Ubungsblatt 3 zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und ¨ gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (LA Gymnasium)

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 8.5.2019

Ubungsblatt 3 zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und ¨ gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (LA Gymnasium)

Aufgabe 58: (10 Punkte)

Es seiλ³ das Lebesguemaß aufR³,A:={(x, y, z)∈R³ :x²+y² ≤1}und B:={(x, y, z)∈R³: x²+y²≤p

|z|}, f :A → R

(x, y, z) 7→ e^{−x2−y2−z2} und

g:B → R

(x, y, z) 7→ (x²+y²)e^−z2 .

Zeige, daßf und g λ³−integrierbar sind und berechne Z

A

f dλ³ und Z

B

gdλ³.

Aufgabe 59: (15 Punkte)

Es sei h·,·i: R^d×R^d→ Rdas Standardskalarprodukt auf R^d, λ^d: B(R^d) → [0,∞] das Borel- Lebesguemaß aufR^d undL¹(R^d) :=







f :R^d→C:f meßbar, Z

R^d

|f|dλ^d<∞







. Zeige:

a) F¨urf ∈ L¹(R^d) undk∈R^d existiert fˆ(k) := 1

(2π)^d2 Z

R^d

e^−ihk,xif(x)dλ^d(x)

und fb:R^d → C k 7→ fb(k)

definiert eine stetige Funktion mit

kfbk_∞:= sup{|fb(k)|:k∈R^d} ≤(2π)^−d2kfk_L1(R^d):= (2π)^−d2 Z

R^d

|f|dλ^d

b) Ist f :R^d →C stetig differenzierbar und supp(f) :={x∈R^d:f(x)6= 0} kompakt inR^d, so gilt f, Djf ∈ L¹(R^d) f¨ur alle j ∈ {1, ..., d} und|fb(k)|^kkk→∞−→ 0.

c) Istf :R^d→Cstetig differenzierbar und supp(f) kompakt in R^d, so gilt

∂fb

∂kj

(k) = −ixdjf(k)

Dd_jf(k) = ik_jfb(k) Aufgabe 60: (10 Punkte)

Definiere die Funktionenf, g:R² →Rdurch

f(x, y) := 2x²+ 2y²−e^xy, g(x, y) := (1−x²−y²)². Bestimme die lokalen Extrema vonf und g.

Aufgabe 61: (15 Punkte)

Es seiU :={(x, y)∈R²:x²+y² <1}. Zeige, daß f :U → R³

x y

7→













x 1−x²−y²

e^x+y2 ln

1−x² 1 +y













dreimal stetig differenzierbar ist und bestimme das Taylorpolynom 3. Grades.

Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 16.5.2019, 12 Uhr – im ¨Ubungskasten vor der Bibiliothek, Theresienstraße 1. Stock