Ziel: untere Schranken für eingeschränkte Klassen von booleschen Schaltkreisen

10.01.2005 Komplexitätstheorie

Ziel: untere Schranken für eingeschränkte Klassen von booleschen Schaltkreisen

- bislang: monotone Schaltkreise (ohne ) ¬ - jetzt: Schaltkreise konstanter Tiefe

Bem.: jede boolesche Funktion kann von Schaltkreisen (exponentieller Größe und) der Tiefe 2 berechnet werden; und zwar durch Berechnung der DNF dieser Funktion

Paritätsfunktion: ( ,..., ) ( ) mod 2

1

1 ∑

=

= ⁿ

i i

n x

x x parity

(entspricht gerader/ungerader Anzahl von 1en) Wir zeigen: Parity ∉ AC ⁰

Parity ist nicht berechenbar durch Schaltkreise polynomieller Größe p(n) und Tiefe d für jedes (noch so große) d.

Trick: Repräsentierung boolescher Funktionen durch Polynome, Beispiel:

(Polynom vom Grad n)

∏ =

=

∧ ⁿ

i i

n x

x x

1 1 ,..., ) (

- hier: Approximation durch Polynom niedrigen Grades Beweis in 2 Schritten:

Ziel 1: Für f ∈ gibt es ein Polynom p() kleinen Grades mit für fast alle .

AC 0

} 1 , 0

∈ {

→ x

) ( ) ( x ^→ = p ^→ x f

Ziel 2: Es gibt kein Polynom q() kleinen Grades mit für viele .

) ( )

( x ^→ = parity ^→ x q

} 1 , 0

∈ {

→ x

Zusammen folgt die Behauptung.

Für Ziel 1 brauchen wir die Approximation von und . Es reicht, nur ∨ zu approximieren, denn:

∧ ∨

- wenn p ( x ₁ ,..., x _n ) = ∨ ( x ₁ ,..., x _n ) , dann ist ∧ ( x ₁ ,..., x _n ) = 1 − p ( 1 − x ₁ ,..., 1 − x _n ) . Polynome zur Approximation von werden zufällig konstruiert: ∨

} ,..., 1 {

0 : n

S =

, wobei für k gilt:

i

i S

S ₊₁ ≤ ∈ S _i Pr[ k ∈ S _{i + 1} ] = ¹ ₂ .

Definiere für i=1,...,m

∑ ∈

=

S

i

j j

i x

q :

Grad von p ≤ m

∏ =

−

= ^m

i q i

p

0

) 1 (

: = O (log n )

Falls ∧ ( x ₁ ,..., x _n ) = 0 , dann ist p ( x ₁ ,..., x _n ) = 1 .

Zu zeigen: Ist ( ∨ x ₁ ,..., x _n ) = 1 , dann ist Pr[ p ( x ₁ ,..., x _n ) = 0 ] ≥ ₂ ¹ , (*)

− ≤ ( ₂ ¹ )

d.h. 1 p approximiert das ∨ mit Fehlerwahrscheinlichkeit .

Wahrscheinlichkeitsverstärkung: konstruiere wie oben unabhängig und betrachte statt 1 das Polynom 1 vom Grad , das mit approximiert mit Fehlerwahrscheinlichkeit

p t

p ₁ ,..., p ₁ * ...

−

− p ) + 2

p t

* (log ₂

≤ t n ∨

) t 2 1

( . Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als , wenn ε t = log _ε ¹ .

Beweis von (*): p ( x ₁ ,..., x _n ) = 0 , wenn mindestens eines der q _i = 1 ist.

, wenn

= 1

q i S _i ∩ T = 1 , wobei T = { j ; x _j = 1 }.

zu berechnen: Pr[ ∃ i : S _i ∩ T = 1 ]

Fallunterscheidung:

Fall 1: ∀ i ∈ { 0 ,..., m } : S _i ∩ T > 1 .

Wahrscheinlichkeit dafür ist:

4 1 4 1

2 log 2 1

*

) (

* ] 1 Pr[

] 1 :

Pr[

] 1 :

Pr[

=

=

≤

≥

∩

≤

≥

∩

∀

≤

>

∩

∀

+

n

n n

i i

n

n S

T

S T i S

T i

Fall 2: ∃ i ∈ { 0 ,..., m } : S _i ∩ T ≤ 1 Sei i ₀ : = min{ i ; T ∩ S _i ≤ 1 }

d.h. _{− 1} > 1

i

o

∩ S

= T

k ;

1

0

≤

∩ S _i T

3 2 2 1

* 2

2

*

] 1

| 1

Pr[

0 0

1

0

+ ≥ + =

=

≤

∩

∧

=

∩

=

∩

−

−

−

−

k k k

k

S T k S

T S

T

k k

k

i i

i

also folgt: Pr[ ∃ i : T ∩ S _i = 1 ] ≥ ₄ ³ * ₃ ² = ₂ ¹

Insgesamt: Schaltkreis C der Größe s und Tiefe d wird approximiert mit Fehlerwahrscheinlichkeit ∂ durch ein Polynom:

- approximiere jedes Gatter durch Polynom mit Fehler ^∂ _s

- Grad O ((log( _d ^s ) log n ) ^d ) , also polylogarithmisch in n, falls ein Polynom und ∂ , s konstant. Für große n ist der Grad <

) (n s

n 2 .

Es gibt Polynom p von polylogarithmischem Grad (insb. Grad < ⁿ ₂ ) mit

C ( x ₁ ,..., x _n ) = p ( x ₁ ,..., x _n ) für mindestens 0 , 9 ⁿ * 2 ⁿ der möglichen 2 ⁿ Inputs.

Ziel 2: Es gibt kein Polynom q() kleinen Grades mit q für viele .

) ( )

( x ^→ = parity ^→ x }

1 , 0

∈ {

→ x

Lineartransformation: y = 1 − 2 x liefert Darstellung mit “true“ = -1, “false“ = +1.

(bislang: “true“ = 1, “false“ = 0)

In dieser Darstellung ist parity ∏ .

=

= ⁿ

i i

n y

y y

1 1 ,..., ) (

Ziel 2’: (nächste Stunde)

Es gibt kein Polynom q ( y ₁ ,..., y _n ) vom Grad < ⁿ ₂ , 1

∈ {

mit

für der .

∏ =

= ⁿ

i i

n y

y y q

1 1 ,..., )

( 0 , 9 ⁿ * 2 ⁿ ( y ₁ ,..., y _n ) − 1 } ⁿ