Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 26.6.2019
Ubungsblatt 9 zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und ¨ gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (LA Gymnasium)
Aufgabe 82: (10 Punkte)
a) Bestimme alle analytischen Funktionen f : C\{2} → C mit f 1
n
= 1−n2
n2−2n3 f¨ur alle n∈N.
b) Bestimme alle analytischen Funktionen g:C→ Cmit g0(z) =−zg(z) f¨ur alle z∈C und g(0) = 1.
Aufgabe 83: (10 Punkte)
a) Zeige, daß f :C\{−1} → C z 7→ sin(z−2z+1)
analytisch ist.
b) Bestimme die Menge N := {z ∈ C\{1} : f(z) = 0} der Nullstellen von f und deren H¨aufungspunkte.
c) Offenbar gibt es ein z ∈ C\{−1} mit f(z) 6= 0. Wieso ist dies kein Widerspruch zum Identit¨atssatz?
Aufgabe 84: (10 Punkte)
Bestimme alle holomorphen Funktionenf :C→C, dief(e
√
2πin) = 1 f¨ur alle n∈Nerf¨ullen.
Aufgabe 85: (10 Punkte) Berechne f¨urλ >0 das Integral
∞
Z
0
e−x2cos(λx)dx.
Hinweis:
∞
Z
−∞
e−x2dxhaben wir schon berechnet.
Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 4.7.2019, 12 Uhr – im Ubungskasten vor der Bibiliothek, Theresienstraße 1. Stock¨
