1. Aufgabe: Die vier größten Pizza-Produzenten besitzen zusammen einen großen Marktanteil. Diesen Marktanteil teilen sie sich wie folgt auf:

1. Aufgabe: Die vier größten Pizza-Produzenten besitzen zusammen einen großen Marktanteil. Diesen Marktanteil teilen sie sich wie folgt auf:

Produzent Anteil

Oetker 35%

Wagner 33%

Freiberger (Handelsmarken) 22%

Papalina (Lidl) 10%

Die Konzentration innerhalb des Marktanteiles soll untersucht werden.

a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten.

b) Zeichnen Sie die Lorenzkurve.

Lösung:

n = 4

i u

=

x

P

k=1

x

v

=

Pi k=1

x_(k) Pn

k=1x_(k)

1 0,25 10 10 0,10

2 0,5 22 32 0,32

3 0,75 33 65 0,65

4 1 35 100 1,00

100 2,07

G = 1 + 1 n − 2

n X

i=1

v

= 1 + 1 4 − 2

4 2, 07 = 0, 215

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

Lorenzkurve

u

v

2. Aufgabe: Ein Supermarkt hat bei einer Großbäckerei zur Basiszeit 0 und zur Berichtszeit 1 jeweils die drei Produkte Brot, Semmeln und Torten eingekauft.

Gut j Preis zur Menge zur Preis zur Menge zur Basiszeit Basiszeit Berichtszeit Berichtszeit

Brot 1 1,50 180 1,80 200

Semmeln 2 0,22 800 0,20 1400

Torten 3 30,00 15 40,00 12

a) Bestimmen Sie den Umsatzindex. Was bedeutet der erhaltene Wert?

b) Bestimmen Sie den Preisindex nach Laspeyres.

Lösung:

a)

U

= P

p

(j)q

(j) P

j=1

p

(j)q

(j)

= 1, 80 · 200 + 0, 20 · 1400 + 40 · 12

1, 50 · 180 + 0, 22 · 800 + 30 · 15 = 1120

896 = 1, 25

Der Umsatz ist von der Basiszeit 0 und zur Berichtszeit 1 um 25% gestiegen.

b) Preisindex nach LASPEYRES:

P

= P

p

(j)q

(j) P

j=1

p

(j)q

(j)

= 1, 80 · 180 + 0, 20 · 800 + 40 · 15

1, 50 · 180 + 0, 22 · 800 + 30 · 15 = 1084

896 ≈ 1, 21

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3. Aufgabe: Ein Freemail-Anbieter möchte zum Schutz seiner Kunden einen Spam- Filter anbieten. Es gibt zwei Merkmale (Merkmal 1 und Merkmal 2), welche auf eine Spam-Mail hindeuten. Damit können die Mails in drei Gruppen eingeteilt werden:

Gruppe 1: Mails mit Merkmal 1

Gruppe 2: Mails mit Merkmal 2 und ohne Merkmal 1 Gruppe 3: Mails ohne die Merkmale 1 und 2

Der Anteil der drei Gruppen am Gesamtmailaufkommen und die Spam-Mail-Quote sind in der folgenden Tabelle zu finden:

Gruppe Anteil an den Mails Spam-Mail-Quote

1 5% 95%

2 15% 70%

3 80% 20%

a) Formulieren Sie vor den Berechnungen der gesuchten Wahrscheinlichkeiten re-

levante Ereignisse und geben Sie dafür die aus der Tabelle folgenden Wahr-

scheinlichkeiten an.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail eine Spam-Mail ist?

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Spam-Mail weder Merkmal 1 noch Merkmal 2, stammt damit also aus der Gruppe 3?

Lösung:

a) A

- eine zufällig ausgewählte Mail ist aus der Gruppe i S - eine zufällig ausgewählte Mail ist eine Spam-Mail.

P (A

) = 0, 05 P (S|A

) = 0, 95 P (A

) = 0, 15 P (S|A

) = 0, 70 P (A

) = 0, 80 P (S|A

) = 0, 20 b)

P (S) = X

i=1

P (S|A

) · P (A

)

= 0, 95 · 0, 05 + 0, 70 · 0, 15 + 0, 20 · 0, 80 = 0, 3125 c)

P (A

|S) = P (S|A

) · P (A

)

P (S) = 0, 2 · 0, 8

0, 3125 = 0, 512

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4. Aufgabe: Eine sächsische Molkerei füllt Milch in 500 ml Tetrapacks ab. Die Füll- menge ist normalverteilt mit Erwartungswert 502 ml und Standardabweichung 1ml.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Tetrapack zwischen 500 ml und 503 ml enthalten sind?

b) Wie groß darf bei einem Erwartungswert von 502 ml die Standardabweichung höchstens sein, damit die Füllmenge von 500 ml höchstens mit einer Wahr- scheinlichkeit von 1% unterschritten wird?

Lösung:

X ∼ N (µ, σ

) mit µ = 502 ml und σ = 1 ml.

a)

P (500 ≤ X ≤ 503) = Φ

µ 503 − 502 1

¶

− Φ

µ 500 − 502 1

¶

= Φ(1) − Φ(−2) = Φ(1) − (1 − Φ(2))

= Φ(1) + Φ(2) − 1

= 0, 8413 + 0, 9772 − 1 = 0, 8185

b)

µ = 502 P (X < 500) ≤ 0, 01 Φ

µ 500 − 502 σ

¶

≤ 0, 01

−2

σ ≤ z

= −z

= −2, 3263

= ⇒ σ ≤ 2 ml

2, 3263 ≈ 0, 86 ml

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5. Aufgabe: Auf einer Ausstellung von 12 Gemälden befinden sich 8 Originale. Ein Besucher wählt zufällig 4 Bilder aus und kauft diese.

a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Originale unter den 4 gekauften Bildern verteilt? (Parameter nicht vergessen!)

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Orginale gekauft hat?

c) Jedes Original kann er mit einem Gewinn von 50 e weiter verkaufen. Bei jedem Bild, welches kein Orginal ist, macht er einen Verlust von 100 e (d.h.

der Gewinn beträgt in diesem Fall -100 e). Wie groß ist der erwartete Gewinn?

Lösung:

a) X ist hypergeometrisch verteilt (X ∼ Hyp(N, M, n)) mit den Parametern N = 12, M = 8 und n = 4.

b)

P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) =

¡

3

¢¡

1

¢

¡

4

¢ +

¡

4

¢¡

0

¢

¡

4

¢

= 224 495 + 70

495 = 294

495 ≈ 0, 594 c) 50 e·X = Gewinn der Originale

−100 e·(4 − X) = Gewinn der Nicht-Originale

= ⇒ G = 50 e · X − 100 e · (4 − X)

= 150 e · X − 400 e

= ⇒ EG = 150 e · EX − 400 e

= 150 e · 8

3 − 400 e = 0 e Dabei ist

EX = n · M

N = 4 · 8 12 = 8

3

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6. Aufgabe: Am Ende einer Ortschaft wurde eine Verkehrsstudie durchgeführt. In- nerhalb einer festen Zeitspanne wurden 40 Fahrzeuge gezählt, darunter befanden sich 12 LKWs.

a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Fahrzeug, welches die Ortschaft verlässt, ein LKW ist.

b) Am nächsten Tag wurde erneut eine Verkehrszählung durchgeführt. Es wurde immer die Anzahl der Fahrzeuge bis einschließlich des ersten LKWs notiert und dann wieder von vorne begonnen zu zählen. Man erhielt die folgende Stichpro- be: x

= 4 x

= 1 x

= 3 x

= 5 x

= 1 x

= 2

x

= 4 x

= 2 x

= 1 x

= 8 x

= 1 x

= 4

i. Wie ist die zufällige Anzahl X der Fahrzeuge bis zum ersten LKW verteilt?

ii. Wie lautet die Schätzung für den Parameter der Verteilung nach der Momentenmethode?

Lösung:

a) Bernoulli-Verteilung:

X

=

( 1 : falls i-te Fahrzeug ein LKW ist

0 : sonst = ⇒ X

∼ B(p)

X

, X

, . . . , X

sind unabhängig

= ⇒ Y =

X

X

∼ Bin(n, p) (Binomialverteilung)

Bei n = 40 wurde y = 12 beobachtet:

= ⇒ p ˆ = x = y n = 12

40 = 3

10 = 0, 3

b) i. X ∼ Geo(p), d.h. X ist geometrisch verteilt mit Parameter p.

ii.

EX = 1

p = ⇒ p = 1 EX Der Mittelwert ist ein Schätzer für den Erwartungswert:

EX d = x = 4 + 1 + 3 + . . . + 4

12 = 36

12 = 3 Momentenmethode = ⇒ p ˆ = 1

EX d = 1

3 = 0, 33

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7. Aufgabe:

a) Aus einer Stichprobe x

, ..., x

wurde folgendes Box-Plot erstellt:

Jemand behauptet, dass die Stichprobe die Realisierung von unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen ist. Beurteilen Sie diese Behauptung mit Hilfe des Box-Plots.

Lösung:

Die Verteilung der 100 Stichprobenwerte ist nicht symmetrisch, sondern rechts- schief. Außerdem gibt es mehrere Ausreißer nach oben. Beides spricht gegen die Behauptung, dass es sich bei den 100 Stichprobenwerten um die Realisierung von unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen handelt.

b) An einer Klausur nahmen 200 Studierende teil. Davon waren 106 BWL-, 67 WIW- und 27 B&L-Studenten. Die mittlere Note bei den BWL-Studenten ist 3,80, bei den WIW-Studenten 3,16 und bei den B&L-Studenten 3,47.

Bestimmen Sie die Gesamtdurchschnittsnote der Klausur.

Lösung:

Mittelwerte aus r = 3 Teilgesamtheiten:

x = 1 n

X

n

x

= 1

200 (106 · 3, 8 + 67 · 3, 16 + 27 · 3, 47) = 3, 54

c) Für eine Stichprobe X

, ..., X

von unabhängigen und normalverteilten Zufalls- variablen ist die Punktschätzung für den Erwartungswert µ der Mittelwert X, d.h.

ˆ µ = X.

Nennen Sie zwei Eigenschaften dieses Schätzers.

Lösung:

ˆ

µ = X ist erwartungstreu, d.h. Eˆ µ = µ.

ˆ

µ = X ist konsistent.

d) Bestimmen Sie für die folgende Stichprobe die empirische Verteilungsfunktion an der Stelle 3,5.

x

= 4 x

= 1 x

= 3 x

= 5 x

= 1 x

= 2 x

= 4 x

= 2 x

= 1 x

= 8 x

= 1 x

= 4 Lösung:

F ˆ

(3, 5) = Anzahl{x

< 3, 5}

12 = 7

12

e) Das unten skizzierte System fällt aus, falls die Komponente K

ausfällt oder auch falls die beiden Komponenten K

und K

ausfallen.

Weiterhin seien folgende Ereignisse gegeben:

K

= „ i-te Komponente fällt aus.“ i = 1, 2, 3 A = „System fällt aus.“

Geben Sie unter der Annahme unabhängiger Defekte an den einzelnen Kom- ponenten die Wahrscheinlichkeit P (A), dass innerhalb der Betriebsdauer das System ausfällt, mit Hilfe von P (K

), P (K

) und P (K

) an.

Lösung:

A = K

∪ (K

∩ K

) P (A) = P (K

∪ (K

∩ K

))

= P (K

) + P (K

∩ K

) − P (K

∩ K

∩ K

)

= P (K

) + P (K

) · P (K

) − P (K

) · P (K

) · P (K

)

oder so:

P (A) = P (K

∪ (K

∩ K

))

= 1 − (1 − P (K

)) · (1 − P (K

∩ K

))

= 1 − (1 − P (K

)) · (1 − P (K

) · P (K

))

= 1 − 1 + P (K

) + P (K

) · P (K

) − P (K

) · P (K

) · P (K

)

= P (K

) + P (K

) · P (K

) − P (K

) · P (K

) · P (K

)