stetigen Funktionen aufRmit kompaktem Tr¨ager undM(R) = C₀⁰(R)^∗ der Raum aller signierten Radon-Maße mit endlicher Masse. Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschr¨ankt.

Schwach* meßbar. Die Abbildung µ : Ω → M(R) heißt schwach* meßbar, wenn x 7→

hµ(x), fi=R

Rf dµ(x) f¨ur alle f ∈C₀⁰(R) meßbar ist.

Fundamentalsatz f¨ur Young-Maße. SeienK ⊂Roffen und beschr¨ankt und wn: Ω→ K beschr¨ankt. Dann existiert eine Teilfolge (wnk) und eine schwach* meßbare Abbildung ν : Ω→ M(K) (das durch (wnk) erzeugte Young-Maß) mit den Eigenschaften:

• ν ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß: R

Kdν(x) = 1 und ν(x)≥0 f¨ur fast allex∈Ω.

• Schwach*-Konvergenz: F¨ur alle f ∈C(K) gilt:

f(wnk)⇀^∗ f¯ inL^∞(Ω), f¯(x) =hν(x), fi= Z

K

f dν(x).

Satz 5.2. Seien wn : Ω → K und die Folge (wn) ⊂ L^∞(Ω) erzeuge das Young-Maß ν : Ω→ K(K). Dann gilt:

wn→w im Maß ⇔ ν(x) = δw(x) f¨ur fast alle x∈Ω.

6 Sattelpunktprobleme

Seien H ein Hilbertraum und F ∈C¹(H,R).

Kritischer Punkt. u0 ∈H heißt kritischer Punkt von F, wenn DF(u₀) = 0.

Kritischer Wert. c ∈ R heißt kritischer Wert von F, wenn es ein u0 ∈ H gibt mit DF(u₀) = 0 und F(u₀) = c.

Sattelpunkt. u0 ∈ H heißt Sattelpunkt, wenn DF(u0) = 0 und f¨ur jede Umgebung U von u0 es u1, u2 ∈U gibt, so daß F(u1)<F(u0)<F(u2).

Endlichdimensionales Mountain-Pass-Theorem. Sei F ∈ C¹(Rⁿ,R) koerziv (d.h., alle Folgen (xn) mit beschr¨anktem (F(xn)) besitzen einen H¨aufungspunkt) und habe zwei verschiedene strikte lokale Minimalstellen x1 und x2. Dann hatF einen dritten kritischen Punktx₃, der keine lokale Minimalstelle ist und f¨ur den das Minimax-Prinzip gilt:

F(x3) = inf

y∈Γmax

x∈g F(x),

wobei Γ die Menge aller kompakten, zusammenh¨angenden Pfadeg von x1 nach x2 ist.

F¨ur den unendlichdimensionalen Fall wird eine Kompaktheitsbedingung ben¨otigt.

Palais-Smale-Kompaktheitsbedingung.Die FunktionF ∈C¹(H,R) erf¨ullt diePalais- Smale-Kompaktheitsbedingung, falls alle Folgen (un) ⊂H mit (i) (F(un)) beschr¨ankt und (ii) DF(un) → 0 in H pr¨akompakt in G sind. (In diesem Fall gilt, daß die Niveaumenge kritischer Punkte{u∈H :F(u) =c, DF(u) = 0} f¨ur alle c∈R kompakt ist.)

Mountain-Pass-Theorem. Die Funktion F ∈ C_loc^1,1(H,R) erf¨ulle die Palais-Smale-Kom- paktheitsbedingung und es gelte (i) F(0) = 0, (ii) ∃a, r > 0: ∀kuk = r: F(u) ≥ a, (iii)

∃u1 ∈H, ku1k> r:F(u1)≤0. Dann ist c= inf

g∈Γmax

0≤t≤1F(g(t)), wobei Γ ={g ∈C⁰([0,1], H) :g(0) = 0, g(1) =u1}, ein kritischer Wert von F.