. Ü b ung M a th e m a tis c h e Logik

Lehr-undForschungsgebiet MathematischeGrundlagenderInformatik

RWTHAachen

Prof.Dr.E.Grädel,R. Rabinovich

SS

. Ü b ung M a th e m a tis c h e Logik

GebenSie bitteNamen,Matrikelnummer und dieÜbungsgruppe an.

Aufgabe +++++Punkte

Zeigen oderwiderlegenSie:

(a) WennΦ⊧φ, dannΨ⊧φfürjedeFormelmengeΨmit Ψ⊆Φ.

(b) {ψ,φ}⊧φ∧ψ

(c) WennΦ∪{ψ}⊧φundΦ∪{¬ψ}⊧φ, dann giltbereits Φ⊧φ.

(d) WennΦ⊧ψ, dannexistierteine endlicheTeilmengeΦ_vonΦ,sodass{ψ}⊧φfüralleφ∈Φ_. (e) Wennφ_→ϑundφ_→¬ϑTautologiensind, dann gilt{φ_,φ_}⊧ψfürjedesψ∈AL.

(f) WennΦ⊧ψfüralleψ∈Ψ undΨ⊧φ, dannauchΦ⊧φ.

Aufgabe Punkte

FüreinAlphabet ΣbezeichnenwirdieMenge allerendlichenWörter über ΣdurchΣ^∗. Sei nunΣ={,} undA⊆Σ^∗eineunendlicheMengevon(endlichen) Σ-Wörtern.ZeigenSie, dasseseinunendlichesWort α=a

a

. . .gibt,sodassjedesendliche AnfangsstückvonαzueinemWortausAverlängertwerden kann.

Giltdiese Aussage auch,wennΣeine beliebige endlicheMengeist?Giltdie Behauptungauch für Σ=N?

Aufgabe Punkte

EineMengeFvon Funktionen heißtmaximal funktionalunvollständig,wenn

• sienichtfunktionalvollständig ist und

• jedeMengeF∪{f}istfunktionalvollständig,wobei f eine beliebige BoolescheFunktion ist, die man nichtausden FunktionenausF(und derIdentität)mitHilfe derKomposition konstruieren kann.

ZeigenSie, dassdieMengeF={,,∧,∨}maximal funktionalunvollständig ist.

Hinweis:FürdieMaximalitätzeigen SieperInduktionüber die AnzahlderVariablen, dassjedeim üblichenSinnemonotone Boolesche Funktion (d.h.,wird ein Argumentgrößer, dannwird derWert derFunktion nichtkleiner)durch FunktionenausFdarstellbarist.ZeigenSieferner, dass sichauseiner beliebigen Funktion, dieman nichtausFkonstruieren kann, dieNegation konstruieren lässt.

Aufgabe +Punkte

SeienΦ undΘzwei Formelmengen.Wir sagen, dass Θaus Φfolgt (Φ⊧Θ),wenn jedeFormelϑ∈Θaus Φfolgt. Sei(Φi)_i∈NeineunendlicheFolgevonerfüllbarenFormelmengenΦi ⊆AL,sodass Φi+ ⊧ Φi

undΦ_i ⊧/ Φ_i+fürallei∈Ngilt. SeiΨeine erfüllbareFormelmenge,sodass Ψ⊧Φ_ifürallei ∈Ngilt.

(a) ZeigenSie, dassdieMengeΨexistiert.

(b) ZeigenSie, dasskeine endlicheFormelmengeΘexistiert,sodass Ψ⊧Θ undΘ⊧Ψgilt.

Hinweis:ZeigenSiezuerst, dasseineFolge(Φ^′_i)_i∈Nexistiert,sodassfürallei∈NdieFormelmengen Φ^′_i undΦidiegleichen ModellehabenundFolgendesgilt:Φ^′_i+⊧Φ^′_i,Φ^′_i ⊧/ Φ^′_i+undΦ^′_i ⊂Φ^′_i+.

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