Fourieranalysis,Übungsblatt2 L ehrstuhl A für M athematik

L e h r s t u h l A f ü r M a t h e m a t i k

Prof. Dr. H. Führ M. Ensenbach

Aachen, den 10. April 2007

Fourieranalysis, Übungsblatt 2

Abgabe bis Dienstag, den 17.04.2007, 13:15 Uhr

Aufgabe 1 (3+2 Punkte)

Sei f : R → _Rmeßbar und T > 0, die Menge N = {x ∈ _R| f(x) 6= f(x+T)} habe Maß Null.

a) Zeigen Sie: M ={x∈ _R| ∃k ∈_Z: f(x) 6= f(x+kT)} ist ebenfalls Nullmenge.

b) Zeigen Sie: Es gibt eine meßbare,T-periodische Funktion gmit g= f f. ü.

Aufgabe 2 (2+2 Punkte)

Seien X,Y Vektorräume mit Normen k·k_X und k·k_Y. Weiter sei S : X → Y eine lineare Abbildung, zu der einc >0 existiert mitkSxk_Y 6ckxk_X für alle x∈ X.

a) Zeigen Sie: Ist(xn)_n∈N eine Cauchyfolge in X, so ist(Sxn)_n∈N eine Cauchyfolge inY.

b) Zeigen Sie: Konvergiert (xn)_{n∈N in} X gegen den Grenzwert x ∈ X, so konvergiert (Sxn)_n∈_N inY gegen den GrenzwertSx.

Aufgabe 3 (1+2+4 Punkte)

Seienm,n∈ _N0 und p,q∈ _R=_R∪ {±_∞} mit n6mund 16q 6p.

a) Zeigen Sie für alle f ∈C_2π^m , daß f ∈C_2πⁿ undkfk_C^m >kfk_Cⁿ gilt.

b) Zeigen Sie für alle f ∈C_2πⁿ , daß f ∈ L_2π^p undkfk_Cⁿ >kfk_{p gilt.}

c) Zeigen Sie für alle f ∈ L_2π^p , daß f ∈ L^q_2π und kfk_p > kfk_q gilt. (Hinweis: Höldersche Ungleichung verwenden)

Aufgabe 4 (4+1 Punkte)

Sei ˜f : [−π,π) →_Rdefiniert durch f˜(x) =

(1+ ¹

πx, falls −π 6x<0, 1− ¹

πx, falls 06x<π, und f :R→_Rsei die 2π-periodische Fortsetzung von ˜f.

a) Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten ˆf(n) von f für alle n∈ _Z.

b) Berechnen Sie die reelle Fourierreihe von f.