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Dozentin:WiebkePetersen7.Foliensatz MathematischeGrundlagenderComputerlinguistikKombinatorik

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Academic year: 2022

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Kombinatorik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Kombinatorik

Dozentin: Wiebke Petersen

7. Foliensatz

(2)

Kombinatorik

Kombinatorik

Thema der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.

Typische kombinatorische Aufgaben sind Urnenaufgaben:

Wieviele Möglichkeiten gibt es k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen?

ob die gezogenen Kugeln wieder zurückgelegt werden oder nicht, und

ob die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, beachtet wird oder nicht.

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Kombinatorik

Kombinatorik

Thema der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.

Typische kombinatorische Aufgaben sind Urnenaufgaben:

Wieviele Möglichkeiten gibt es k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen?

Hierbei unterscheidet man

ob die gezogenen Kugeln wieder zurückgelegt werden oder nicht, und

ob die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, beachtet wird oder nicht.

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kombinatorische Grundaufgaben: Beispiele

ohne Zurücklegen mit Zurücklegen mit Beachtung der

Reihenfolge 3er-Wette (Rennsport) Toto ohne Beachtung

der Reihenfolge Lotto / Skat Eisbecher

(5)

Kombinatorik

Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Tippen der Ergebnisse von 11 Fußballspielen (1: Sieg Heimmannschaft, 2: Sieg Gastmannschaft, 0:

unentschieden).

3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3 = 311= 177147

Es gibt nk

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten mit Beachtung ihrer Reihenfolge und mit Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Toto (11er-Wette)

(6)

Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Tippen der Ergebnisse von 11 Fußballspielen (1: Sieg Heimmannschaft, 2: Sieg Gastmannschaft, 0:

unentschieden).

3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3 = 311= 177147

Es gibt nk

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten mit Beachtung ihrer Reihenfolge und mit Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Toto (11er-Wette)

(7)

Kombinatorik

Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Spezialfall: alle Kugeln werden gezogen (n=k)

Permutationen

nObjekte lassen sich aufn! = 1·2·3·. . .·nverschiedene Arten in einer Reihe anordnen.

Der Ausdruckn! wird ‚nFakultät‘gelesen.

AlsPermutationbezeichnet man eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst.

Zu einern-elementigen Menge gibt esn! Permutationen.

Permutationen sind ein Spezialfall (k=n) des ‚Ziehens ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge‘

Lineare Anordnungsmöglichkeiten für 3 verschiedenfarbige Kugeln:

3! = 1·2·3 = 6

(8)

Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Spezialfall: alle Kugeln werden gezogen (n=k) Permutationen

nObjekte lassen sich aufn! = 1·2·3·. . .·nverschiedene Arten in einer Reihe anordnen.

Der Ausdruckn! wird ‚nFakultät‘gelesen.

AlsPermutationbezeichnet man eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst.

Zu einern-elementigen Menge gibt esn! Permutationen.

Permutationen sind ein Spezialfall (k=n) des ‚Ziehens ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge‘

Lineare Anordnungsmöglichkeiten für 3 verschiedenfarbige Kugeln:

3! = 1·2·3 = 6

(9)

Kombinatorik

Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Tippen der ersten 3 Plätze bei einem Pferderennen, wenn 10 Pferde starten.

10·9·8 = 10!

(10−3)!= 720

Es gibt n!

(n−k)!

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten mit Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: 3er-Wette Pferderennsport

(10)

Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Tippen der ersten 3 Plätze bei einem Pferderennen, wenn 10 Pferde starten.

10·9·8 = 10!

(10−3)!= 720

Es gibt n!

(n−k)!

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten mit Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: 3er-Wette Pferderennsport

(11)

Kombinatorik

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Lottospiel (6 aus 49)

49!

(49−6)!: 6! = 49! (49−6)!·6! =

49

6

= 13983816

Beispiel: Skathände (10 aus 32)

32!

(32−10)!: 10! = 32!

(32−10)!·10! =

32

10

= 64512240

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Lotto

Beispiel: Skat

(12)

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Lottospiel (6 aus 49) 49!

(49−6)!: 6! = 49!

(49−6)!·6! =

49

6

= 13983816

Beispiel: Skathände (10 aus 32) 32!

(32−10)!: 10! = 32!

(32−10)!·10! =

32

10

= 64512240

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Lotto

Beispiel: Skat

(13)

Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen

Es gibt n!

(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Zurücklegen aber mitBeachtung der Reihenfolge auszuwählen.

Jedek-Auswahl ohne Wiederholungen lässt sich aufk! Arten anordnen. Folglich gibt es

n!

(n−k)!:k! = n! (n−k)!· 1

k! = n! k!·(n−k)!

verschiedene ungeordnetek-Auswahlen aus einerner-Menge ohne Wiederholungen. Die Zahlen k!·(n−k)!n! sind dieBinomialkoeffizientenund werden oft mit nk

bezeichnet (in Worten ‚nüberk‘).

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

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Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen

Es gibt n!

(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Zurücklegen aber mitBeachtung der Reihenfolge auszuwählen.

Jedek-Auswahl ohne Wiederholungen lässt sich aufk! Arten anordnen.

n!

(n−k)!:k! = n! (n−k)!· 1

k! = n! k!·(n−k)!

verschiedene ungeordnetek-Auswahlen aus einerner-Menge ohne Wiederholungen. Die Zahlen k!·(n−k)!n! sind dieBinomialkoeffizientenund werden oft mit nk

bezeichnet (in Worten ‚nüberk‘).

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

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Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen

Es gibt n!

(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Zurücklegen aber mitBeachtung der Reihenfolge auszuwählen.

Jedek-Auswahl ohne Wiederholungen lässt sich aufk! Arten anordnen.

Folglich gibt es

n!

(n−k)!:k! = n!

(n−k)!· 1

k! = n!

k!·(n−k)!

verschiedene ungeordnetek-Auswahlen aus einerner-Menge ohne Wiederholungen.

Die Zahlen k!·(n−k)!n! sind dieBinomialkoeffizientenund werden oft mit nk bezeichnet (in Worten ‚nüberk‘).

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

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Herleitung: ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen

Es gibt n!

(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Zurücklegen aber mitBeachtung der Reihenfolge auszuwählen.

Jedek-Auswahl ohne Wiederholungen lässt sich aufk! Arten anordnen.

Folglich gibt es

n!

(n−k)!:k! = n!

(n−k)!· 1

k! = n!

k!·(n−k)!

verschiedene ungeordnetek-Auswahlen aus einerner-Menge ohne Wiederholungen.

Die Zahlen k!·(n−k)!n! sind dieBinomialkoeffizientenund werden oft mit nk bezeichnet (in Worten ‚nüberk‘).

Es gibt

n k

= n!

k!·(n−k)!

Möglichkeitenk Objekte aus einer Menge vonnObjekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszuwählen.

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Kombinatorik

Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Eisbecher mit 3 Kugeln aus 10 Eissorten zusammenstellen.

10 + 3−1 3

= 220

Es gibt

n+k−1 k

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und mit Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Eisbecher

(18)

Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: Eisbecher mit 3 Kugeln aus 10 Eissorten zusammenstellen.

10 + 3−1 3

= 220

Es gibt

n+k−1 k

MöglichkeitenkObjekte aus einer Menge vonn Objekten ohne Beachtung ihrer Reihenfolge und mit Zurücklegen auszuwählen.

Beispiel: Eisbecher

(19)

Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

• • • ••• | • •|||•

• • • ••• || • | • |•

• • • ••• •||| • •|

• • • • • • ||| • ••|

Die Kodierung der Eisbecher ist so gewählt, dass sich das Problem der Wahl vonk Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk

ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert. Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

Hierfür gibt es

k+n−1 k

Möglichkeiten .

(20)

Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

• • • ••• | • •|||•

• • • ••• || • | • |•

• • • • • • ||| • ••|

Die Kodierung der Eisbecher ist so gewählt, dass sich das Problem der Wahl vonk Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk

ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert. Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

Hierfür gibt es

k+n−1 k

Möglichkeiten .

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Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

• • • ••• | • •|||•

• • • ••• || • | • |•

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Die Kodierung der Eisbecher ist so gewählt, dass sich das Problem der Wahl vonk Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk

ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert. Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

Hierfür gibt es

k+n−1 k

Möglichkeiten .

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Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

• • • ••• | • •|||•

• • • ••• || • | • |•

• • • ••• •||| • •|

• • • • • • ||| • ••|

Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert. Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

Hierfür gibt es

k+n−1 k

Möglichkeiten .

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Kombinatorik

Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

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• • • ••• || • | • |•

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Die Kodierung der Eisbecher ist so gewählt, dass sich das Problem der Wahl vonk Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk

ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert.

Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

k+n−1 k

Möglichkeiten .

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Herleitung: ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen

Beispiel: gemischte Eisbecher mit 3 Kugeln aus 5 Eissorten

Schoko Nuß Orange Erdbeer Banane

Becher Kodierung

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• • • ••• || • | • |•

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Die Kodierung der Eisbecher ist so gewählt, dass sich das Problem der Wahl vonk Eiskugeln ausnEissorten auf das Problem der linearen Anordnung vonk

ununterscheidbaren Kugeln undn−1 ununterscheidbaren Strichen reduziert.

Dieses Problem lässt sich als Auswahl vonkPositionen (die Kugelpositionen) aus k+n−1 Positionen auffassen.

Hierfür gibt es

k+n−1 k

Möglichkeiten .

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Kombinatorik

kombinatorische Grundaufgaben:Zusammenfassung

Anzahl der k-Auswahlen aus einer ner-Menge:

ohne Wiederholungen mit Wiederholungen mit Beachtung der

Reihenfolge

n k

· k! =

(n−k)!n!

n

k

ohne Beachtung der Reihenfolge

n k

=

k!·(n−k)!n! n+k−1k

Hinweise:

Bearbeiten Sie bitte das Modul Kombinatorik (Link)

(26)

Quiz-Time

Referenzen

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