Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 04/05 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 7, vom 31.01.2005 R ¨uckgabe am 07.02.2005
Aufgabe 1 – L¨osung:Diffusion durch eine Membran
(a) Es gibt mehrere M¨oglichkeiten ein Boxschema zu zeichnen, wie z.B.:
PSfrag replacements
oder PSfrag replacements
.
! "#%$&"'(*),+"-!.
0/ ! "#%$&"'(*),+"-21
3 4 6587
3 / 4 0/95,7
:,;<8= 4 >@?%AB6CEDEF
G ;<8= 4 :,;<,=%5,7H4I>?6AJB%CDEF5K>?%LNMO4I>AB%CEDEFLPDM
Bilanzgleichungen f ¨ur Massen und Konzentrationen:
QSROT
QU
4 :;<,=WVX,/!
Q@RZY
QU
4 X / V[X / / \ ] ^
Q_`T
QU
4 G ;<,=V[X8/
3
Q_`Y
QU
4 X / 3 V[X / 3 /
(1)
(b) Massenfluss pro Fl¨achea /cbed DEFf6Dgih der Substanz Yausdem Reaktor:
a / 4 VOjk/l
3 /Omonp
l n
>,SqsrutvAKwxtvC"@zy{@*)-,
(2) Mit der Konzentration von Y innerhalb und ausserhalb des Reaktors,3
;<<|}<
/ 4 3 /
bzw.3{~o
|}<
/
4? , folgt
l 3 /Zmonp
l n
4A,+(*),+)
] l 3 /Zmnp
l n 4
3{~o
|}<
/ V 3 ;<<|}<
/
4eV 3 /
(3) F ¨ur den Massentransporta /9bed DEFvh ausdem Reaktor gilt:
a
/4X8/0/
]
X8/
3
/4IV jk/
7 l 3 /Omonp
l n (4)
]
X8/ 3 /4 j /
7 3 /
(5)
] X / 4
jk/6
7 4
?(?(>tL
g DEF
>?
D`
L g tL
Dg,
??6"C
DEFO
?%L
g
>?6L
M
LL
>?
DM LLL
DF
4 C DF
(6)
(c) Station¨arzustand:
3
"
4?
]
3
4 G ;<,=
X,/
4
>AJB%C
DEF
L
DM
?( C
DEF
4AB%L DM
(7)
3 /
K
4?
] 3
/ 4 X / 3
X8/
4 G ;<8=
X/
4
>AB6C
DF
L
DM
C
DEF
4?"AB%L DM
(8) (d) Die Koeffizientenmatrix
4
VZX8/ ?
X `/ VZX /
4
VO?(
?
?" V
CDEF (9)
besitzt die Eigenwerte¡ F 4¢VO?( C DEF und¡ g 4¢V C DEF . Da £¡ F £(¤¥£¡ g £ ist, sind die Station¨arkonzentra- tionen nach%4§¦¨v©cª 5 £¡ F £ 4 C bis auf 5% erreicht.
(e) Da X und Y konservative Stoffe sind und weiters X quantitativ in Y ¨ubergeht, muss die Stoffentnahme im station¨aren Zustand gleich der Stoffzufuhr sein. Somit werden dem Reaktor pro Stunde>@?%AB des Stoffes Y entnommen.
