Höhere Mathematik I

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

A

Höhere Mathematik I

9. Übung

Abgabe Hausübungen: W. 5

Gruppenübungen

(G 34)

Leiten Sie folgende Funktionen ab:

(a) f(x) =tanx, (b) g(x) =sin(cos 2x), (c) h(x) =e^sinx,

(d) i(x) =Acos(ωx+δ), (e) j(x) =tan³x.

(G 35)

Sei f(x) =arccosxundg(x) =arctanx. Berechnen Sie f⁰(x)undg⁰(x).

(G 36)

Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen (a) f₁(x) =_2+arccosx¹ ,

(b) f₂(x) =xarcsinx+√ 1−x², (c) f₃(x) =arccos(sinx), (d) f₄(x) =√

x²−9−3 arccos³_x.

(G 37)

(a) Beweisen Sie die Ungleichunge^x≥1+xfür allex∈[0,∞).

(b) Beweisen Sie die Ungleichung lnx≤x−1 für allex∈[1,∞).

(Hinweise: Benutzen Sie die Folgerungen des Mittelwertsatzes).

Hausübungen

(H 17) [2+2+2+2+2P]

Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen (a) g₁(x) =arctane^x,

(b) g₂(x) =e^−xsinx, (c) g₃(x) =e^sin(lnx), (d) g₄(x) =arctan ^2+3x_3−2x

, (e) g₅(x) =sin⁵(3x).

(H 18) [5+5P]

(a) Beweisen Sie die Ungleichung sinx≤xfür allex∈[0,∞).

(b) Beweisen Sie die Ungleichung cosx≥1−¹₂x²für allex∈[0,∞).