Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter
Dr. M. D¨oring B. Niese T. Wagner
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
SS 2007 3./4. 05. 2007
Einf¨ uhrung in die Mathematische Statistik
1. Tutorium
Im folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) zugrundegelegt.
Aufgabe 1 Beweisen Sie die folgenden Aussagen!
a) F¨ur eine Abbildung X : Ω→R sind ¨aquivalent:
(i) X Zufallsvariable.
(ii) X−1(O)∈Af¨ur alle offenen Mengen O ⊆R.
b) Ist X : Ω → R eine Zufallsvariable und f : R → R eine stetige Funktion, dann ist f ◦X eine Zufallsvariable.
c) Sind X, Y Zufallsvariablen, dann sind auch X±Y und X·Y Zufallsvariablen.
Aufgabe 2 Beweisen Sie den folgenden Spezialfall von Satz II.46:
Zwei Zufallsvariablen X1, X2 sind genau dann unabh¨angig, wenn
∀M1, M2 ∈M: P ({X1 ∈M1} ∩ {X2 ∈M2}) =P({X1 ∈M1})·P({X2 ∈M2}). Hinweis: Aufgabe (G2)
Aufgabe 3
Bei einer Spiel-Show kann der Kandidat zwischen drei T¨uren w¨ahlen. Hinter einer der drei T¨uren befindet sich ein Gewinn, w¨ahrend sich hinter den anderen beiden T¨uren jeweils eine Niete befindet. Der Kandidat trifft eine erste Wahl zwischen den drei T¨uren. Dann folgt der zweite Schritt des Spieles, wobei der Showmaster eine der beiden ¨ubriggebliebenen T¨uren
¨offnet. Da der Showmaster weiß, was sich hinter jeder T¨ur befindet, ¨offnet er stets eine T¨ur mit einer Niete. Nun kann der Kandidat im dritten Schritt des Spieles seine Wahl der T¨ur nochmals durch einen Wechsel auf die zweite noch verschlossene T¨ur korrigieren.
Sollte der Kandidat dies tun oder sollte er bei seiner ersten Wahl bleiben?
Konstruieren Sie zur Beantwortung dieser Frage zuerst einen Wahrscheinlichkeitsraum f¨ur dieses Zufallsexperiment.
Aufgabe 4 Zeigen oder widerlegen Sie:
Ist C die disjunkte Vereinigung von Ereignissen C1, C2, . . . mit P(Ci) > 0, und sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|Ci) alle gleich, so ist P(A|C) = P(A|C1).
