Tutoriumsblatt 2 zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (LA Gymnasium)

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 3.5.2019

Tutoriumsblatt 2 zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (LA Gymnasium)

Aufgabe 1:

Zeige, daß die Funktionen f :R → R

x 7→ x

(1 +x²)²

und g:R → R x 7→ x²

(1 +x²)²

λ−integrierbar

sind und berechneR

R

f dλund R

R

gdλ.

Aufgabe 2:

a) Zeige, daß f¨ur alle n∈N das Integral

1

Z

0

x²(1−x)ⁿdxexistiert und berechne es.

b) Es sei λ² das Borel-Lebesguemaß auf R² und W := [−π, π]×[0,2π]⊆R². Zeige, daß das Integral

Z

W

xysin x²

dλ²(x, y)

existiert und berechne es.

Aufgabe 3:

Sei ∆ ={(x, y)∈R²: 0≤2|y| ≤x≤6}. Skizziere diese Menge und zeige, daß f : ∆ → R (x, y) 7→ (x−y)² λ²−integrierbar ist und berechne

Z

∆

f dλ².