Ubung Nr. 9 ¨

IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat

Abgabe:21.12.2012

Ubung Nr. 9 ¨

zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Winter 2012/13 Aufgabe 9.1: (Konvergenzraten iterativer Verfahren)

Sch¨atzen Sie die Konvergenzordnung nach Definition 5.1 der folgenden Folgen:

i ai bi ci

1 0.375 2.63 0.973

2 0.211 2.56 0.934

3 6.67e-02 2.49 0.878 4 6.68e-03 2.42 0.801 5 6.70e-05 2.35 0.697 6 6.73e-09 2.29 0.566 7 6.79e-17 2.23 0.415 8 6.91e-33 2.17 0.259

Aufgabe 9.2: (Iterationsverfahren I)

x^(k+1)=g(x^(k)) :=x^(k)−ω

Ax^(k)−b

. (9.1)

(a) Zeigen Sie, dass ein Fixpunktzvongdas GleichungssystemAz=bl¨ost.

(b) Finden Sie eine Bedingung anω, so dass Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz die Existenz und Eindeutigkeit vonz und die Konvergenz des Verfahren f¨ur beliebige Startwertex⁽⁰⁾ ∈Rⁿfolgern k¨onnen. Messen Sie dazu die Lipschitz- Stetigkeit in der euklidischen Norm und nutzen Sie, was Sie ¨uber symmetrische Matrizen wissen.

(c) Zeigen Sie, dass es keinωgibt, f¨ur das das Verfahren konvergiert, fallsAsymmetrisch und indefinit ist, also positive und negative Eigenwerte hat.

Aufgabe 9.3: (Iterationsverfahren II)

(a) Bestimmen Sie den Parameter im Verfahren (9.1) optimal, das heisst, so dass die NormkI−ωAk2minimal ist.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur diesen optimalen Parameter die Konvergenzabsch¨atzung

kx^(k+1)−zk2≤ κ−1

κ+ 1kx^(k)−zk2

mit der Spektralkonditionκ=λmax/λminder MatrixAgilt.

Aufgabe 9.4: (Zusatzaufgabe: Iterationsverfahren III)

(a) Seienλidie (komplexen) Eigenwerte vonA. Skizzieren Sie f¨ur die exemplarischen Eigenwerteλ= 7±2i,λ =±4i undλ=−1±iden Graphen der Funktionenfi(ω) = 1−ωλif¨urω∈R⁺.

(b) Zeigen Sie, dass Sie das Verfahren in Gleichung (9.1) durch Wahl vonω >0genau dann zur Konvergenz bringen k¨onnen, wenn alle Eigenwerteλ_ieinen positiven Realteil haben.

(c) Zeichnen Sie in die Skizze aus (a) einen Einheitskreis. Was ist der Zusammenhang zwischen den beiden Aufgabenteilen?

Jede Aufgabe 4 Punkte.