Grundwissen Mathematik Klasse 9 Reelle Zahlen:
Quadratwurzeln: a ist die nicht-negative Lösung der Gleichung: x2 a. Merke: a heißt Radikand und darf nicht negativ sein!
Bsp.: 16 4,
7 2 7 7 Irrationale Zahlen: Jede Zahl, die sich nicht als Bruch darstellen lässt, nennt man irrationale Zahl. Ihre Darstellung als Dezimalzahl ist weder abbrechend noch periodisch.
Bsp.: 2,
Merke: Die Menge der rationalen Zahlen (Q) und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen
Rechenregeln: a b ab; a,bIR0
b a b
a ; aIR0,bIR
Potenzen mit rationalen Exponenten: n a ist die nicht-negative Lösung der Gleichung xn a
Potenzgesetze: an am anm
m n m
n a a
a :
a1 a1
n m
n m
a a
Bsp.: x2x3 x23 x5
x x x x
x 1
: 3 2 3 1
2
5 , 2 1 3
2 3
x x x
B C
A
Satzgruppe des Pythagoras:
Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
2 2
2 b c
a ,
mit a, b als Katheten und c als Hypotenuse.
Höhensatz: h2 pq , mit pqc
Kathetensätze: a2 cp q c b2
Anwendungsbsp.: Diagonale im Quadrat
2 2
2 a a
d d 2a2 a 2
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck:
Definitionen:
Hypotenuse von te
Gegenkathe
sin
Hypotenuse von Ankathete
cos
von Ankathete
von te Gegenkathe
cos tan sin
Beziehungen: sin2 cos2 1
Steigung einer Geraden: m x y
tan
Binomische Formeln:
1.
ab
2 a2 2abb2 Bsp.:
2x3
2 4x2 22x394x2 12x92.
ab
2 a2 2abb2
3xy3 5x2
2 9x2y6 30x3y3 25x43.
ab
ab
a2 b2 16 2 9 4 1 3 4 1 31 x x x
Quadratische Funktionen und Gleichungen:
Normalform: f(x)ax2 bxc
Scheitelform: f(x) a(x xs)2 ys, mit
S ( x
s/ y
s)
(Scheitel) Nullstellenform, Linearfaktorzerlegung: f(x)a
x x1
xx2
, mit x1, x2 als Nullstellen der Funktion f Lösungsformel („Mitternachtsformel“):
a
ac b
x b
2
2 4
2 , 1
(Nullstellen)
Diskriminante: Db2 4ac
D > 0 → zwei Lösungen (Nst.)
D = 0 → eine Lösung (doppelte Nst. ~ Scheitel) D < 0 → keine Lösung
Scheitel:
a xs b
2
,
y
s f ( x
s)
Bsp.: f
x 2x2 4x6 → a2; b4; c6Nst.:
2 2
6 2 4 4
4 2
2 ,
1
x → x1 1; x2 3
Nullstellenform: f
x 2
x1
x3
Scheitelform: 1;
1 82 2
4
f
xs → f
x 2
x1
2 8Zusammengesetzte Zufallsexperimente:
Pfadregeln 1. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert.
2. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man als Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
Beispiel:
Nehmen wir an, in einer Urne befinden sich 7 Kugeln, 4 sind blau, die restlichen 3 rot. Es werden ohne Zurücklegen nacheinander 3 Kugeln gezogen.
Baumdiagramm:
a. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kugeln blau sind?
11,4%35 4 5 2 6 3 7
4
bbb P
b. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei gezogenen Kugeln genau eine rote Kugel ist?
51,4%35 18 5 3 6 3 7 4 5 3 6 3 7 4 5 3 6 4 7 , 3
,brb bbr rbb
P
Geometrische Körper:
Prisma: O2GM 2GUh (Oberfläche; M = Mantelfläche) h
G V
Zylinder : O2GM 2r2 2rh h
r h G
V 2
Pyramide: V Gh 3 1
Kegel: M rs (r = Radius der Grundfläche, s = Mantellinie)
rs r
O 2
h r h G
V 2 3 1 3
1
Übungsaufgaben mit Lösungen:
1) Reelle Zahlen
Fasse folgende Terme zusammen und vereinfache:
1.1 4 x 3 16x5 9x
1.2 2
3
28 : 45 7 5
y x y
x
2) Pythagoras
2.1 Von einem rechtwinkligen Dreieck
900
sind die Längen b12 cm und cmq4 bekannt. (Tipp: Planfigur)
Berechne die fehlenden Größen a,c,p,hc und A. Gib die Ergebnisse, falls nötig, in Wurzelschreibweise und auf eine Nachkommastelle gerundet an.
2.2 Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a86m, die Höhe der Pyramide beträgt h46m.
a) Berechne die Länge der Seitenkante s. Runde das Endergebnis auf zwei
Nachkommastellen!
b) Berechne die Mantelfläche der Pyramide.
2.3 Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich!
3
22
sin cos cos
1 sin
3) Binomische Formeln
3.1 Multipliziere die Terme aus:
a)
7a3b1,5b2
2b)
2
4 2
4
3
x x
c)
2abc
2abc
3.2 Verwandle den Term in ein Produkt: 0,25x4 3x2y9y2 3.3 Ergänze die Lücken der Gleichung zu einer wahren Aussage:
22
2 18
36k km
4. Quadratische Gleichungen
4.1 Bestimme zur folgenden Funktion die Nullstellen und den Scheitel:
58 25 11 ,
0 2
x x
x f
4.2 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
6 1,5
0 21
x x
5. Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Barbara und Tom schießen mit Pfeil und Bogen gleichzeitig einmal auf dasselbe Ziel.
Barbara trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 9
5 und Tom mit 0,3.
a) Fertige zu diesem Zufallsexperiment ein geeignetes Baumdiagramm mit vollständiger Beschriftung und gib alle Spielausgänge an!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel mindestens einmal getroffen wird?
6. Geometrische Körper
Ein pyramidenförmiger Trichter mit einer Höhe von 16cm ist bis zur Hälfte mit einer Flüssigkeit gefüllt. Seine quadratische Öffnung hat eine Grundkantenlänge von8cm. a) Berechne die Länge der Seitenkante der Pyramide!
b) Bestimme den Winkel an der Pyramidenspitze, den zwei gegenüberliegende Seitenflächen einschließen!
c) Berechne das Volumen der eingefüllten Flüssigkeit!
Lösungen:
1.1 4 x12 x15 x x
1.2 y
x x y x
y y x y
x y x
3 2 9
4 45
7 28 5 28
: 45 7 5
2 3
2 2
3
2.1 hc2 122 42 hc 14416 8 2
cmp
cmq
p hc 32
4
2 128
c32436
cm a2 c2 b2 a 362 122 24 2
cmAhcc8 236407,3
cm2 oder Aab24 212407,3
cm22.2 a) s2 h2
0,5a 2
2 (Diagonale im Quadrat: d a 2) s 462 (0,586 2)2 3 646 76,25
mb) 86 2
0,5
2 172 462 432 10830,54
22 4 1 2
4 1
4 A g h h a m
M g
2.3
cos
1 cos
cos sin
cos cos
cos sin
sin 2
2 2
2 2
2
T
3.1 a) 49a6b2 21a3b3 2,25b4
b) 8 3 42
16 3 9
x x
x
c) 4a2 b2c2 3.2
0,5x2 3y
23.3 36k2 18km2 2,25m4
6k1,5m2
24.1 Nst.: x1 2,5 x2 8
Scheitel:
64 /441 75 , 2
S
4.2 x1 0 x2 4 5a)
9 5
9 4
B B
0,3 0,7 0,3 0,7
T T T T
BT,BT,BT,BT
5b)
69%
45 7 31 , 9 0 1 4
1
PBT E
P
6a) s 25632 12 2
6b) 14,04 2 28 16
tan 4
6c)
3 422 8 3 4 1 2
V