Normative Präferenzen und bedingte Gebote
Seit dem Erscheinen der A r b e i t e n v o n S. H a l l d e n (57)* u n d v o n G . H . v o n W r i g h t (63) ist die L o g i k der Präferenzbegriffe i n der L i t e r a t u r viel diskutiert worden1. E i n Präferenzbegriff ist eine R e l a t i o n A < • J3, die besagt, d a ß die durch den Satz A a u s g e d r ü c k t e Proposition h ö c h s t e n s so hoch bewertet w i r d wie die durch den Satz B a u s g e d r ü c k t e Proposition. E s hat sich ge- zeigt, d a ß es eine F ü l l e v o n Möglichkeiten gibt, solche R e l a - tionen z u interpretieren, u n d d a ß m a n dabei z u sehr verschie- denen Eigenschaften der R e l a t i o n A < • B gelangt. A n die Diskussion v o n P r ä f e r e n z e n haben sich dann zahlreiche Unter- suchungen angeschlossen m i t dem Ziel, bedingte Obligationen der F o r m 0 (AjB) - unter der Bedingung, d a ß B, ist es geboten, d a ß A - auf der Basis normativer P r ä f e r e n z r e l a t i o n e n z u defi- nieren. A u c h hier haben verschiedene A n s ä t z e z u sehr unter- schiedlichen Systemen der L o g i k bedingter Obligationen ge- f ü h r t .
I m folgenden werden die wichtigsten A n s ä t z e zur B e s t i m - m u n g v o n P r ä f e r e n z r e l a t i o n e n u n d bedingten Obligationen diskutiert. D e r K ü r z e wegen b e s c h r ä n k e n w i r uns, wie die mei- sten A r b e i t e n z u unserem Thema, auf die Sprache der Aus- sagenlogik, sowie auf die Untersuchung nichtiterierter A n - wendungen deontischer Operatoren2. D i e E r ö r t e r u n g e n f ü h r e n 1. dazu, d a ß ein probabilistischer Präferenzbegriff i n t u i t i v a m angemessensten erscheint, für den es jedoch i m R a h m e n einer aussagenlogischen Sprache bisher keine v o l l s t ä n d i g e F o r m u - lierung gibt. Sie ergeben 2. eine Formalisierung eines i n t u i t i v akzeptablen Begriffs bedingter Obligationen, der jedoch nicht direkt m i t P r ä f e r e n z e n für Propositionen z u s a m m e n h ä n g t . A l s formal befriedigender, i n t u i t i v aber nicht unproblemati-
* Die Zahlen weisen auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Kapitels, Seite 165 hin.
1 F ü r historische Bemerkungen zur P r ä f e r e n z l o g i k und eine Biblio- graphie dazu vgl. Rescher (67).
2 V g l . dazu Kutschera (73) (im folgenden zitiert als » N W E « ) , Abschnitt 1.5.
scher E r s a t z für eine umfassende Formalisierung v o n P r ä f e - renzen u n d bedingten Geboten w i r d endlich 3. eine P r ä f e r e n z - logik angegeben, i n der sich bedingte Obligationen explizit definieren lassen.
1 Die Sprache A
D i e Sprache der i m folgenden untersuchten Systeme e n t h ä l t a b z ä h l b a r unendlich viele Satzkonstanten. D i e Sätze v o n A werden so bestimmt:
1.1 a) Jede Satzkonstante von A ist ein Satz von A.
b) Ist A ein Satz von A, so auch —1 A .
c) Sind A und B S ä t z e von A, so ist auch (A z> B) ein Satz von A.
d) Ist A ein Satz von A, in dem deontische Operatoren (O und •) nicht vorkommen, so ist auch O(A) ein Satz von A.
e) Sind A und B S ä t z e von A, in denen deontische Operatoren nicht vor- kommen, so ist auch O (A/B) ein Satz von A.
f) Sind A und B S ä t z e von A, in denen deontische Operatoren nicht vor- kommen, so ist auch (A < • B) ein Satz von A.
Ao sei die aussagenlogische Teilsprache v o n A9 deren S ä t z e allein m i t 1.1-a, b, c gebildet werden. A± sei die Teilsprache v o n A, deren S ä t z e allein m i t 1.1-a, b, c, f gebildet werden. A 2 sei die Teilsprache v o n Z l , deren S ä t z e allein nach 1.1-a, b, c, d gebil- det werden. U n d A3 sei die Teilsprache v o n Z l , deren S ä t z e all- ein m i t 1.1-a, b, c, d, e gebildet werden.
1.2 Definitionen:
a M V - B : = -i^L=>£
b) A A B : = -n A V -1 B)
c) A = B : = (A 3 B) A (B 3 A) d) A < • B : = (A < • B) A -1 (B <> • A) e) A = • B : = (A < • B) A (B < • A)
f) V (A) : = O (-! A) und V (A/B) : = O (-,
g) JE7 (4) : - - , O (-, J.) und J£ : = n O h 4 / B ) h) / ( 4 ) : = n O ( i ) A n O h und I : = n O (4/*) A
W i r schreiben . . . ., An B, falls der S c h l u ß v o n A\y ..., An auf J? aussagenlogisch g ü l t i g ist. G i l t A -+ —1 B, so schrei- ben w i r statt A M B auch A + -B- Diese Schreibweise soll u m -
gekehrt auch i m m e r voraussetzen, d a ß 4 - > n 5 gilt. K l a m - mern lassen w i r weg, sofern sie zur Abgrenzung des A n w e n - dungsbereichs der Operatoren nicht n ö t i g sind, wobei w i r fest- legen, d a ß i n der Folge der aussagenlogischen Operatoren —
A , V , =>, = jeder links v o n einem Operator stehende Operator s t ä r k e r bindet als dieser.
U m die folgenden metasprachlichen Festlegungen k u r z u n d ü b e r s i c h t l i c h formulieren z u k ö n n e n , verwenden w i r neben den ü b l i c h e n mengentheoretischen Symbolen gelegentlich auch die logischen Symbole v o n Z l , sowie die E x i s t e n z - u n d A l i q u a n t e - ren V u n d A als metasprachliche Zeichen. Verwechselungen objekt- u n d metasprachlicher S ä t z e k ö n n e n dabei nicht auf- treten.
2 Präferenzen zwischen Welten
D e r einfachste u n d naheliegendste W e g zur Festlegung v o n P r ä f e r e n z e n zwischen Propositionen ist es, v o n einer 2-stelligen P r ä f e r e n z r e l a t i o n zwischen W e l t e n auszugehen. E s seien die i G 1 Indices für W e l t e n , die bzgl. der realen W e l t als mögliche W e l t e n i n B e t r a c h t gezogen werden u n d a u f I sei eine P r ä f e - renzrelation • < definiert. Diese P r ä f e r e n z r e l a t i o n soll eine partielle Quasiordnung darstellen, d . h . sie soll reflexiv u n d t r a n s i t i v sein. F ü r alle i, j, k aus I soll also gelten:
2.1 a) i - < i
b) i • < j A j • < * D t ' ^ i .
Eine totale Quasiordnung liegt vor, wenn alle i, j E I auch vergleichbar sind, d.h. wenn gilt:
c) i • < j V d ' <> i 3-
W i r definieren in Analogie zu 1.2—d, e 2.2 a) r < i : = r < i A n ( i ' < » ) 4
b) i • = j : = i • < j A j ' < *•
D e r z u definierenden R e l a t i o n • < zwischen Propositionen ent- spricht n u n n i c h t direkt die R e l a t i o n • < auf / , sondern eine R e l a t i o n zwischen Mengen v o n W e l t e n aus I. D i e Proposition,
8 Aus (c) folgt dann (a).
4 Die Definition i* <j: = —j (j* < i ) w ü r d e dazu f ü h r e n , d a ß die T r i - chotomie i = \; V %• <j V i * gü% d . h . d a ß eine totale Quasiordnung vorliegt.
die ein Satz A a u s d r ü c k t , ist j a darzustellen d u r c h die Menge [A] der W e l t e n aus 7, i n denen A wahr ist. M a n m u ß also eine P r ä f e r e n z r e l a t i o n für die Mengen [^4] z u den S ä t z e n A v o n Ao aufgrund der R e l a t i o n • < e r k l ä r e n .
E s gibt n u n eine Reihe v o n M ö g l i c h k e i t e n , eine P r ä f e r e n z - ordnung < • f ü r Propositionen mithilfe der R e l a t i o n • < z u definieren. V o n der R e l a t i o n < • verlangen w i r erstens, d a ß sie eine partielle Quasiordnung darstellt. I n t u i t i v ist es aller- dings oft durchsichtiger, anstelle der R e l a t i o n < • z u n ä c h s t zwei R e l a t i o n e n < • u n d = • z u definieren. Diese b i l d e n eine partielle Quasiordnung, wenn gilt:
2.3 a ) i = - i
b) A = - B ^ B = -A
c) A = - B / \ B = 'CziA=-C d) (A < • A)
e) A<-B/\B<-Cz>A<>C f) A = -B^(A<-Cz>B<-C) g) A=-Bz>(C<-A^>C<-B) Eine totale Quasiordnung liegt vor, wenn zudem gilt
h) A = - B \ / A < ' B \ / B < - A . M a n definiert dann:
2.4 A < • B : = A < • B V A = • B.
V o n der R e l a t i o n <; • verlangen wir zweitens, d a ß sie das schwache Mittelwertprinzip erfüllt:
2.5 a ) i < - j B D h ( i < ' i + ß ) A n ( i + ß < ' i ) V i ^ ' A + B)A(-1(B<-A + B)/\-](A + B<.B)\/A + B
Ist A + B sowohl mit A wie mit B vergleichbar, so gilt also b)A<-Bz>A<-A + B<'B.
Das starke Mittelwertprinzip besagt
A<-Bz>(-n(A<-A + B)h-n(A + B<-A)\fA<-A + B) A (B < • A + B) A -n (A + B • B) V A + B < • B), bzw. im F a l l der Vergleichbarkeit von A -f- B mit A und B
A < - B ^ A < - A + B<-B.
6 Diese Bedingung ist ä q u i v a l e n t mit A <imB z> (—] (A -\- B <C• ^4) V A <-A+B) A (-, (B<-A + B) V A + B<-B).
Z u m schwachen M i t t e l w e r t p r i n z i p f ü h r t folgende i n t u i t i v e Ü b e r l e g u n g : Stehen zwei disjunkte H a n d l u n g e n A u n d B z u r W a h l , wobei A h ö c h s t e n s so gut ist wie B, so ist A, sofern A m i t A + B vergleichbar ist, h ö c h s t e n s so gut wie A + B, weil d u r c h A + B i m schlechtesten F a l l A realisiert w i r d , w ä h r e n d A + B zudem die Möglichkeit eröffnet, d a ß das e v t l . bessere B realisiert w i r d ; ist A = • B, so folgt i m F a l l e der Vergleich- barkeit v o n A + B m i t A u n d B aus 2.5-b A = • A + B = • B.
S i n d andererseits A + B u n d B vergleichbar, so ist A + B h ö c h s t e n s so gut wie B, weil B n u r i m g ü n s t i g s t e n F a l l reali- siert w i r d , w ä h r e n d i m u n g ü n s t i g e n F a l l d u r c h A + B auch A realisiert werden k a n n .
Diese Ü b e r l e g u n g legt es nahe, auch das starke Mittelwert- p r i n z i p z u akzeptieren. Dieses ist jedoch nicht u n b e s c h r ä n k t g ü l t i g , d a A + B ebenso hoch wie B eingestuft w i r d , falls das E i n t r e t e n v o n A als praktisch ausgeschlossen angesehen w i r d , u n d ebenso hoch wie A, falls das E i n t r e t e n v o n B als p r a k t i s c h ausgeschlossen gilt. Solche Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen lassen sich jedoch i m g e g e n w ä r t i g betrachteten F a l l nicht p r ä z i s i e r e n , wo n u r eine P r ä f e r e n z r e l a t i o n f ü r die W e l t e n aus / vorliegt, u n d daher b e g n ü g e n w i r uns z u n ä c h s t m i t d e m schwachen M i t t e l w e r t p r i n z i p .
E s gibt n u n eine Reihe v o n Festlegungen der P r ä f e r e n z - relation <; • f ü r Propositionen m i t Hilfe der R e l a t i o n • < , die alle den beiden oben genannten Bedingungen g e n ü g e n u n d die alle eine gewisse i n t u i t i v e P l a u s i b i l i t ä t für sich i n A n s p r u c h nehmen k ö n n e n6. W i r greifen einige naheliegende Definitionen heraus, wobei w i r der i n t u i t i v e n D u r c h s i c h t i g k e i t wegen z u - n ä c h s t die R e l a t i o n e n < • u n d = • angeben:
2.6 a) A <. B := Aj (j E [B] ZD A i (i E [A] 3 * .< j)) A V i (j E [B]) A Vi(iE[A]y
b) A<.B:=Vj(JE[B] A Ai(iE[A] => i .< j)) A V t( i e [ i ] A Aj(JE[B] ^i.<j))
c) A <. B := V j (j E [B] /\ Ai(i E [A] 3 * .< j)) A Aj (j £ [B] z>
Vi(iE[A] f\i.<j))
8 V g l . dazu die E r ö r t e r u n g solcher Relationen in Danielsson (68).
1 W ä h r e n d 2.6-a einen Präferenzbegriff festlegt, der kein Risiko im- pliziert, sind die folgenden Begriffe »Risiko-Begriffe«, insofern A <.B nicht a u s s c h l i e ß t , d a ß man mit B nicht t a t s ä c h l i c h schlechter f ä h r t als mit A, da es B-Welten gibt, die schlechter sind als einige A -Welten. V . Wright spricht in (63) von preferences involving, bzw. not involving risk.
d) A < . B V * ( t e [ i ] A Aj(jelB] =>».<*)) A i l * ( * 6 [ 4 ] 3
V i ( i e [ B ] A * -<j))
e) A<.B : = V i ( j e [ B ] A -4 t (• e [4] z> i .< j)) A ^ i ( i e [ B ] 3 v « ( i e [ i ] A * - < i ) ) V V i ( i G [ i ] A ^ i ( i e [ B ] =>*.<*)) A A i (i e [A] 3 V i ( i G [B] A * . < i ) )
f) ^ < . B : = Vj(je[B] f\ Ai{ie[A] D i . < i ) ) g) A < . B :=Vi(iG[A] A ^ i Ü " e [ B ] 3*.< j)).
F ü r alle diese Relationen gelten die Postulate 2.3—d, e.
A l s Gleichheitsrelationen bieten sich folgende Relationen a n :
2.7 a) A = . B : = 4 * (• e [4] z>Vj(je[B] A * = .i)) A Aj(JE[B]
D V i ( i G [ i ] A* = . i ) )
b) ^L = - B : = y l i( ^ G [yi] 3 F j (j G [B] A » • < j)) A ^ * (* G [A] 3
^ ( i e [ B ] A i • <<)) A ^ j ( i e [ B ] 3 W ( i e [ i ] A » * < i ) ) A A Aj(jE[B] z>Vi(iE[A] A j .< i))
c) A = . B :=Ai(iE[A] 3 VJUelB] A * - < i ) ) A - 4 i ( i 6 [ B ] 3 V * ( i G ( 4 ) Aj.^i))
&)A=.B :=Ai{ie[A] 3 V i O " 6 [ B ] A i • < *)) A 4 j ( j e [ B ] 3 V i ( i e [ i ] A * . < i ) ) .
A l l e vier R e l a t i o n e n g e n ü g e n den Bedingungen 2.3-a, b, c. D i e R e l a t i o n e n (a), (b) erfüllen ferner für jede R e l a t i o n < • nach 2.6. die Bedingungen 2.3-f, g, w ä h r e n d die R e l a t i o n (c) diese Bedingungen n u r f ü r 2.6-f, u n d die R e l a t i o n (d) sie n u r für 2.6- g erfüllen.
D a die liberalere Festlegung 2.7-b z u 2.6-a bis e p a ß t , u n d d a i n 2.6-f, bzw. 2.6-g n u r die jeweils besten, bzw. schlechtesten W e l t e n b e r ü c k s i c h t i g t werden u n d dazu die Festlegungen 2.7- c, b z w . 2.7-d passen, definieren w i r die R e l a t i o n e n < • nach 2.4 z u 2.6-a bis e m i t 2.7-b, die R e l a t i o n < • z u 2.6-f m i t 2.7-c u n d die R e l a t i o n < • z u 2.6-g m i t 2.7-d.
W i r erhalten d a n n insbesondere z u 2.6-e u n d 2.6-f die R e - lationen
2.8 a) A < . B :=Ai(iE[A] 3 Vj(JE[B] A * -<>j)) A Aj(JE[B]
3 V J( i £ [ i ] A i . ^ i ) )
b) A B : = A i (i E [A] 3 V i (j E [B] A * - < i ) )8.
* D e r Relation nach 2.8-a entspricht die Relation AA, der Relation nach 2.8- b die Relation A^ in Danielsson (68).
A l l e Relationen <; • erfüllen das schwache M i t t e l w e r t p r i n z i p . Generell gilt 4 = « 5 D 4 = « 4 + 5 = • JS. Ist A < B nach 2.6-a, b, so ist A + B weder m i t A noch m i t B vergleich- bar, d . h . das M i t t e l w e r t p r i n z i p gilt i n diesem F a l l n u r i m t r i - v i a l e n S i n n . I m F a l l 2.6-c gilt A<Bz>A<-A+B, w ä h - r e n d A + B = • B gilt, falls A + B u n d B vergleichbar sind.
I m F a l l 2.6-d gilt A < r B ^ A + B < - B , w ä h r e n d A = • A + B gilt, falls A + B u n d A vergleichbar sind. I m F a l l 2.6-e gilt entsprechend B ^ A < - A + B y A + B
< • B, es gilt aber generell das P r i n z i p 4 ^ - 5 D 4 ^ ' 4 - | - B
<, • B; d . h . i m F a l l A <; • J5 ist + B i m m e r sowohl m i t A wie m i t B vergleichbar. I n den F ä l l e n 2.6-f, bzw. 2.6-g gilt dar- ü b e r hinaus A < B z > A - \ - B = B , b z w . A < • B 3 A
^'A+B.
D i e Relationen < • z u 2.6-f u n d g stellen auch totale Quasi- ordnungen dar, wenn • <; eine totale Quasiordnung darstellt, w ä h r e n d die ü b r i g e n Relationen u n a b h ä n g i g d a v o n n u r par- tielle Quasiordnungen sind.
N a c h diesen formalen Ü b e r l e g u n g e n einige A n m e r k u n g e n zur i n t u i t i v e n Rechtfertigung der Definitionen:
Notwendige G r ü n d e d a f ü r , d a ß die P r o p o s i t i o n B der P r o - position A vorzuziehen ist, sind
1. E s gibt B'Welten, die allen A-Welten vorzuziehen sind.
2. E s gibt A-Welten, denen alle B-Welten vorzuziehen sind.
G i b t es keine B- Welten, die allen A-Welten vorzuziehen sind, u n d auch keine -4-Welten, denen alle B-Welten vorzuziehen sind, so ist k e i n G r u n d ersichtlich, B d e m A vorzuziehen.
A u s den notwendigen G r ü n d e n werden hinreichende, wenn w i r sie d i s j u n k t i v v e r k n ü p f e n u n d fordern, d a ß nicht auch A d e m B vorzuziehen ist. D a s f ü h r t zur Definition 2.6-e, die i n diesem S i n n i n t u i t i v a m besten fundiert ist. D i e Relationen nach 2.6-c, d, f, g b e r ü c k s i c h t i g e n für die P r ä f e r e n z r e l a t i o n d e m g e g e n ü b e r i n asymmetrischer Weise v o r allem oder n u r die jeweils besten, b z w . jeweils schlechtesten Welten. D i e i n die- sem S i n n symmetrischen Relationen 2.6-a, b sind sehr restrik- t i v , d . h . sehr viele Propositionen sind danach unvergleichbar, so d a ß sie z u wenig informativ sind. D i e »symmetrische« R e l a - t i o n z u 2.6-c, d ist die R e l a t i o n 2.6-e. D i e »symmetrische« R e l a - t i o n z u 2.6-f, g, die sich durch disjunktive V e r k n ü p f u n g der definierenden Bedingungen i n diesen Definitionen ergibt, f ü h r t
z u einer t r i v i a l e n R e l a t i o n , nach der für alle A u n d B gilt A — • B, falls • eine totale Quasiordnung ist.
D e n n o c h sei betont, d a ß n i c h t etwa n u r die R e l a t i o n <; • nach 2.8-a (die 2.6-e entspricht) als »vernünftige« P r ä f e r e n z - relation für Propositionen angesprochen werden k a n n . V i e l - mehr e r f a ß t jede der besprochenen Definitionen einen v e r n ü n f - tigen S i n n v o n normativer P r ä f e r e n z , u n d die Frage einer A u s - w a h l ist daher nicht so sehr eine Frage der V e r n ü n f t i g k e i t oder der generellen A d ä q u a t h e i t , als eine Frage des Zwecks, den m a n verfolgt. W i r werden u n t e n sehen, d a ß m a n auch gegen die R e l a t i o n 2.8-a, wie gegen alle allein auf der Basis einer P r ä - ferenzrelation • < für W e l t e n definierten R e l a t i o n e n <: • für Propositionen starke i n t u i t i v e E i n w ä n d e geltend machen k a n n , d . h . d a ß sie alle nur einen sehr speziellen S i n n v o n n o r m a t i v e r P r ä f e r e n z erfassen. U n d w i r wollen uns jetzt ü b e r l e g e n , d a ß z . B . auch die R e l a t i o n nach 2.8-b eine »vernünftige« P r ä f e r e n z - relation darstellt:
D e r H a u p t e i n w a n d gegen die Definition 2.8-b ist, d a ß beim Vergleich v o n A u n d B nur die jeweils (im Sinne der R e l a t i o n
• <) optimalen W e l t e n b e r ü c k s i c h t i g t werden, so d a ß generell g i l t A < - i? z > 4 V B = B. D . h . das starke M i t t e l wertprin- zip ist generell u n g ü l t i g , u n d die A l t e r n a t i v e zwischen der P r o - position, d a ß eine Person a stiehlt oder ihre Steuerschuld be- gleicht, w i r d ebenso hoch eingestuft wie die P r o p o s i t i o n , d a ß die P e r s o n a ihre Steuerschuld begleicht. D i e tautologische P r o p o s i t i o n , d a ß a stiehlt oder n i c h t stiehlt, w i r d m a x i m a l be- wertet. A l l das k l i n g t i n der T a t sehr unplausibel. M a n k a n n aber diesem E i n w a n d ebenso begegnen wie der P a r a d o x i e v o n Ross, die sich f ü r die Standardsysteme der deontischen L o g i k ergibt: D o r t g i l t 0 (A) ZD 0 (A V B), eine Folge des P r i n z i p s A 3 B H 0 (A) 3 0 (B): W e n n B logisch aus A folgt u n d A ist geboten, d a n n ist auch B geboten. Ist es also geboten, d a ß a seine Steuerschuld bezahlt, so ist es auch geboten, d a ß a stiehlt oder seine Steuerschuld bezahlt. I n diesem F a l l g e n ü g t es, d a r a u f hinzuweisen, d a ß m i t B zwar das Gebot 0 ( 4 V B) erfüllt w i r d , n i c h t aber e v t l . weitere Gebote des N o r m e n - systems, das insbesondere auch das Gebot 0 (-n B) enthalten k a n n . G i l t i n einem N o r m e n s y s t e m 0 (A V B), so v e r h ä l t m a n sich also n i c h t schon d a m i t normengerecht, d a ß m a n B t u t9.
9 V g l . dazu N W E , S. 20.
Ä h n l i c h k a n n m a n für den Präferenzbegriff nach 2.8-b so argu- mentieren: W e n n aus A <; • B folgt A V B = • B, so be- inhaltet das nur, d a ß A V B hoch eingestuft w i r d , insofern B hoch eingestuft w i r d (folgt 0 (A V B) aus 0(A), so ist d a m i t A V B n u r geboten insofern A geboten ist). Daraus folgt nicht eine hohe Einstufung v o n A selbst1 0.
3 Präferenzgrade und Wahrscheinlichkeiten
W e n n die oben definierten P r ä f e r e n z r e l a t i o n e n für Propositio- nen alle sehr spezielle Präferenzbegriffe darstellen, so ist z u fragen, ob m a n nicht z u einem allgemeineren Präferenzbegriff gelangt, wenn m a n an die R e l a t i o n • < a u f der Menge / der m ö g l i c h e n W e l t e n s t ä r k e r e Anforderungen stellt. Insbesondere ist z u fragen, ob m a n nicht den W e l t e n i E I Zahlen u (i) als P r ä f e r e n z g r a d e zuordnen k a n n , u m dann d a m i t den P r ä f e r e n z - grad U (A) einer Proposition als M i t t e l aus den u (i) m i t i e [A] z u bestimmen. D a m i t w ü r d e es möglich, i n einer i n t u i t i v angemesseneren Weise auch eine Proposition A, für die die meisten W e l t e n aus [A] besser sind als die meisten W e l t e n aus [B] , der Proposition B vorzuziehen, selbst wenn es einzelne W e l t e n aus [A] gibt, die schlechter sind als alle W e l t e n aus [B], u n d einzelne W e l t e n aus [B], die besser sind als alle W e l t e n aus [A],
1 0 In van Fraassen (72) und Lewis (74) werden auch indirekte Präfe- renzen f ü r Welten diskutiert: E s sei Q eine Menge von Werten, auf der eine Relation <-)f definiert ist, die eine (totale) Quasiordnung darstellt.
Ist F(i) die Menge der in der Welt i realisierten Werte aus ß , so kann man in Analogie zu 2.6 in verschiedener Weise P r ä f e r e n z r e l a t i o n e n für Welten definieren. I n Entsprechung zu 2.6-f, bzw. 2.8-b kann man z . B . setzen i'<L3- = Ax(xEF(i) z> Vy(yEF(j) A x <^2/)), wo ß der Wertbereich der Variablen »#«, »y« ist. M a n kann aber auch ohne den Umweg ü b e r • <^
die Relation < • direkt mit Hilfe von < ^ f definieren, indem man z . B . setzt: A < B: = Axi(xeF(i) A iE[A] 3 Vyj(yEF(j) AJE[B] A x <*•£/)).
Mit der Relation < -X- kann man ersichtlich noch mehr, wenn auch nicht interessantere P r ä f e r e n z r e l a t i o n e n f ü r Propositionen definieren als mit der Relation . Diese Verallgemeinerung macht f ü r die Logik der P r ä - ferenzen und bedingten Obligationen (vgl. D4 und D3 i m Abschnitt 6) jedoch keinen Unterschied, so d a ß wir hier nicht darauf eingehen.
Die Beziehungen zwischen indirekten P r ä f e r e n z e n und P r ä f e r e n z e n f ü r Welten, sowie zwischen diesen und anderen semantischen Strukturen (Auswahlfunktionen und nestings) wird in Hansson (68) und Lewis (73) und (74) angegeben.
W e n n w i r die P r ä f e r e n z r e l a t i o n <; • definieren wollen d u r c h A ^ • B : = ü (A) < U (JB), wobei die U (A) M i t t e l aus d e n u (i) m i t i e [A] darstellen, so m u ß die Metrisierung der auf / vorgegebenen k o m p a r a t i v e n P r ä f e r e n z r e l a t i o n eindeutig sein bis a u f lineare Transformationen; andernfalls w ü r d e die R e l a - t i o n <; • d u r c h • < n i c h t eindeutig bestimmt. D i e Metrisie- r u n g einer Quasiordnung • < ist aber n u r bis a u f m o n o t o n wachsende Transformationen eindeutig, d . h . m i t u (i) i s t auch h (u (i)) eine Metrisierung v o n i • < j, wenn gilt x < y 3 h (x)
<h{yy\
M a n w i r d daher v o n Quasiordnungen z u sog. unendlichen Differenzsystemen ü b e r g e h e n . E i n solches System liegt v o r , w e n n w i r anstelle der 2-stelligen R e l a t i o n »i w i r d h ö c h t e n s so gut bewertet wie j« auf / eine 4-stellige R e l a t i o n »i w i r d dem j h ö c h s t e n s so stark vorgezogen wie k dem U - symbolisch i, j
• <L k, l - definieren, die folgende Eigenschaften h a t :
3.1 a) i j . ^ k j y k9\.<,i9j^
b) i9j ,<k9l A k9l ,<,m9n 3 i,j .<,m,n c) i> j -<k,l 3 i,k .<; j, l
d) i, j .<; M D U < i , - * .
U m die Metrisierbarkeit der S t r u k t u r sicherzustellen, g e n ü g t es n a c h P . Suppes u n d M . W i n e t (55) weiterhin, z u fordern:
ö) Vj(i>j-=j> k)
f) i.<JAk,l<.j9izzVm(i.<m.<j/\k,l .<j,m) g) i • < j A h i < - k, l 3 V mnr (k9 m . ==r n91 A k9 m .<; j9 i).
D a b e i seien i, j, k, ly ra, n e I; r sei eine n a t ü r l i c h e Z a h l ;> 1.
D i e 2-stellige R e l a t i o n i • <, j (i w i r d dem j n i c h t vorgezogen1 3) w i r d definiert d u r c h i, i • <; j, i . M a n setzt i • <; j: = -n (j • <; i), i • = j : = (i -<j) A (j '< i) u n d entsprechend für die 4-stelli- gen R e l a t i o n e n • < u n d • = , u n d definiert:
i,j .=lk9l i9j.= k,l Aj • = *
i9 j • =r+l k,l := V mn (i9 j ,—Tm,n A m9 n ,—ik, l).
1 1 V g l . dazu z . B . Kutschera (72), S. 34. Dort wird unter »Quasireihe«
eine totale Quasiordnung i m Sinne v o n 2.1 verstanden.
1 2 H i e r wird also i m Hinblick auf die angezielte Definition A <,'B: = U{A) <; U(B) die Vergleichbarkeit aller Paare i,j gefordert, d a auch die zahlentheoretische Relation <, konnex ist.
1 3 A u s typographischen G r ü n d e n bezeichnen wir die 2- und die 4 stel- lige Relation mit dem gleichen Symbol.
W i e Snppes u n d W i n e t bewiesen haben, gibt es z u jeder sol- chen R e l a t i o n eine F u n k t i o n u auf J , deren Werte reelle Zahlen sind, u n d für die gilt i • <j = u{i) <u (j) u n d i, j • <> k, l s
s u (i) - w (;) < w (fc) - u (l). u ist bis auf lineare Transforma- t i o n eindeutig, d . h . ist c eine positive reelle Z a h l , so ist m i t u (i) auch c - u(i) + d eine Metrisierung der Struktur, u n d zwei Metrisierungen der S t r u k t u r gehen auseinander i m m e r d u r c h solche Transformationen h e r v o r1 4.
Dieser H i n w e i s zeigt, wie m a n v o n einer komparativen P r ä - ferenzrelation auf I z u einer für die Zwecke der Mittelwert- bildung hinreichend genau bestimmten metrischen F u n k t i o n u auf / gelangen k a n n .
D i e Menge aller m ö g l i c h e n W e l t e n ist v o n der M ä c h t i g k e i t des K o n t i n u u m s , wenn w i r wie i n A a b z ä h l b a r unendlich viele Satzkonstanten annehmen, u n d jede Menge [A] 4= A e n t h ä l t d a n n ü b e r a b z ä h l b a r viele Elemente. E i n arithmetisches Mittel der u (i) ist jedoch nur für a b z ä h l b a r viele i definierbar1 5. M a n w i r d also U (A) als gewichtetes Mittel der u (i) m i t i e [A] be- stimmen. D a b e i bietet es sich an, Wahrscheinlichkeiten als Gewichte z u w ä h l e n . F ü r die folgenden Ü b e r l e g u n g e n spielt es keine R o l l e , ob w i r einen subjektiven oder einen objektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff verwenden. D a es hier nicht u m subjektive Wertungen, sondern u m normative P r ä f e r e n z e n geht, denen eine intersubjektive Geltung eignen soll, w i r d m a n jedenfalls nicht an eine subjektive Wahrscheinlichkeit denken, welche die E r w a r t u n g e n einer einzelnen Bezugsperson charak- terisiert, sondern a n eine Wahrscheinlichkeit, die allgemeine A n n a h m e n der Gruppe a u s d r ü c k t , an die die N o r m e n adres- siert sind.
E s sei 3 der M e n g e n k ö r p e r ü b e r der Menge / aller möglichen W e l t e n , der genau die Mengen [A] e n t h ä l t , wo A ein Satz v o n Ao ist. A u f 5 sei ein W a h r s c h e i n l i c h k e i t s m a ß w definiert, sowie für alle l e g m i t w (X) > 0 eine F u n k t i o n U9 für die gilt
UlA)-w(A) + U(B)-w(B) 3.2 U (A + B) = —1 ; V 7 V - V '
w(A) +w(B)
S t a t t w([A]) schreiben w i r dabei k u r z w (A) u n d ebenso für U.
1 4 V g l . dazu auch Kutschera (72), S. 39ff.
1 8 Mit einem arithmetischen Mittel bei B e s c h r ä n k u n g auf endlich viele Welten arbeitet Rescher in (67).
D e r Einfachheit halber wollen w i r annehmen, d a ß für alle nichtkontradiktorischen S ä t z e A w {A) > 0 ist.
E i n e solche F u n k t i o n e r h ä l t m a n ausgehend v o n einer F u n k - t i o n u (i) a u f / , für die udw definiert ist, i n d e m m a n setzt
W i r k ö n n e n d a n n setzen:
3.4 A <. B : = U (A) < U (B) f ü r nichtkontradiktorische A und B .
W e n n w i r auch U (A) für kontradiktorisches A wieder irgend- einen W e r t zuordnen, so ist < • eine totale Quasiordnung, d a die zahlentheoretische R e l a t i o n diese Eigenschaft hat. U n d es gilt das M i t t e l w e r t p r i n z i p i n der F o r m :
3.5 a) A =. B 3 A =. A + B
b) A < . B z> A <. A + B f ü r w (B) > O c) A <. B 3 A + B <. B f ü r w (A) > O.
E s stellt sich n u n die Frage, wie sich derartige P r ä f e r e n z - begriffe axiomatisch charakterisieren lassen.
E s sei D i das System folgender Axiome u n d Regeln:
A I : T (T sei eine aussagenlogische Tautologie) A 2 : K (A) für kontradiktorische A
A 3 : —i K (A) f ü r nicht kontradiktorische A17. A 4 : A <. B V B A
A 5 : A <. B A B <. C 3 A <. ö A 6 : -1K(A)/\A=.Bz^A=.A + B A 7 : K(B) A A <. B 3 A <.A + B A 8 : - ! K (A) A A <. B 3 A + B <. B
A9: A =.B A ^(C =.A) A ^K(G) A A + C ==.B + G A -n K (D) z> + D = . £ + D .
1 6 Sind umgekehrt £7 u n d w gegeben, so e r h ä l t man u(i) aus du?
1 7 Die Mengen der kontradiktorischen und der nicht kontradiktorischen S ä t z e der Aussagenlogik sind entscheidbar. N(A) d r ü c k t die Eigenschaft w(A) = 0 aus.
A
d(ü -w)
R l : A9A r> B f- B
R 2 : A = B h (A < . C) = (B < . C) R 3 : i = B h (0 < . ^L) = (C < . £ ) .
M a n ü b e r l e g t sich leicht, d a ß für jedes P a a r (w9 U} v o n P u n k - tionen auf 2f, bzw. $ - { A } , so d a ß w ein Wahrscheinlichkeits- m a ß ist m i t w (A) = 0 = [A] = A u n d J7 der Bedingung 3.2 ge- n ü g t - w i r bezeichnen d a n n <J7, w> als P-Struktur - die zuge- h ö r i g e R e l a t i o n <, • nach 3.4 diese Bedingungen erfüllt.
D i e U m k e h r u n g , d a ß es z u jeder R e l a t i o n < •, die alle Theoreme v o n Dl erfüllt, eine P - S t r u k t u r gibt, für die 3.4 gilt, d . h . die V o l l s t ä n d i g k e i t v o n D l , k ö n n e n w i r dagegen nicht be- haupten. N a c h dem Satz v o n E . B o l k e r i n (66) u n d (67) gilt:
Ist 5 ein atomfreier a - K ö r p e r u n d < • eine P r ä f e r e n z r e l a t i o n auf 3f, die A2 bis A9 g e n ü g t , sowie dem P r i n z i p
T) Ist Ai, A<L9 . . . eine Folge v o n Mengen aus ^ m i t A% Ai+i (bzw. Ai+i <= Ai) u n d K (At) für alle i = 1, 2, . . . , u n d gilt für A = \JAt (bzw. A = C\Ai) B < • A < • C, so gibt es
* * w
ein n, so d a ß für alle m^n gilt 5 < • u ^ < • C (bzw.
m i = l
B < - c\Ai< - C), so gibt es auf 3? ein W a h r s c h e i n l i c h k e i t s m a ß i
m i t w ( J . ) = 0 = = A u n d auf 5 - { A } eine F u n k t i o n U, die 3.2 u n d 3.4 g e n ü g t .
Diese Bedingungen für die E x i s t e n z einer P - S t r u k t u r lassen sich i n der Sprache der Aussagenlogik nicht formulieren. M a n m ü ß t e z u einer Sprache der Aussagenlogik m i t unendlich lan- gen F o r m e l n ü b e r g e h e n , i n der m a n auch unendliche Disjunk- tionen u n d K o n j u n k t i o n e n bilden k a n n , u m (T) a u s d r ü c k e n z u k ö n n e n . D a r ü b e r hinaus ist aber auch die Existenzbehaup- t u n g v o n B o l k e r bisher noch nicht v o l l s t ä n d i g bewiesen wor- den.
W i r wollen d a m i t unsere Ü b e r s i c h t ü b e r die verschiedenen M ö g l i c h k e i t e n b e s c h l i e ß e n , eine P r ä f e r e n z r e l a t i o n < • für P r o - positionen e i n z u f ü h r e n . Das F a z i t unserer Ü b e r l e g u n g e n ist:
E i n e zweistellige P r ä f e r e n z r e l a t i o n • <, für mögliche W e l t e n ist n u r eine B a s i s für die Definition sehr spezieller P r ä f e r e n z - begriffe für Propositionen. E r s t ein metrischer P r ä f e r e n z b e - griff für W e l t e n zusammen m i t einem Wahrscheinlichkeitsbe- griff bietet eine ausreichende Grundlage für die Definition einer i n t u i t i v befriedigenden u n d allgemeinen R e l a t i o n <;
D a sich die Eigenschaften einer derartigen,Relation bisher je- doch nicht v o l l s t ä n d i g formalisieren lassen, b e s c h r ä n k e n w i r uns i m folgenden a u f die B e t r a c h t u n g spezieller, m i t H i l f e v o n
• < definierbarer R e l a t i o n e n <
4 Positive und obligatorische Handlungen
W i r wenden uns n u n der Frage z u , ob m a n m i t H i l f e der P r ä - ferenzrelation < • auch Gebote charakterisieren k a n n . D a z u bieten sich drei M ö g l i c h k e i t e n an:
1. M a n zeichnet eine Proposition G als indifferent aus u n d legt fest 0(A) = O < - A; d . h . A ist geboten, wenn A einer i n - differenten P r o p o s i t i o n vorzuziehen ist.
2. M a n setzt 0 (A) = —, A < • A; d . h . A ist geboten, wenn A dem —i A vorzuziehen i s t ; wenn es also besser ist A z u t u n , als A z u unterlassen.
3. 0(A) soll gelten genau dann, wenn es bzgl. < • optimale Propositionen B gibt (so d a ß für alle G gilt C < • B) u n d alle diese Propositionen A logisch implizieren.
Welche dieser M ö g l i c h k e i t e n angemessen ist, h ä n g t erstens v o n der zugrunde gelegten R e l a t i o n <; • ab u n d zweitens v o n den Eigenschaften, die m a n für Obligationen fordern w i l l . I m letzten P u n k t wollen w i r uns darauf festlegen, d a ß der Opera- tor 0 die Theoreme des Standardsystems D 2 für Gebote erfüllen soll, dem n u n die Sprache A% zugrunde liegt u n d das d u r c h folgende A x i o m e u n d Regeln bestimmt w i r d :
A I : T A 1 0 : O (T)
A l l : 0 ( 4 DB) A Ö ( i)D Ö (B) A 1 2 : 0 ( i ) D n ö ( n A)
R l : i , i D ß h B1 8.
Daneben gibt es noch andere Systeme der deontischen L o g i k , die auch eine gewisse i n t u i t i v e P l a u s i b i l i t ä t für sich i n A n - spruch nehmen k ö n n e n , z . B . weil i n ihnen die P a r a d o x i c v o n Ross oder andere P a r a d o x i e n n i c h t auftreten. Sie sind dann aber entweder so schwach, d a ß m a n m i t ihnen k a u m etwas an- fangen k a n n , oder sie enthalten an anderer Stelle P a r a d o x i e n ,
1 8 Das ist das System D in N W E , S. 46.
die nicht weniger s t ö r e n d s i n d1 9. Insgesamt k a n n m a n wohl sagen, d a ß das System D2 das leistungsfähigste u n d a d ä q u a - teste System der deontischen L o g i k ist, ü b e r das w i r verfü- g e n2 0.
I n t u i t i v gesehen, e r f a ß t m a n durch die Festsetzung G< • A i n (1) z u n ä c h s t die Tatsache, d a ß A positiv oder gut ist. W e n n m a n noch nicht auf spezielle Relationen < • B e z u g n i m m t , k ö n n e n aber auch zwei u n v e r t r ä g l i c h e Propositionen beide positiv sein: M a n k a n n i n einem bestimmten Z e i t p u n k t z . B . entweder die positive H a n d l u n g vollziehen, d a ß m a n H e r r n X i m K r a n k e n h a u s besucht, oder die positive H a n d l u n g , d a ß m a n H e r r n Y beim U m z u g behilflich ist, aber nicht beides z u - gleich. D a i n D2 die Regel gilt A 3 B h 0 (A) => 0 ( - , B), so d a ß zwei u n v e r t r ä g l i c h e Propositionen nicht beide geboten sein k ö n n e n , k a n n die P o s i t i v i t ä t einer H a n d l u n g also n i c h t allgemein als ein hinreichendes K r i t e r i u m d a f ü r angesehen werden, d a ß sie geboten ist. Sie ist auch nicht allgemein ein notwendiges K r i t e r i u m für das Gebotensein einer H a n d l u n g ; denn m i t A ist nach dem P r i n z i p A z> B \- 0 (A) 0 (B) auch jede Folge v o n A geboten; es ist aber nicht gesagt, d a ß auch jede Folge einer positiven H a n d l u n g positiv ist. So k a n n z . B . die D i s j u n k t i o n einer positiven m i t vielen negativen H a n d l u n - gen negativ eingestuft werden.
Entsprechendes gilt für die Festsetzung —1 A < • A i n (2):
die Tatsache, d a ß eine H a n d l u n g A der Unterlassung v o n A vorzuziehen ist, i m p l i z i e r t noch nicht, d a ß es geboten ist, A z u t u n . Insbesondere k a n n wieder gelten —, A < • A u n d -]B< -B, o b w o h l A u n d B u n v e r t r ä g l i c h sind.
1 9 Die Paradoxic von Ross tritt z . B . nicht auf, wenn man das Axiom A10 ersetzt durch das A x i o m 0(A VB) = O(A) A O(B). E s gilt dann aber
V(AAB) =V(A)A V(B), d.h. A AB ist nur dann verboten, wenn sowohl A als auch B verboten sind, und das f ü h r t zu dem Theorem JEJ(A) z>
E(AA B). D . h . wenn es erlaubt ist, zu rauchen, so ist es auch erlaubt, zu rauchen und zu stehlen — ein Resultat, das sicher noch weniger akzep- tabel ist als die Paradoxic von Ross.
2 0 B . van Fraassen hat (73) eingewendet, d a ß D2 auf die meisten moralischen und juristischen Normsysteme nicht anwendbar sei, da in ihnen Pflichtenkonflikte auftreten, aus denen mit ^412 folgt, d a ß in ihnen alles geboten ist. Aus dem gleichen Grund m ü ß t e man dann aber die Logik und die subjektive Wahrscheinlichkeitstheorie ablehnen, weil die meisten Systeme von (Wahrscheinlichkeits-) Annahmen, denen wir im Alltag begegnen, nicht konsistent sind.
F ü r spezielle R e l a t i o n e n k a n n zwar die Definition O(A): = G< A oder 0 (A) : = A < • A einen Begriff des Geboten- seins ergeben, der die i n D2 fixierten Eigenschaften hat. So ist die letztere Definition z . B . akzeptabel für die R e l a t i o n < • nach 2.8-b, sofern diese eine totale Quasiordnung d a r s t e l l t2 1, w ä h r e n d sie nach 2.8-a oder nach 3.4 n i c h t akzeptabel ist. I m allgemeinen erfassen w i r aber m i t G < • A oder —t A < • A n i c h t die Tatsache, d a ß A geboten ist, sondern n u r die Tat- sache, d a ß A p o s i t i v i s t2 2.
W e n n w i r wieder v o n einer P r ä f e r e n z r e l a t i o n i • < j i m Sinne v o n 2.1 ausgehen, die eine totale Quasiordnung darstellt, u n d annehmen, d a ß es bzgl. dieser Ordnung optimale W e l t e n g i b t2 3, so d a ß für
4.1 Q := {% : Aj (j .<*)},
Q =¥ A ist, so ist A i m Sinne v o n (3) geboten, wenn Q <= [A]
gilt, d . h . wenn A i n allen optimalen W e l t e n wahr ist. D . h . w i r erhalten
4.2 O (A) s Q <= O l ] . "
D i e E x i s t e n z optimaler Propositionen als beliebiger Mengen v o n W e l t e n ist aber weder eine notwendige noch eine hin- reichende B e d i n g u n g für die E x i s t e n z v o n Sätzen A, für die gilt B < • A für alle B.
D e r Zusammenhang zwischen Geboten u n d P r ä f e r e n z e n nach 4.2 ist daher nur schwach u n d i n d i r e k t . Insbesondere k ö n - nen w i r n i c h t allgemein Obligationen d u r c h P r ä f e r e n z e n de- finieren u n d es gelten nicht allgemein Gesetze wie 0 (A) A A
2 1 V g l . dazu den Abschnitt 6.
2 2 M a n macht sich leicht klar, d a ß im F a l l (1), wenn man setzt 1(A) = A = • G und wegen 0{A)\J I(A)\J V(A) fordert V(A) =A<-G und die Vergleichbarkeit aller A mit G annimmt, gilt G<'A = ^A<-A, G — • A = —[ A — - A und A <*G = A < • —\A, so d a ß (1) dann einen Spezialfall von (2) darstellt. — Danielsson definiert in (68) gute, schlechte und indifferente Ereignisse generell durch A > • T, A < • T und A = * T, wo T eine Tautologie ist.
2 8 Die Annahme der Existenz optimaler Welten entspricht der limit assumption in D . Lewis (73), 1.4. Diese Annahme erweitert die Klasse der deontologisch wahren S ä t z e nicht. V g l . dazu D . Lewis (73), 6.1, sowie den Anhang 7.1.
2 4 V g l . dazu N W E , D 1.9-2.
^ • 5 D Ö (B), 1(A) A 0(B) =>A<B, V (A) A 0 (B) ^ A
< • B, V (A) A I (B) A < • B, oder / (A) A I (B) r> A = -
• J3.2 5
5 Bedingte Gebote
A u c h für bedingte Gebote gilt, was w i r schon für P r ä f e r e n z e n u n d Gebote betont haben: E s gibt verschiedene Begriffe be- dingten Gebotenseins, die alle i n dem R a h m e n , i n dem sie sich semantisch p r ä z i s i e r e n lassen, »vernünftige« BegriflFe sind, d . h . eine gewisse i n t u i t i v e A d ä q u a t h e i t beanspruchen k ö n n e n .
P u r einen ersten Typ bedingter Gebote 0(A/B) » » U n t e r der Bedingung B ist A geboten« - gelten z . B . die P r i n z i p i e n P I ) B A 0 (A IB) D Ö ( i ) - falls A unter der Bedingung B ge-
boten ist, u n d B gilt, so ist A geboten.
P 2 ) 0(A/B V G) ^O(AjB) - falls A unter der Bedingung B V G geboten ist, so ist A auch unter der Bedingung B geboten.
Solche Gebote lassen sich darstellen i n der F o r m A z> 0 (B) oder i n der F o r m A => 0 (B), wo »=>« eine » w e n n - d a n n « - B e - ziehung i n einem engeren, nicht-extensionalen S i n n darstellt, z . B . eine strikte I m p l i k a t i o n . D a jedoch allgemein eine modal- logische oder eine intensionslogische Sprache wesentlich aus- drucksreicher ist u n d erheblich genauere Differenzierungen er- l a u b t als eine extensionale Sprache, w i r d ihre Verwendung n i c h t speziell d u r c h die Darstellung solcher bedingter Obliga- tionen erfordert, so d a ß w i r uns i m R a h m e n der Aussagen- logik m i t der F o r m u l i e r u n g B -=>0 (A) zufrieden geben k ö n n e n .
W i r wollen i m folgenden jedoch einen zweiten T y p bedingter Obligationen untersuchen, wie er z . B . i n Danielsson (68), v a n Fraassen (72) oder Lewis (74) e r ö r t e r t w i r d . D a n a c h soll 0(A/B) d u r c h einen Präferenzbegriff charakterisiert werden.
M a n legt z u n ä c h s t z u jeder P r ä f e r e n z r e l a t i o n < • eine bedingte Präferenzrelation <; • B fest durch
2 5 Definiert man nach Danielsson (68) gute, schlechte und indifferente Ereignisse durch O(Ä): = T <-A9 S(A): = A <-T,I(A): = A=-T, so gelten für die Relationen nach 2.8-a,b die Beziehungen G(A) A 1(B) -=>
A >*B,I{A)AS(B) 3 A>-B, 1(A)A 1(B) z>A=-B, 1(A) A A <•£
3 G(B)91(B) A A<-BzzS(A).
5.1 A <. BG := A A B <. C A £.
F ü r den Vergleich v o n A m i t G unter der B e d i n g u n g B k o m - m e n also n u r die B-Welten i n Frage.
O(AjB) soll n u n d u r c h < • # i n gleicher Weise, d . h . nach den F ä l l e n (1) bis (3), b z w . 4.2 aus A b s c h n i t t 4 definiert werden wie 0 (A) d u r c h < •. J e nach dem g e w ä h l t e n Verfahren u n d nach der zugrundegelegten P r ä f e r e n z r e l a t i o n <; • e r h ä l t m a n d a n n verschiedene Eigenschaften des Begriffs O(AjB). I n je- dem F a l l gilt aber
5.2 O(A) = 0 (A/T),
u n d O(AjB) hat für festes B die Eigenschaften des Begriffs O(A). Geboten ist also, was p r i m a facie, ohne B e r ü c k s i c h t i - gung der U m s t ä n d e geboten ist, n i c h t jedoch, was unter allen U m s t ä n d e n geboten ist.
E s ist n u n k l a r , d a ß für diesen Begriff einer bedingten O b l i - gation das A b t r e n n u n g s p r i n z i p P I nicht gilt: 0 (AjB) besagt, d a ß A bei der P r ä f e r e n z r e l a t i o n < • B geboten ist, die sich aus
<; • bei K e n n t n i s v o n B ergibt, d . h . bei a u s s c h l i e ß l i c h e r B e - r ü c k s i c h t i g u n g der B-Welten. Ä h n l i c h gilt für bedingte W a h r - scheinlichkeiten w(A/B) k e i n A b t r e n n u n g s p r i n z i p der F o r m B A w (AjB) =r z> w (A) = r, sondern m a n k a n n n u r sagen:
H a t ein Subjekt X eine Wahrscheinlichkeitsbewertung w, für die g i l t w(A)B) =r, so w i r d X dem Ereignis A die W a h r - scheinlichkeit r zumessen, wenn X w e i ß , d a ß B eingetreten i s t ; m . a . W . w i r d X bei K e n n t n i s v o n B z u einer W a h r s c h e i n l i c h - keitsbewertung wf m i t w' (A) =w (AjB) = r ü b e r g e h e n . F e r - ner g i l t für solche Obligationen auch das P r i n z i p P2 n i c h t a l l - gemein, denn v o n A <; • B\JCD> d . h . v o n AAB V AAC <; • DAB V D/\C, k a n n m a n n u r aufgrund spezieller A n n a h - m e n ü b e r <; • a u f A <: -B A d. h . auf A AB <; • D AB s c h l i e ß e n . A u f g r u n d der folgenden Definition 5.3 gilt P2 z . B . n i c h t .
N a c h d e m w i r uns oben für die E i n f ü h r u n g v o n Obligationen n a c h 4.2 entschieden haben, wonach die Obligationen n u r i n - d i r e k t , d . h . ü b e r die P r ä f e r e n z r e l a t i o n • < für W e l t e n , m i t der R e l a t i o n <; • z u s a m m e n h ä n g e n , u n d insofern v o n der Defini- t i o n v o n <; • u n a b h ä n g i g sind, k ö n n e n w i r n u n eine F o r m a l i s i e - r u n g bedingter Obligationen angeben, die für alle Festlegungen v o n <> • passend ist.
D e r folgende Interpretationsbegriff stellt sich als eine direk- te Verallgemeinerung des Interpretationsbegriffs für unbe- dingte Gebote d a r ,2 6 wobei w i r n u n eine Menge S v o n n o r m a t i v bewertbaren W e l t e n einführen, u m auch Gebote darstellen z u k ö n n e n , die unter allen Bedingungen gelten.
5.3 E i n e Interpretation vonzl3 ist ein Quintupel </, io, 89 .<,<£>
für das gilt:
a) I ist eine Menge von Welten mit £ b) S ist eine Teilmenge von I mit io G S.
c) . < ist eine totale Quasiordnung auf / , für die gilt:
cl) —i i G S 3 i .< j für alle i, j G I»
c2) i G 8 A —i j E S 3 j < • * für alle *, j G / .
c3) F ü r alle X c I mit X n 8 + A gibt es ein i £ X mit A j U G X
=> j •<
d) 0< ist f ü r alle i £ I eine Funktion, die den S ä t z e n von As Wahrheits- werte (w, f) zuordnet, so d a ß gilt:
d l ) &i (-n A) - w = <Pi (A) = f
d2) 0i(A ^ B) = w=0i(A) = f y ®i (B) = w d3) &io (0 (A/B)) ^w=QB<=- [AI
D a b e i sei [A] = {i: 0t (A) = w) u n d QB = { i : i e [5] O 8 A /I?
0'e[JB] =>r <£*)}•
5.4 E i n e Interpretation = </, i0, . < , 0} erfüllt den Satz -4, wenn gilt 0io (A) =w. A h e i ß t allgemeingültig, wenn
^4 v o n allen Interpretationen erfüllt w i r d .
I n 5.3 ist io die wirkliche W e l t . 8 ist die Menge der normativ bewertbaren W e l t e n - die W e l t e n aus 1-8 werden alle als glei- c h e r m a ß e n schlecht eingestuft nach (cl) u n d (c2). io w i r d als n o r m a t i v bewertbar angesehen. Definieren wir
5.5 N (A) : = 0 (A, -n A),
so gilt N(A) = 8cz [A], sowie N(A) z>0{AjB) u n d N(^A) z>
0 {BfA) f ü r alle B . N (A) besagt also, d a ß A unter allen B e - dingungen geboten ist. U n t e r normativ u n m ö g l i c h e n B e d i n - gungen A, f ü r die gilt N (-1-4), d . h . 8 n [A] = / I ist dagegen alles geboten; das ist nicht mehr als eine unter formalen Ge- sichtspunkten praktische, i n t u i t i v aber unerhebliche Fest- legung.
*• V g l . dazu N W E , D l . 9 - 2 .
E s sei n u n D3 der K a l k ü l , der d u r c h folgende A x i o m e u n d Deduktionsregeln bestimmt w i r d :
A I : T A 1 3 : 0 (Ä/A)
A14: N(A) 3 O (A/B)
A 1 5 : N (A ZD B) f\ 0 (A/C) ^ O (BJC) A16: O (A/B) A O (C/B) z> O (A A C/B)
A 1 7 : - , 0 (-, => (O A B)=0(B 3 0/4)) A18: i V i D i
B l : i , i D J 5 h ß B 4 : 4 h i V ( 4 )
E s gilt d a n n der Satz:
5.6 D e r K a l k ü l DZ ist v o l l s t ä n d i g u n d widerspruchsfrei, d . h . die Theoreme v o n DZ sind genau die a l l g e m e i n g ü l t i g e n S ä t z e .
A u s DZ e r h ä l t m a n m i t der Definition 0 (A) : = 0 (A/T) so- fort das Standardsystem D2 der deontischen L o g i k .
D i e semantische Widerspruchsfreiheit v o n D 3 p r ü f t m a n leicht nach. D i e V o l l s t ä n d i g k e i t v o n D 3 ergibt sich aus der V o l l s t ä n d i g k e i t des i m n ä c h s t e n A b s c h n i t t angegebenen S y - stems D 4 , i n d e m m a n m i t der dort als a d ä q u a t ausgewiesenen Definition
5*7 i < . ß : = J V ( n ( 4 V ß ) ) V n O (-, BjA \J B)
die A x i o m e v o n D 4 als i n D 3 beweisbar u n d die Deduktions- regeln v o n D 4 als i n D 3 zulässig erkennt. V g l . d a z u den A n - hang 7.2.
6 Schwache Präferenzen und Gebote
Das E r g e b n i s unserer E r ö r t e r u n g e n war insofern negativ, als 1. eine v o l l s t ä n d i g e F o r m a l i s i e r u n g des v o n uns aus i n - t u i t i v e n G r ü n d e n bevorzugten Präferenzbegriffs < • nach 3.4 i m R a h m e n der Aussagenlogik n i c h t gelang, u n d 2. die v o n uns aus i n t u i t i v e n G r ü n d e n bevorzugten Begriffe bedingter u n d unbedingter O b l i g a t i o n e n zwar i n DZ v o l l s t ä n d i g for- malisiert werden k o n n t e n , aber keinen direkten u n d formali- sierbaren Z u s a m m e n h a n g z u m Präferenzbegriff aufweisen, so d a ß Dl u n d DZ unverbunden nebeneinander stehen.
D a h e r wollen w i r a b s c h l i e ß e n d darauf hinweisen, d a ß sich der schwache Präferenzbegriff nach 2.8-b i m R a h m e n der A u s - sagenlogik v o l l s t ä n d i g formalisieren l ä ß t u n d d a ß sich m i t dem schwachen Begriff der Obligation i m Sinne der P o s i t i v i t ä t i n diesem R a h m e n bedingte u n d unbedingte Obligationen v o l l - s t ä n d i g charakterisieren lassen. D a r i n k a n n m a n einen formal befriedigenden, i n t u i t i v aber wohl nur bedingt verwendungs- f ä h i g e n E r s a t z für ein umfassendes System v o n P r ä f e r e n z e n u n d Obligationen sehen. Vielleicht ergeben k ü n f t i g e Diskus- sionen jedoch, d a ß dieses System einen breiteren Anwendungs- bereich hat, als es z u n ä c h s t scheint.
6.1 E i n e Interpretation v o n A\ ist eine Interpretation v o n A% i m Sinne v o n 5.3, wobei (dS) ersetzt w i r d durch
d3') &iQ(A <. B) = w=Ai(ie[A]r\S zo Vj(je[B]C\S A i < j)).
D i e A n n a h m e (c3) k a n n m a n hier weglassen, sie erweitet aber, wie schon gesagt wurde, nicht die Menge der allgemein- g ü l t i g e n S ä t z e .
E r f ü l l u n g s r e l a t i o n u n d A l l g e m e i n g ü l t i g k e i t werden wie i n 5.4 definiert.
W i r definieren
6.2 N(A) : = n4 < . KY
wo K eine K o n t r a k t i o n ist. D a n n gilt wieder N (A) = S c [A].
E s sei D4 der K a l k ü l , der durch folgende A x i o m e u n d De- duktionsregeln bestimmt w i r d :
A I : T
A 4 : A <. B V B <. A
A 5 : A <. B A B <. G z> A <. C A18: NA 3 A
A19: A < . B z> A \J B B A20: N(A z> B) 3 {A <. B) R l : A,A B h B
R 4 : A h NA
D a n n gilt der Satz:
6.3 D e r K a l k ü l D 4 ist v o l l s t ä n d i g u n d widerspruchsfrei, d . h . die Theoreme v o n Z>4 sind genau die allgemeingültigen S ä t z e v o n Ai.
Z u m Beweis vgl. den Anhang 7.1.
Definiert m a n n u n
a,) A <. B C A A B <. C /\ B
b) 0(A/B) :=N(^A) A<.BA>
so e r h ä l t m a n aus D 4 alle Theoreme v o n D 3 . M i t c) 0(A) :=0(A/T)
also auch die Theoreme v o n 2)2.
A u s 6.4-b ergibt sich
0iQ(O(A/B)) =^w = Scz B) V Vi(ie[B]nS A Vj(i.<j A
je[B] D i e [ i ] ) ) .
D . h . abgesehen v o n dem t r i v i a l e n F a l l , d a ß B n o r m a t i v u n - m ö g l i c h ist (S n [B] = A), gilt O (A/B), wenn es eine B-Welt i aus S gibt, so d a ß alle JB-Welten, die mindestens so gut sind wie i , ^ - W e l t e n sind. U n t e r der Bedingung(c3) v o n 5.3 gilt das genau d a n n , wenn die besten B-Welten ^[-Welten sind, d . h . w i r erhalten n u n , obwohl w i r 0(A/B) nach 6.4-b d u r c h die P o s i t i v i t ä t v o n A unter der B e d i n g u n g B definiert haben, die Definitionsbedingung QB <= [A] v o n 5.3. B e i Zugrunde- legung der P r ä f e r e n z r e l a t i o n nach 2.8-b l ä ß t sich also 0 (A/B) d u r c h diese R e l a t i o n i n i n t u i t i v befriedigender Weise definie- ren.
I m letzten A b s c h n i t t h a t t e n w i r die Definition 5.7 : A < * B : = J V ( - ! (A V B) V - i 0 (-, B/A V B) b e n u t z t .2 7 M a n veri- fiziert n u n leicht, d a ß diese Definition a d ä q u a t ist, d . h . d a ß nach 6.1 u n d 6.4 gilt &io (0 (A/ A)) = 0iQ (N (A)) (vgl. 5.5) sowie 0iQ (A<-B) = 0io (N H ( i v B ) ) V n O (-, B/A V
W i e m a n leicht beweist, gelten i n 2)4 die S ä t z e V (A /B) A / (C/B) = (A < BC), I (A/B) A I (C/B) z> (A = BC), V (A/B)
A O (C/B) 3 (A < BC) V N 5 ) , F (4/J5) A (C < B4 ) =>
V (C/B), I (A/B) A O (C/B) => (A = ßC ) , 0 (4/5) A (A < BG)
=>E(C/B) V (-. B),I(A/B) A (A =BC) z>E (C/B). S t a t t der letzten drei P r i n z i p i e n w ä r e n die S ä t z e 7 (4/-B) A 0 (C/B)
=> ( 4 <BC ) , 0 (A/B) A (A < BC) => 0 (C/B) u n d 7 ( 4 / 5 ) A
(A — BO) =J I (C/B) i n t u i t i v a d ä q u a t e r . Sie gelten jedoch n i c h t .
« V a n Fraassen definiert in (72) A <Bx = 0 ( - , 4 / . A V £ ) -
D e r Präferenzbegriff f ü r Propositionen nach 2.8-b hat also den V o r t e i l formaler Einfachheit u n d den V o r z u g , d a ß sich m i t i h m bedingte Obligationen explizit definieren lassen, die auch i m Sinne v o n 5.3 i n t u i t i v a d ä q u a t sind.
D e r D 4 zugrundeliegende Präferenzbegriff < • nach 2.8-b i s t zwar sehr schwach, es w ü r d e aber nichts gegen die Verwendung eines schwachen Begriffs sprechen, wenn m a n d a m i t auch s t ä r k e r e Begriffe definieren k ö n n t e . Z u dieser Frage abschlie- ß e n d zwei Hinweise:
1. H ä n g e n die Werte der W e l t e n i n u r d a v o n ab, ob i n ihnen die Satzkonstanten pi, .. ,pn gelten, so stellen, wo E (i) der- jenige Satz der Gestalt (—i) p\ A • • • A (—i) pn ist, den i er- füllt, die K l a s s e n [E (i)] Ä q u i v a l e n z k l a s s e n bzgl. • < dar u n d es gilt i - <, j = E (i) <, - E (j). I n diesem F a l l , der bei vielen Anwendungen zutrifft, k a n n m a n aus <: • die R e l a t i o n • <; re- konstruieren, u n d k a n n daher m i t <; • auch alle P r ä f e r e n z b e - griffe nach 2.6 definieren.
2. A u c h beim Ü b e r g a n g z u einer ausdrucksreicheren Sprache, wie der Aussagenlogik m i t unendlich langen F o r m e l n , k a n n m a n die R e l a t i o n • <: durch < • definieren, d a sich dann alle W e l t e n d u r c h S ä t z e a u s d r ü c k e n lassen.
B e h ä l t m a n jedoch die Sprache der elementaren Aussagen- logik bei u n d macht keine Zusatzannahmen wie (1), so lassen sich m i t der R e l a t i o n • nach 6.1 allein keine interessanten Präferenzbegriffe wie z . B . 2.8-a definieren, u n d < • liefert n u r sehr schwache Informationen ü b e r die R e l a t i o n • < .
7 Anhang
7.1 Z u m Beweis des Satzes 6.3
M a n ü b e r z e u g t sich leicht davon, d a ß jede Interpretation nach 6.1 jedes A x i o m v o n D 4 erfüllt, u n d d a ß nach den Deduktions- regeln v o n D 4 aus a l l g e m e i n g ü l t i g e n S ä t z e n immer n u r allge- m e i n g ü l t i g e S ä t z e folgen, d a ß also D 4 (semantisch) wider- spruchsfrei ist. D a h e r geben wir hier nur einen V o l l s t ä n d i g k e i t s - beweis v o n D 4 an, der den allgemeinen Grundgedanken f ü r V o l l s t ä n d i g k e i t s b e w e i s e v o n L . H e n k i n f o l g t2 8. E i n V o l l s t ä n -
8 8 V g l . dazu z . B . Kutschera und Breitkopf (71), S. 67ff.
