Seminararbeit
Verallgemeinerungen zum Satz über die oene Abbildung
Stefan Koller 11.2.2016
Betreuung:
Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Harald Woracek
Technische Universität Wien
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
1.1 Grundlegendes . . . 3
2 Fast-Oenheit von Abbildungen 4
2.1 Topologische Gruppen . . . 4 2.2 Lokalkonvexe topologische Vektorräume . . . 6
3 Oenheit von fast oenen Abbildungen 8
3.1 Satz zur Oenheit von fast oenen Abbildungen . . . 8 3.2 Anwendungen in (semi-)topologischen Gruppen . . . 14
1 Einleitung
Die folgende Arbeit behandelt Bedingungen dafür, ob eine stetige Funktion f :E →F mit topologischen RäumenE undF oen ist. Die Bedingungen können sich dabei sowohl an die Funktionf, als auch an die Räume E und F richten.
1.1 Grundlegendes
Im Folgenden sei der Abschluss einer Menge X bezüglich einer Topologie stets mit X und das Innere mitX◦ bezeichnet. Die Topologie sollte - wenn nicht explizit angegeben - aus dem Zusammenhang ersichtlich sein.
Denition 1.1. Seien (E,TE), (F,TF) topologische Räume. f : E → F heiÿt oen, wenn für jede oene Menge O ⊆E gilt: f(O) ist oen.
Zum Beweis der Oenheit einer Abbildung ist es oft sinnvoll den Beweis in zwei Teile zu gliedern: Zuerst wird gezeigt, dass die Abbildung fast oen ist und anschlieÿend daraus gefolgert, dass die Abbildung oen ist. Dementsprechend werden im folgenden Abschnitt Bedingungen zur Fast-Oenheit einer stetigen Abbildung dargelegt und im anschlieÿenden Abschnitt Bedingungen, unter welchen fast oene, stetige Abbildungen oen sind.
Denition 1.2. Seien (E,TE), (F,TF) topologische Räume. f :E →F heiÿt fast oen an x, wenn für jede oene Umgebung O3x gilt: f(x)∈(f(O))◦
Denition 1.3. Seien(E,TE), (F,TF)topologische Räume.f :E →F heiÿt fast oen, wenn für alle x∈E gilt: f ist fast oen an x.
Bemerkung 1.4. Um die Fast-Oenheit anx zu zeigen reicht es oensichtlich obige For- derung an einer Umgebungsbasis von x zu überprüfen. Um die Fast-Oenheit bzw. Of- fenheit zu zeigen, reicht es die jeweiligen Forderungen an einer Basis zu überprüfen.
Bemerkung 1.5. Äquivalent zu obiger Denition kann die Oenheit auch deniert werden mittels: Für allex∈E und für alle oenen Umgebungen O 3x gilt: f(x)∈f(O)
2 Fast-Oenheit von Abbildungen
Im folgenden Abschnitt werden einige Bedingungen, unter denen stetige, homomorphe Surjektionen fast oen sind, gezeigt - zuerst für topologische Gruppen - dann für lokal- konvexe topologische Vektorräume.
2.1 Topologische Gruppen
Zuerst sei an die Denition von (semi-)topologischen Gruppen erinnert:
Denition 2.1. Seien (E,TE,∗,1,−1), sodass (E,TE) einen topologischer Raum und (E,∗,1,−1) eine Gruppe bilden. Dann heiÿt (E,TE,∗,1,−1) semitopologische Gruppe, wenn gelten:
• ∀a ∈E :x7→a∗x ist stetig.
• ∀a ∈E :x7→x∗a ist stetig.
Denition 2.2. Seien (E,TE,∗,1,−1), sodass (E,TE) einen topologischer Raum und (E,∗,1,−1) eine Gruppe bilden. Dann heiÿt (E,TE,∗,1,−1) topologische Gruppe, wenn gelten:
• ∗:E×E →E ist stetig.
• Die Gruppeninversion (−1) :E →E ist stetig.
Nun folgen einige grundlegende Eigenschaften von (semi-)topologischen Gruppen.
Lemma 2.3. Sei (E,TE,∗,1,−1) eine semitopologische Gruppe, dann gelten:
• ∀a ∈E :x7→a∗x ist Homöomrphismus.
• ∀a ∈E :x7→x∗a ist Homömorphismus.
• (Ui)i∈I ist Umgebungsbasis von x ⇐⇒ (x−1∗Ui)i∈I ist Umgebungsbasis von 1.
• (Ui)i∈I ist Umgebungsbasis von x ⇐⇒ (Ui∗x−1)i∈I ist Umgebungsbasis von 1. Beweis. Die Umkehrabbildung zu x 7→ a∗x ist x 7→ a−1∗x und somit stetig. Analog folgt die zweite Aussage. Die Multiplikation mitxvon links/rechts ist ein Homöommor- phismus und bildet somit Umgebungsbasen auf Umgebungsbasen ab.
Lemma 2.4. Sei (E,TE,∗,1,−1) eine topologische Gruppe, dann gelten:
• (E,TE,∗,1,−1) ist semitopologische Gruppe
• Für alle oenen W 31existiert eine oene Menge V ⊆W, sodass gelten: 1∈V, V ist symmetrisch, d.h. V =V−1, und V ∗V ⊆W.
• (E,TE) ist T3, d.h. für alle x ∈ E und O ∈ TE mit x ∈ O existiert ein V ∈ TE, sodassx∈V ⊆V ⊆O.
Beweis. Seien a ∈ E und x ∈ E beliebig und sei O ⊆ E beliebige oene Umgebung von a∗x. Aufgrund der Stetigkeit von ∗ existiert ein U ⊆ E ×E, sodass gelten: U ist oen bezüglich der Produkttopologie, (a, x) ∈ U und ∗(U) ⊆ O. Die Produkte je zweier oener Mengen bilden eine Basis der Produkttopologie und somit existieren V und W, sodass (a, x) ∈ V ×W und V ×W ⊆ U. Somit ist a∗W ⊆ O und da x und O beliebig waren ist die Multiplikation von links stetig. Analog zeigt man die Stetigkeit der Multiplikation von rechts.
SeiW oene Umgebung von1. Aus der Stetigkeit von∗folgt die Oenheit von∗−1(W), also existieren oene UmgebungenO 31und P 31, sodassO×P ⊆ ∗−1(W). Somit ist V =O∩O−1∩P ∩P−1 symmetrisch, oen und erfüllt V ∗V ⊆W.
Seien x∈ E und O ∈ TE gegeben, dann wähle eine oene, symmetrische Umgebung V 31, sodass V ∗V ⊆x−1∗O. Damit gilt:
x∈x∗V ⊆x∗V ∗V ⊆x∗x−1∗O=O
Nun folgt, daV symmetrische Umgebung von 1 ist, aus (E\O)∩(x∗V ∗V) =∅, dass ((E\O)∗V)∩(x∗V =∅) und dass ((E\O)∗V) oen ist, also:
x∈x∗V ⊆x∗V ⊆E\((E\O)∗V)⊆O .
Nun zu einigen Eigenschaften, welche wir im Hauptsatz dieses Abschnitts von topo- logischen Gruppen fordern werden:
Denition 2.5. Ein topologischer Raum (E,TE) hat die Baire-Eigenschaft, wenn gilt:
Für jede Folge nirgends dichter Teilmengen (An)n∈N von E, d.h. (An)◦ =∅, gilt:
∞ [
n=1
An ◦
=∅
Beispiel 2.6. Jeder vollständige metrische Raum hat die Baire-Eigenschaft. (Siehe [1], S. 59, Satz von Baire)
Denition 2.7. Eine topologische Gruppe (E,TE,∗,1,−1) heiÿt ℵ0-beschränkt, wenn für jede oene, nichtleere Menge O eine abzählbare Menge M ⊆ E existiert, sodass S
x∈Mx∗O =E.
Beispiel 2.8. Jede separable topologische Gruppe istℵ0-beschränkt. Als abzählbare Men- ge wählt man eine dichte, abzählbare Teilmenge des topologischen Raums.
Beispiel 2.9. Jede topologische Gruppe mit Lindelöf-Eigenschaft, d.h. zu jeder oenen Überdeckung existiert eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung, ist ℵ0-beschränkt.
S
x∈Ex∗ O ist oene Überdeckung von E, also existiert eine abzählbare Teilüberde- ckung und somit eine abzählbare Teilmenge M, sodass S
x∈Mx ∗O = E, womit die ℵ0-Beschränktheit erfüllt ist.
Nun haben wir genügend Eigenschaften um den folgenden Satz formulieren und be- weisen zu können:
Satz 2.10. Seien (E,TE,∗,1,−1) und (F,TF,∗,1,−1) topologische Gruppen, E sei ℵ0- beschränkt und F habe die Baire-Eigenschaft. Sei f :E →F ein stetiger und surjektiver Homomorphismus, dann gilt: f ist fast-oen.
Beweis. Aufgrund der Homöomorphie der Multiplikation reicht es die Fast-Oenheit an der Stelle 1 zu zeigen. Sei also O eine beliebige oene Umgebung der 1. Sei nun V entsprechend Lemma 2.4 symmetrisch und oen, sodass V ∗V ⊆ W. Wähle nun eine abzählbare MengeM ⊆E, sodassS
x∈Mx∗V =E entsprechend derℵ0-Beschränktheit.
Aus der Surjektivität und der Homomorphie von f folgt:
F =f(E) = f([
x∈M
x∗V) = [
x∈M
f(x)∗f(V)
Da das Innere vonF nichtleer ist, gilt entsprechend der Baire-Eigenschaft, dass es einx∈ M gibt, sodass(f(x)∗f(V))6=∅. Somit ist aber(f(V))◦ 6=∅. Sei alsoy ∈(f(V))◦. Auf- grund der Homöomorphie der Gruppeninversion ist((f(V))◦)−1 = (f(V−1))◦ = (f(V))◦ und somit auchy−1 ∈(f(V))◦. Dann gilt:
1∈(f(V))◦∗(f(V))◦ ⊆(f(V)∗f(V))◦ ⊆(f(V)∗f(V))◦ = (f(V ∗V))◦ ⊆(f(W))◦ Dabei gilt die erste Inklusion, da(f(V))◦∗(f(V))◦ als Vereinigung von oenen Mengen oen und eine Teilmenge von ((f(V))∗(f(V))) ist, und die zweite Inklusion aufgrund der Stetigkeit von∗. Somit ist die Fast-Oenheit von f gezeigt.
2.2 Lokalkonvexe topologische Vektorräume
Der folgende Abschnitt präsentiert einen Satz, welcher die Fast-Oenheit von surjekti- ven Homomorphismen zwischen zwei lokalkonvexen topologischen Vektorräumen unter geeigneten Bedingungen beweist. Im Gegensatz zum vorherigen Abschnitt sind die Be- dingungen jedoch in gewisser Weise notwendig für die Fast-Oenheit solcher Abbildun- gen.Für grundlegende Eigenschaften von lokalkonvexen topologischen Vektorräumen sei im Folgenden auf [1] verwiesen.
Denition 2.11. Eine Teilmenge T eines toplogischen Vektorraums heiÿt genau dann Tonne, wenn gelten:
• T ist abgeschlossen.
• T ist kreisförmig.
• T ist konvex.
• T ist absorbierend.
Denition 2.12. Ein Lokalkonvexer topologischer Vektorraum heiÿt tonneliert, wenn jede Tonne eine Nullumgebung ist.
Beispiel 2.13. Jeder lokalkonvexe topologische Vektorraum, welcher die Baire-Eigen- schaft erfüllt ist tonneliert: SeiE ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum undT eine Tonne. DaT absorbierend ist, giltS
n∈Nn·T =E. Also existiert einn∈N, sodass(n·T)◦ nichtleer ist. Somit ist auch(T)◦ =T◦nichtleer und aufgrund der Kreisförmigkeit0∈T◦ und somit T eine Nullumgebung.
Nun zum Hauptsatz des Abschnitts:
Satz 2.14. Sei F ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum, dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent:
• Für jeden lokalkonvexen topologischen Vektorraum E und jeden stetigen, surjekti- ven Homomorphismusf :E →F gilt: f ist fast-oen.
• F ist tonneliert.
Beweis. Um von der ersten auf die zweite Aussage zu schlieÿen wähle fürE den gleichen Vektorraum wie fürF, aber ausgestattet mit der, im Folgenden konstruierten, feineren Topologie. Sei T beliebige Tonne, dann beschreibt die Funktion µT(x) := inf(t > 0 :
1
tx ∈ T), da T kreisförmig, absorbierend und konvex ist, eine Seminorm (siehe [1], S.
70f). Statte nun die Äquivalenzklassen bezüglich dieser Seminorm mit der Normtopo- logie aus. Wähle für E nun die initiale Topologie bezüglich der Projektion in diesen normierten Raum und der Identität nachF. Die so entstandene Topologie ist oensicht- lich lokalkonvex. Die Identität vonE nachF ist stetig und oensichtlich auch surjektiv und homomorph. Sei nun die Identität gemäÿ ersterer Aussage fast-oen. Gemäÿ der Konstruktion ist ST = {x ∈ E :µT(x)< 1} ⊆ T oen bezüglich der Topologie von E. Nun ist gemäÿ der Fast-Oenheit der Identität0∈(ST)◦, wobei der Abschluss und das Innere bezüglich F zu verstehen sind. Da T eine abgeschlossene Obermenge vonST ist, gilt auch0∈T◦. Da T beliebig war ist F tonneliert.
Für die umgekehrte Richtung seien E, F und f gegeben. Da die Translation ein Ho- möomorphismus ist und f homomorph ist, reicht es die Fast-Oenheit an 0 zu zeigen.
In Lokalkonvexen Topologischen Vektorräumen existiert stets eine Nullumgebungsbasis bestehend aus konvexen, absorbierenden und kreisförmigen Mengen. Sei solch eine ge- wählt und sei U aus dieser Umgebungsbasis, dann ist, da f homomorph ist, auch f(U) kreisförmig und konvex und, da f surjektiv ist, f(U) absorbierend. Folglich ist f(U) kreisförmig, konvex und absorbierend und somit eine Tonne. Da F tonneliert ist, gilt 0∈(f(U))◦, also ist f fast oen.
3 Oenheit von fast oenen Abbildungen
Im Ersten der folgenden Abschnitte wird ein Satz präsentiert, der unter geeigneten Be- dingungen die Oenheit einer stetigen, fast oenen Abbildung impliziert. Zuerst jedoch werden geeignete Begrie eingeführt. Der zweite Abschnitt widmet sich der Anwendung dieses Satzes, insbesondere auf topologischen Gruppen.
3.1 Satz zur Oenheit von fast oenen Abbildungen
Um in den folgenden Sätzen die Oenheit einer Abbildung zu beweisen werden gewisse Vollständigkeits- und Trennbarkeitsbegrie benötigt. Zuerst zum Begri der Pseudoba- sis, welcher eine Verallgemeinerung des Basisbegris darstellt:
Denition 3.1. Eine Familie von Mengen(Oi)i∈I heiÿt Pseudobasis eines topologischen Raumes (E,TE), wenn gelten:
• Für alle i∈I ist Oi oen.
• Für alle oenen Mengen V ⊆E, existiert ein i∈I, sodass Oi ⊆V.
Im Vergleich zur Basis verzichtet man also darauf, dass jede oene Menge als Verei- nigung von Mengen der Basis dargestellt werden kann. Nun zu einigen Trennbarkeitsei- genschaften:
Denition 3.2. Eine Teilmenge O eines topologischen Raumes (E,TE) heiÿt oen- regulär wenn gilt O = (O)◦.
Denition 3.3. Ein topologischer Raum (E,TE) heiÿt semiregulär, wenn eine Basis bestehend aus oen-regulären Mengen existiert.
Denition 3.4. Ein topologischer Raum(E,TE)heiÿt quasiregulär, wenn für alle nicht- leeren, oenen Mengen O eine nichtleere, oene Menge U existiert, sodass U ⊆O.
Oensichtlich ist jeder topologische T3-Raum, also jeder Raum in dem sich Punkte und abgeschlossenen Mengen durch oene Mengen trennen lassen, sowohl semiregulär als auch quasiregulär.
Der nächste Begri dient als Motivation für die in den folgenden Sätzen verwendeten Vollständigkeitseigenschaften.
Denition 3.5. Ein quasiregulärer topologischer Raum heiÿt pseudo-vollständig, wenn eine Folge von Pseudobasen (Bn)n∈N mit folgender Eigenschaft existiert: Für jede Folge (Un)n∈N oener Mengen mit Un∈ Bn und Un+1 ⊆Un, n ∈N, gilt T
n∈NUn6=∅. Nun zu den in den Sätzen verwendeten Begrien:
Denition 3.6. Eine Menge T und eine (zweistellige) Relation < auf T heiÿen Baum wenn gelten:
• (T, <) bildet eine Halbordnung.
• Für alle t ∈T bildet die Menge der Vorgänger {s ∈T :s < t} eine Wohlordnung (bezüglich <).
Gilt zusätzlich, dass für alle t∈T die Menge der Vorgänger {s∈T :s < t} endlich ist, so sagt man der Baum habe abzählbare Höhe.
Denition 3.7. Ein Baum abzählbarer Höhe (T, <), ein topologischer Raum (E,TE) und eine Abbildung φ:T → TE heiÿen Web wenn gelten:
• Die Menge {φ(t) :t∈T} ist eine Pseudobasis von (E,TE).
• Für alle t ∈ T ist {φ(s) : s > t} eine Pseudobasis von φ(t) ausgestattet mit der Spurtopologie.
Insbesondere gilt für s > t: φ(s) ⊆ φ(t). Die Abbildung ist also monoton fallend bezüglich der Mengeninklusion.
Wir werden nun Vollständigkeitseigenschaften über die Existenz von Webs mit gewis- sen Eigenschaften denieren. Diese lauten wie folgt:
Denition 3.8. Ein topologischer Raum (E,TE) heiÿt p-vollständig, wenn darauf ein Web (T, <, φ) existiert, sodass für alle linear geordneten Teilmengen b⊆T mitφ(t)6=∅ für alle t ∈b gilt, dass T
t∈bφ(t)6=∅.
Denition 3.9. Ein topologischer Raum (E,TE) heiÿt c-vollständig, wenn darauf ein Web(T, <, φ)existiert, sodass für alle FilterF und für alle linear geordneten Teilmengen b⊆T mit φ(t)∈ F für alle t∈b gilt, dass F einen Häufungspunkt in T
t∈bφ(t) hat.
Oensichtlich ist c-Vollständigkeit die stärkere der beiden Eigenschaften.
Satz 3.10. Jeder pseudo-vollständige topologische Raum ist p-vollständig.
Beweis. Sei eine Folge von Pseudobasen (Bn)n∈N wie in der Denition von pseudo- vollständig gegeben. Wähle für den Baum des Webs alle Paare (n,(Uj)j=1,..,n), sodass n ∈ N, Uj ∈ Bj für j ∈ {1, .., n} und Uj+1 ⊆ Uj für j ∈ {1, .., n − 1}. Sei nun (n,(Uj)j=1,..,n)<(m,(Vj)j=1,..,m), genau dann wennn < mundUj =Vj fürj ∈ {1, .., n}. Sei φ((n,(Uj)j=1,..,n)) =Un, dann ist {φ((1, U1)) :U1 ∈ B1} bereits eine Pseudobasis.
Für jedes oeneO ⊆Um existiert nach Quasiregularität ein oenesV, sodassV ⊆O. Da Bm+1 Pseudobasis ist existiert ein oenes W ∈ Bm+1 mit W ⊆V. Somit ist W ⊆ U und(m+ 1,((Uj)j=1,..,n, W))ein Element des Baums, also ist (T, <, φ) ein Web. Sei nun eine beliebige linear geordnete Teilmenge b ⊆ T gegeben, dann ist gemäÿ der Pseudo- Vollständigkeit T
t∈Bφ(t)6=∅.
Beispiel 3.11. Mit der gleichen Konstruktion kann gezeigt werden, dass jeder kompak- te topologische T2-Raum und jeder vollständige metrische Raum c-vollständig sind. In beiden Fällen funktioniert die Konstruktion, da die RäumeT3 sind. Im Fall des kompak- ten T2-Raums erhält man aus der Kompaktheit, dass der Filter einen Häufungspunkt hat, welcher gemäÿ Konstruktion im Schnitt liegt. Im Fall des vollständigen metrischen Raums konvergiert der Filter aufgrund der Vollständigkeit und der Konvergenzpunkt ist nach Konstruktion im Schnitt.
Satz 3.12. Jeder p-vollständiger topologischer Raum hat die Baire-Eigenschaft.
Beweis. Sei angenommen, dass die Baire-Eigenschaft nicht erfüllt ist. Durch Übergang zu den Komplementen erhält man eine Folge von oenen und dichten Mengen(On)n∈N, sodassT∞
n=1Onnicht dicht ist. Also existiert eine oene MengeV, sodassT∞
n=1On∩V =
∅. Sei gemäÿ der p-Vollständigkeit ein Web (T, <, φ) gegeben, dann existiert aufgrund der Pseudobasiseigenschaft des Webs ein t0 ∈ T sodass φ(t0)⊆V. Da O1 dicht ist, hat es nichtleeren Schnitt mit φ(t0) und es existiert ein t1 > t0, sodass φ(t1) ⊆ V ∩O1. Führt man dies induktiv fort erhält man eine Folge (tn)n∈N mit tn < tn+1 und φ(tn)⊆ V ∩Tn
j=1Oj. Gemäÿ p-Vollständigkeit gilt nun im Gegensatz zum Vorrausgesetzten:
∅ 6=
∞
\
j=1
φ(tn)⊆V ∩
∞
\
n=1
On
Denition 3.13. Sei (E,TE) ein topologischer Raum, eine Menge P ⊆E heiÿt Menge innerer Verdichtung, falls ein Baum abzählbarer Höhe (T, <) und eine Abbildung φ : T → TE existieren, sodass gelten:
• P ⊆S
t∈T φ(t)
• Für alle t ∈T gilt P ∩φ(t)⊆S
s>tφ(s).
• Wenn b∈T linear geordnet ist, dann gilt T
t∈bφ(t)⊆P.
Oensichtlich ist der Schnitt einer Menge innerer Verdichtung mit einem topologischen Teilraum auch Menge innerer Verdichtung bezüglich diesem Teilraum (ausgestattet mit der Spurtopologie).
Beispiel 3.14. Jede Gδ-Menge, also jede Menge, die sich als Schnitt von höchstens ab- zählbar vielen oenen Mengen darstellen lässt, ist eine Menge innerer Verdichtung. Sei nämlichGδ =T
n∈NOn, dann wähle für T die natürlichen Zahlen mit der üblichen Ord- nung undφ(n) =Tn
j=1Oj.
Beispiel 3.15. Sei (E,TE) ein topologischer Raum, der p-vollständig bzw. c-vollständig ist und sei P Menge innerer Verdichtung in E. Dann ist P, ausgestattet mit der Spur- topologie, ebenfalls p-vollständig bzw. c-vollständig. Sei dazu(T, <, φ)das Web aus der p-Vollständigkeit bzw. c-Vollständigkeit und (S, <, ψ) entsprechend der Denition der Menge innerer Verdichtung. Sei R = {(n,(sj)j=1,..,n,(tj)j=1,..,n) : n ∈ N∧sj ∈ S∧tj ∈ T ∧sj < sj+1∧tj < tj+1∧φ(tj+1)⊆φ(tj)∩Tj+1
k=1ψ(sk)} mit(n,(sj)j=1,..,n,(tj)j=1,..,n)<
(m,(uj)j=1,..,n,(vj)j=1,..,n), wenn n < m, sj = uj für j ∈ {1, .., n} und tj = vj für j ∈ {1, .., n}. Deniere Φ((n,(sj)j=1,..,n,(tj)j=1,..,n)) = φ(tn)∩P, dann bildet (R, <,Φ) ein Web, da {P ∩φ(t) :t > tn} eine Pseudobasis von P ∩φ(tn)und daher insbesondere eine von P ∩φ(tn)∩ψ(sn+ 1) bilden und die Nachfolger von ψ(sn) eine Überdeckung von P ∩ψ(sn)darstellen. Sei mit φ((n,(sj)j=1,..,n,(tj)j=1,..,n))ab jetzt φ(tn) und sei mit ψ((n,(sj)j=1,..,n,(tj)j=1,..,n))ab jetzt ψ(sn) gemeint.
Sei im ersten Fall eine linear geordnete Menge b mit Φ(r)6=∅ für alle r ∈b gegeben, dann istT
r∈bΦ(r) = P∩T
r∈bφ(r)und∅ 6=T
r∈bφ(r)⊆T
r∈bψ(r)⊆P, alsoT
r∈bΦ(r)6=
∅.
Im zweiten Fall sei nun ein Filter F und eine linear geordnete Teilmengeb mit Φ(r)∈ F für alle r∈b gegeben. Oensichtlich ist auch φ(r)∈ F und F hat Häufungspunkt in T
r∈bφ(r)⊆T
r∈bψ(r)⊆P, also liegt der Häufungspunkt in T
r∈bΦ(r).
Nun haben wir genügend Begrie um den Hauptsatz dieses Kapitels formulieren und beweisen zu können. Sei im Folgenden der Graph von f : E → F, also die Menge {(x, f(x)) :x∈E}, mit G(f) bezeichnet.
Satz 3.16. Seien(E,TE), (F,TF),(G,TG) topologische Räume, sei(G,TG)semiregulär, seienf :E →F, g :E →G und h:G→F stetig, sodass f =h◦g, f surjektiv, f fast oen und h injektiv. Auÿerdem gelte eine der folgenden Bedingungen:
• (E,TE) ist c-vollständig und (F,TF) ist T2.
• (E,TE) ist p-vollständig und der Graph von f ist Menge innerer Verdichtung in E×F (ausgestattet mit der Produkttopologie).
Dann isth oen.
Beweis. Es reicht die Oenheit auf einer Basis vonGzu zeigen. Gemäÿ der Semiregulari- tät seiV ⊆Geine oen-reguläre Menge. Wenn wir zeigen können, dass(h(V))◦ =h(V) ist h oen. Mit der Stetigkeit von g und der Fast-Oenheit von f ergibt sich die erste Inklusion:
h(V) = f(g−1(V))⊆(f(g−1(V)))◦ = (h(V))◦
Für die zweite Inklusion reicht zu zeigen, dassh−1((h(V))◦)⊆V. Aufgrund der Stetigkeit von h ist der erste Term oen und es genügt zu zeigen, dass h−1((h(V))◦) ⊆ V. Sei dazu b ∈ h−1((h(V))◦) und W eine beliebige oene Umgebung von b. Obige Inklusion ist bewiesen, wenn V ∩ W 6= ∅. Seien dazu b0, sodass g(b0) = b, V0 = g−1(V) und W0 =g−1(W). Damit ist f(b0)∈ (f(V0))◦ und aufgrund der Fast-Oenheit von f auch f(b0)∈(f(W0))◦.
Sei nun die erste Bedingung erfüllt und sei (T, <, φ) ein Web entsprechend der c- Vollständigkeit. Wir wollen nun Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N in E und Folgen (tn)n∈N
und (sn)n∈N inT denieren, die folgende Eigenschaften erfüllen:
• tn+1 > tn
• sn+1 > sn
• an∈φ(tn)⊆V0
• bn∈φ(sn)⊆W0
• f(an)∈(f(φ(sn−1)))◦
• f(bn)∈(f(φ(tn)))◦
Für den Induktionsanfang sei im Folgenden φ(t0) durch V0, φ(s0)durch W0, S
r>t0φ(r) durchS
{r∈T:φ(r)⊆V0}φ(r)undS
r>s0φ(r)durchS
{r∈T:φ(r)⊆W0}φ(r)ersetzt. Aufgrund des Induktionsanfangs oder gemäÿ Induktion und aufgrund der Fast-Oenheit von f ist dann:
f(bn)∈(f(φ(tn)))◦∩(f(φ(sn)))◦ ⊆f(φ(tn))∩(f(φ(sn)))◦ =f([
r>tn
φ(r))∩(f(φ(sn)))◦
Wobei die Gleichheit gilt, da für eine beliebige oene MengeM, eine Pseudobasis(Pi)i∈I
und eine stetige Funktionf gilt:
f(M)⊆f(M) =f([
i∈I
Pi)⊆f([
i∈I
Pi)⊆f(M)
Nun ist nach obigem der Schnitt des Abschlusses einer Menge mit einer oenen Menge nichtleer. Also gilt auchf(S
r>tnφ(r))∩(f(φ(sn)))◦ 6=∅. Wähle nun ein tn+1 > tn und ein an+1, sodass an+1 ∈φ(tn+1) und f(an+1)∈(f(φ(sn)))◦. Analog erhält man:
f(an+1)∈(f(φ(sn)))◦∩(f(φ(tn+1)))◦ ⊆f([
r>sn
φ(r))∩(f(φ(tn+1)))◦
Dann giltf(S
r>snφ(r))∩(f(φ(tn+1)))◦ 6=∅und man wählt ein sn+1 > sn und ein bn+1, sodassbn+1 ∈φ(sn+1) und f(bn+1)∈(f(φ(tn+1)))◦.
Gemäÿ der c-Vollständigkeit hat (bn)n∈N einen Häufungspunktx inT∞
n=1φ(sn)⊆W0. Aufgrund der Stetigkeit ist f(x) auch Häufungspunkt von(f(bn))n∈N. Wir konstruieren ein gegenf(x)konvergentes Teilnetz wie folgt: Sei für jede oene UmgebungGvonf(x) und für alle natürlichen Zahlen i die natürliche Zahl n(G, i), sodass f(bn(G,i))∈ G und n(G, i)< n(G, j) für i < j. Nun gilt:
f(bn(G,i))∈(f(φ(tn(G,i))))◦∩G⊆f(φ(tn(G,i)))∩G
Also ist auch f(φ(tn(G,i)))∩G 6= ∅. Wähle c(G, i) ∈ φ(tn(G,i)), sodass f(c(G, i)) ∈ G. Sei das Netz (G, i) mit der natürlichen Ordnung geordnet, d.h. (G, i) ≤ (K, j) wenn K ⊆ G und i ≤ j. c(G, i) hat nun gemäÿ c-Vollständigkeit einen Häufungspunkt y in T{φ(tn(G,i)) : G 3 f(x)∧G ∈ TE ∧i ∈ N} ⊆ V0. Andererseits konvergiert f(c(G, i)) gegen f(x). Da F T2 ist müssen f(x) und f(y) übereinstimmen. Aus der Injektivität von h folgtg(x) =h−1(f(x)) =h−1(f(y)) = g(y). Nun istg(x)∈V und g(y)∈W, also V ∩W 6=∅ und wir haben die Oenheit gezeigt.
Sei jetzt für den zweiten Fall entsprechend der p-Vollständigkeit ein Web (T, <, φ) gegeben und seien, gemäÿ der Eigenschaft des Graphen Menge innerer Verdichtung zu sein, ein Baum (S, <) und eine Funktion ψ gegeben. Es werden wieder Folgen (an)n∈N
und (bn)n∈N in E, (tn)n∈N und (sn)n∈N in T, (rn)n∈N und (qn)n∈N in S, (An)n∈N und (Bn)n∈N in TE, (Xn)n∈N und(Yn)n∈N inTF deniert, die folgende Eigenschaften erfüllen sollen.
• tn+1 > tn
• sn+1 > sn
• rn+1 > rn
• qn+1 > qn
• an∈An ⊆φ(tn)⊆An−1 ⊆V0
• bn∈Bn⊆φ(sn)⊆Bn−1 ⊆W0
• f(an)∈Xn⊆(f(Bn−1))◦∩Yn−1∩Xn−1
• f(bn)∈Yn⊆(f(An))◦∩Xn∩Yn−1
• An×Xn⊆ψ(rn)
• Bn×Yn ⊆ψ(qn)
Für den Induktionsanfang setze im Folgenden A0 = V0, B0 = W0, X0 = Y0 = F und ψ(r0) =ψ(s0) =E ×F. Gemäÿ Induktion bzw. Induktionsanfang und weil f fast oen ist, gilt:
f(bn)∈f(An))◦∩f(Bn))◦ ∩Xn∩Yn Weil {φ(t) :t > tn}eine Pseudobasis von φ(tn)⊇An bildet, gilt:
f([
{φ(t) :t > tn∧φ(t)⊆An})∩f(Bn))◦∩Xn∩Yn 6=∅
Wählean+1 undtn+1 > tn, sodassan+1 ∈φ(tn+1)⊆Anundf(an+1)∈f(Bn))◦∩Xn∩Yn. Da gelten, dass(an+1, f(an+1))im Graph vonf liegt,(an+1, f(an+1))∈An×Xn⊆ψ(rn) und{ψ(r) :r > rn}eine Überdeckung vonG(f)∩ψ(rn)bildet, existiert einrn+1 > rnmit (an+1, f(an+1)) ∈ ψ(rn+1). Per denitionem ist ψ(rn+1) oen in der Produkttopologie, wähle daher oene Mengen An+1 und Xn+1, sodass (an+1, f(an+1)) ∈ An+1 ×Xn+1 ⊆ ψ(rn+1) und An+1×Xn+1 ⊆ φ(tn+1)×((f(Bn))◦∩Xn ∩Yn). Auf gleiche Weise wähle bn+1,sn+1, qn+1,Bn+1 und Yn+1.
Gemäÿ der p-Vollständigkeit von (T, <, φ) seien nun x ∈ T
n∈Nφ(tn) ⊆ V0 und y ∈ T
n∈Nφ(sn)⊆W0. Dann gilt aber (x, f(y))∈An×Xn ⊆ψ(rn)für alle n∈N und somit (x, f(y))∈ G(f). Somit ist g(x)∈V und g(y)∈W. Aus der Injektivität vonh und weil h(g(x)) = f(x) = f(y) =h(g(y)), folgt g(x) =g(y) ∈V ∩W, womit die Oenheit von h gezeigt ist.
Korollar 3.17. Seien (E,TE), (F,TF) topologische Räume, sei(E,TE)semiregulär, sei f : E → F, stetig, bijektiv und fast oen. Auÿerdem gelte eine der folgenden beiden Bedingungen:
• (E,TE) ist c-vollständig und (F,TF) ist T2.
• (E,TE) ist p-vollständig und der Graph von f ist Menge innerer Verdichtung in E×F (ausgestattet mit der Produkttopologie).
Dann istf oen.
Beweis. Setze im vorangegangen Satz (G,TG) = (E,TE), g =idund h=f.
Satz 3.18. Seien (E,TE), (F,TF) topologische Räume, sei die Diagonale von F, d.h.
∆ = {(x, x) : x∈ F}, Menge innerer Verdichtung in F ×F und sei f :E → F stetig, dann ist der Graph von f Menge innerer Verdichtung in E×F.
Beweis. Sei (T, <, ψ), wie in der Denition von Menge innerer Verdichtung zu ∆. Be- trachte(T, <, φ)mit φ(t) ={(x, y)∈E×F : (f(x), y)∈ψ(t)}. Aufgrund der Stetigkeit vonf bildetφ nur auf oene Mengen ab. Oensichtlich werdenG(f) = {(x, y)∈E×F : (f(x), y)∈∆} von {φ(t) :t∈T} und G(f∩φ(t)) = {(x, y)∈E×F : (f(x), y)∈ψ(t)}
von {φ(s) : s > t} überdeckt. Wenn b ∈ T linear geordnet ist, dann ist T
t∈bφ(t) = T
t∈b{(x, y)∈E×F : (f(x), y)∈ψ(t)} ⊆ {(x, y)∈E×F : (f(x), y)∈∆}=G(f). Damit wurde eine Bedingung an die Funktion auf eine an den Raum verlagert. Die Umkehrung des Satzes gilt im Allgemeinen aber nicht.
3.2 Anwendungen in (semi-)topologischen Gruppen
Nun zu einigen Anwendungen der Sätze des vorherigen Abschnittes in topologischen und semitopologischen Gruppen: Zuerst werden wir in den Sätzen die Surjektivität auf Dichtheit des Bildes verallgemeinern.
Lemma 3.19. Sei (G,TG,∗,1,−1) semitopologische Gruppe und (H,TH,∗,1,−1) eine dichte, semireguläre Untergruppe (ausgestattet mit der Spurtopologie). Gelte eine der folgenden Bedingungen:
• (H,TH) ist c-vollständig und (G,TG) ist T2.
• (H,TH) ist p-vollständig und die Diagonale in G ist Menge innerer Verdichtung.
Dann gilt: H =G
Beweis. Sei E = H × {0,1} die Summe zweier Kopien von H, ausgestattet mit der Summentopologie, sei angenommen es gäbe ein g ∈ G\H und sei F = H ∪ (g ∗H), ausgestattet mit der Spurtopologie von G. Betrachte f : E → F, sodass f((a,0)) = a undf((a,1)) =g∗a. Somit istf bijektiv und, da Multiplikation mitg homöomorph ist, stetig.E ist als Summe semiregulär und c-vollständig bzw. p-vollständig. F erbt von G die Eigenschaft,T2 zu sein bzw. dass die Diagonale Menge innerer Verdichtung ist, denn die Produkttopologie auff(E)×f(E)entspricht der Spurtopologie der Produkttopologie vonF×F. Im zweiten Fall ist der Graph vonfalso Menge innerer Verdichtung. Seienx∈ H beliebig und O ⊆ H beliebige oene Umgebung von x bezüglich der Spurtopologie, dann existiert ein oenes U ⊆ G, sodass U ∩H =O. H ist dicht in U, also ist O = U und f((x,0)) = x ∈ U ⊆ O◦ =f(O× {0})◦. Damit ist f fast oen an ((x,0)). Analog zeigt man, dass f fast oen an ((x,1)) ist. Somit ist f fast oen. Damit sind aber die Bedingungen von Korollar 3.17 erfüllt undf ist oen. Somit istg∗H oen inF und es existiert ein oenesV ⊇g∗H mitV ∩H =∅, im Widerspruch zur Dichtheit vonH.
Satz 3.20. Seien (E,TE,∗,1,−1), (F,TF,∗,1,−1) semitopologische Gruppen, E semire- gulär, seif :E →F ein stetiger, injektiver und fast oener Homomorphismus, seif(E) dicht in F und auÿerdem gelte eine der folgenden Bedingungen:
• (E,TE) ist c-vollständig und (F,TF) ist T2.
• (E,TE) ist p-vollständig und die Diagonale in F ist Menge innerer Verdichtung.
Dann istf oen und surjektiv.
Beweis. f :E →f(E) ist surjektiv undf(E)(ausgestattet mit der Spurtopologie) erbt vonF die Eigenschaft,T2zu sein bzw. dass die Diagonale eine Menge innerer Verdichtung ist. Nach Korollar 3.17 istf :E →f(E)oen und somit ein Homöomorphismus. Folglich ist auch f(E) semireulär und c-vollständig bzw. p-vollständig. Aufgrund der Linearität von f ist f(E) eine Gruppe und gemäÿ vorangegangenem Lemma istf(E) =F.
Satz 3.21. Seien (E,TE,∗,1,−1), (F,TF,∗,1,−1) topologische Gruppen, sei f :E →F ein stetiger und fast oener Homomorphismus, sei f(E) dicht in F und auÿerdem gelte eine der folgenden Bedingungen:
• (E,TE) ist c-vollständig und (F,TF) ist T2.
• (E,TE) ist p-vollständig und die Diagonale in F ist Menge innerer Verdichtung.
Dann istf oen und surjektiv.
Beweis. Sei f = h◦g die kanonische Zerlegung von f, sodass g : E → E/ker(f) und h : E/ker(f) → f(E), wobei E/ker(f) mit der Quotiententopologie ausgestattet ist.
Wieder erbt f(E) die Eigenschaft T2 zu sein bzw. dass die Diagonale Menge innerer Verdichtung ist.hist bijektiv undg ist surjektiv. SeiO ⊆E oen, dann istg−1(g(O)) = ker(f)∗O oen und daher g(O) oen. Da O beliebig war, ist g oen. E/ker(f) ist als topologische GruppeT3und somit semiregulär. Nach Satz 3.15 isthoen und folglich ein Homöomorphismus. AuchE/ker(f)ist c-vollständig bzw. p-vollständig. Dazu betrachte zum Web (T, <, φ) das Web (T, <, g◦φ). Dieses erfüllt die Web-Eigenschaft aufgrund der Oenheit vong und da für eine Pseudobasis(Bi)i∈I auch(g(Bi))i∈I eine Pseudobasis ist, weilE/ker(f)mit der nalen Topologie bezüglichg ausgestattet ist. Erfüllt das Web (T, <, φ)nun die p-Vollständigkeit bzw. c-Vollständigkeit, so tut dies auch (T, <, g◦φ). Wird nun Satz 3.20 auf h : E/ker(f) → F angewendet, erhält man die Oenheit und Surjektivität vonh:E/ker(f)→F und zusammen mit der Oenheit und Surjektivität von g das gewünschte Resultat.
Zum Schluss erhält man zusammen mit den Sätzen über die Fast-Oenheit folgende beide Resultate:
Korollar 3.22. Seien (E,TE,∗,1,−1), (F,TF,∗,1,−1) topologische Gruppen, sei E ℵ0- beschränkt, habe F die Baire-Eigenschaft, sei f : E → F ein stetiger und surjektiver Homomorphismus und auÿerdem gelte eine der folgenden Bedingungen:
• (E,TE) ist c-vollständig und (F,TF) ist T2.
• (E,TE) ist p-vollständig und die Diagonale in F ist Menge innerer Verdichtung.
Dann istf oen.
Beweis. Folgt direkt aus den Sätzen 2.10 und 3.21.
Korollar 3.23. SeienE,F lokalkonvexe topologische Vektorräume, sei F tonneliert, sei f : E → F ein stetiger und surjektiver Homomorphismus und auÿerdem gelte eine der folgenden Bedingungen:
• E ist c-vollständig.
• E ist p-vollständig und die Diagonale in F ist Menge innerer Verdichtung.
Dann istf oen.
Beweis. Jeder topologische Vektorraum ist auch eine topologische Gruppe bezüglich der Addition. Vektorraumhomomorphismen sind klarerweise auch Homomorphismen bezüg- lich der Gruppenstruktur des Vektorraums. Auÿerdem ist jeder topologische Vektorraum T2. Daher folgt der Satz direkt aus den Sätzen 2.14 und 3.21.
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