Lernbereich: Stochastik lk mathematik 11 Basiswissen

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Basiswissen

Lernbereich:

Stochastik lk mathematik

11

Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen © J.Köcher

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1 Zufallsversuch/Zufallsexperiment & 2 Ergebnismenge

1 Bei einem Schneckenrennen starten Alma, Berta, Cecilie und Dora. Alle Schnecken passieren

zu verschiedenen Zeiten das Ziel.

Nennen Sie die verschiedenen Einlaufreihenfolgen.

Wie viele sind es?

Geben Sie die Ergebnismenge S1 an, wenn nur die Siegerin interessiert.

Geben Sie die Ergebnismenge S2 an, wenn die Siegerin und die Zweitplatzierte festgestellt werden sollen.

2 Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet.

Geben Sie die Ergebnismenge an, wenn interessiert,

a)wie viele b) welche Triebwerke nicht einwandfrei laufen.

3 Zwei Freunde spielen das Knobelspiel „Schere (S) , Stein (St), Papier (P)“

Notieren Sie die Ergebnismenge S, das sichere und das unmögliche Ereignis sowie die Ereignisse E1 und E2 mit

E1:“Erster Spieler gewinnt“

E2:“Keiner gewinnt“.

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1 Zufallsversuch/Zufallsexperiment & 2 Ergebnismenge

P A( )⁼¹⁻^{P A}( )

I. Jedem Ereignis E des Stichprobenraumes ist eine reelle Zahl P(E), seine Wahrscheinlichkeit, zugeordnet.

II. Für diese Funktion P: E → P(E), gilt:

Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ: P(E) ≥ 0.

Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses S ist eins: P(S) = 1.

Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0: P(⌀^{) = 0}

Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei unvereinbaren Ereignissen entweder das eine oder das andere eintritt, ist gleich der Summe der beiden

Wahrscheinlichkeiten: P(A ∪ B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = Ø

Diese Axiome wurden von A.N.Kolmogorow 1933 im Buch "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" publiziert.

A P A( ) ⁼¹⁻ ^{P A}

( )

✒ AB Gesetz der großen Zahlen und

Wahrscheinlichkeitsbegriff

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1 Zufallsversuch/Zufallsexperiment & 2 Ergebnismenge

✒ AB Gesetz der großen Zahlen und Wahrscheinlichkeitsbegriff

(W) oder (F)? Entscheide…

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem fairen Würfel eine "6" zu würfeln, beträgt 1/6.

Das bedeutet:

a) Nach jeweils 6 Würfen erscheint eine "6".

b) Nach sechs Würfen gibt es die erste "6".

c) Innerhalb von 6 Würfen würfelst du eine "6".

d) Bei 100 Würfen ist mindestens einmal die "6" dabei.

e) Während eines Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiels kannst du eine "6" werfen.

f) Wenn du schon 20mal gewürfelt hast und keine "6" dabei war, dann ist die Wahrscheinlichkeit groß, im nächsten Wurf eine "6" zu bekommen.

g) Sie ist jedenfalls größer (siehe f), als wenn du schon nach dreimaligem Nichterscheinen einer "6" eine erwartest.

h) Es kann passieren, dass du beim Würfeln 10mal hintereinander die "6" erhält.

i) Wenn du Pech hast, bekommst du während eines ganzen Mensch-ärgere-dich - nicht- Spiels keine "6".

j) Während eines solchen Spiels hast du aber in der Regel eine "6" dabei.

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1 Zufallsversuch/Zufallsexperiment & 2 Ergebnismenge

(W) oder (F)? Entscheide…

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem fairen Würfel eine "6" zu würfeln, beträgt 1/6.

Das bedeutet:

k) Bei 6 Würfen bekommt man sicher genau/höchstens/mindestens eine "6".

l) Bei 600 Würfen mit dem Würfel wird etwa 100mal eine "6" dabei sein.

m) Wenn man eine "6" würfeln will, ist es besser, mit 3 Würfeln zugleich zu würfeln, als mit einem Würfel 3 mal.

n) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine "6" kommt, wenn man sie braucht, ist sehr klein.

o) Die Wahrscheinlichkeit, genau im 100. Wurf eine "6" zu würfeln, ist sehr klein.

p) Nacheinander 2 - 5 - 4 - 2 zu würfeln ist wahrscheinlicher als 6 - 6 - 6 - 6 . q) Wenn jede/r aus der Klasse 100mal würfelt, kommt bestimmt mal die "6".

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TÜ 10 Fragen - 10 Antworten

wahr ^fal-sch

1 Die Ebene 2・z = 4 ist parallel zur z-Achse.

2 Die Ebene z = 2 ist parallel zur x-y-Ebene.

3 Die Ebene x + z = 2 ist parallel zur y-Achse.

4 Die Ebene x + z = 1 ist parallel zur x-z-Ebene.

5 Alle Ebenen der Form ax + by+ cz = 0

(a; b; c nicht alle = 0) verlaufen durch den Ursprung.

∈!

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TÜ 10 Fragen - 10 Antworten

wahr ^fal-sch

6 Ebenen der Form a・x = 1 sind alle parallel zur y-z-Ebene.

7 Eine Ebene hat maximal drei Spurpunkte.

8 Ist eine Ebene parallel zur x-y-Ebene, so ist sie auch parallel zur x- und y- Achse.

9 Gegeben sind die Gerade g und ein beliebiger Punkt A.

Orthogonale Geraden zu g durch A gibt es …

…genau eine.

10 B: .. unendlich viele, die alle parallel zueinander sind.

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

1 Nele weiß, dass in der Pralinenschachtel mit 20 Pralinen gleich viele mit Pfefferminz,- Nougat,- Krokant,- und

Erdbeerjoghurtgeschmack sind. Sie kann aber äußerlich nicht erkennen, welche Füllung eine Praline hat.

Sie mag besonders gerne Nougat und sie isst nicht gerne Pfefferminz.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt sie ihre Lieblingssorte?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt sie keine Pfefferminzpraline?

2 Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelst du beim ersten Wurf mit einem Spielwürfel eine Sechs?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelst du beim zweiten Mal eine Sechs?

3 Ein Mechaniker soll 8 Drähte mit 8 Anschlüssen verbinden.

Wie wahrscheinlich ist es, dass er zufällig im ersten Versuch alle Drähte und Anschlüsse richtig verbindet?

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

Welche kombinatorischen Abzählverfahren gibt es?

Quelle: mueggelhome.de

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

1. Produktregel

Ein Hersteller bietet folgende Ausstattungsmerkmale für einen PKW an:

Leistung: 50 kW, 70 kW und 90 kW Farben: weiß, blau, rot, schwarz

Reifen: Sommerreifen, Winterreifen, Allwetterreifen

Wie viele unterschiedliche Ausstattungen kann der Hersteller anbieten?

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

2. Permutation - n!

Von 4 schweigsamen Mädchen posieren 3 für ein Foto-Shooting. Wie viele

unterschiedliche Fotos entstehen, wenn jedes Mal die Plätze getauscht werden?

Merkmale beachten!!!

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

3. Variation und Kombination - die Reihenfolge ist wichtig!

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

Typische Aufgaben zur Variation

1. ohne Zurücklegen - Reihenfolge ist immer wichtig („Siegereinlauf“ - GTR „nPr“)

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Zurücklegen (= ohne Wiederholung) und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Bei einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. Nur die ersten drei Plätze werden prämiert. Auf wie viele verschiedene Arten kann sich die "Top 3"

zusammensetzen?

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

Typische Aufgaben zur Variation

2. mit Zurücklegen - Reihenfolge ist immer wichtig („Elferwette“)

In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln mit Zurücklegen (= mit Wiederholung) und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Beim Fußballtoto kann bei jedem der elf Spiele eine 1 (Heimmannschaft gewinnt), eine 0 (Unentschieden) oder eine 2 (Gastmannschaft gewinnt) angekreuzt werden. Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es?

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3 Laplace - Versuche und Zählregeln

Typische Aufgaben zur Kombination

ohne Zurücklegen - Reihenfolge ist immer egal

(„Lottoziehung“ - Binomialkoeffizient - GTR „nCr“)

In einer Urne befinden sich fünf gleichartige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Zurücklegen (= ohne Wiederholung) und ohne Beachtung der Reihenfolge

gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Beim Lotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?