Standardnormalverteilung / z-Transformation

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Standardnormalverteilung / z-Transformation

Unter den unendlich vielen Normalverteilungen gibt es eine Normalverteilung, die sich dadurch ausgezeichnet ist, dass sie einen Erwartungswert von µ = 0 und eine Streuung von σ= 1 aufweist.

Dieser Normalverteilung wird deshalb eine besondere Bedeutung zugemessen, weil sämtliche übrigen Normalverteilungen durch eine einfache Transformation in sie überführbar sind.

s x z _i x ⁱ −

= σ µ

= ⁱ −

i

z x

Durch die z-Transformation können sämtliche Normalverteilungen standardisiert werden, d.h. auf einen Standard gebracht werden. Wir bezeichnen deshalb die Normalverteilung mit µ= 0 und σ=1 als Standardnormalverteilung.

(vgl. Bortz, 5. Auflage, S. 75)

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Übungsaufgabe zur Z - Transformation

Man nimmt an, dass die Ergebnisse eines Tests sich um einen Mittelwert von µ=60 verteilen und eine Streuung (um diesen Mittelwert) von σ =20 aufweisen.

Welcher prozentuale Anteil der möglichen Testergebnisse liegt...

a) ... über 85

b) ... unter 50

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Lösung Übungsaufgabe

Abschnitt a)

1. Schritt: unsere gegebene Verteilung muss standardisiert werden

2. Schritt: diese Standardisierung erfolgt über die Z-Transformation

^z ⁱ ⁼ ^x ⁱ _s⁻ ^x

, also für den Wert 85:

^z ⁱ ⁼ ⁸⁵ ₂₀⁻ ⁶⁰ ⁼ ^1,25

Z = 1,25

3. Schritt: Ablesen der Wahrscheinlichkeit für unseren transformierten

Wert

abgelesener Wert für Z = 1,25 in der Tabelle: 0,106 ,entspricht 11%

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Abschnitt b)

1. Schritt: unsere gegebene Verteilung muss standardisiert werden 2. Schritt: Z-Transformation

0,5 20 -

60

50 − =

i = z

3. Schritt: Ablesen der Wahrscheinlichkeit für unseren transformierten Wert Problem: negative Z-Werte häufig nicht in der Tabelle auffindbar,

dann : Logik der Symmetrie der Normalverteilung (siehe Eigenschaften!) daher : P(Z < -0,5) = P(Z > +0,5)

Wir suchen stattdessen also die Wahrscheinlichkeit für den Z-Wert +0,5 in der Tabelle auf: 0,309, entspricht 31%

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Hausaufgabe z-Transformation

Die Verteilung der Ergebnisse des letzten Statistiktests ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 7,2 und einer

Standardabweichung von 3,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

a) mit mindestens 10 Punkten zu bestehen,

b) mit der Punktzahl zwischen 5 und 8 zu liegen,

c) höchstens 4 Punkte zu erreichen?

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Lösung Hausaufgabe zur z-Transformation

a)

^z ⁼ ¹⁰ ₃⁻_,₅⁷^,² ⁼ ⁰^,⁸ ^P ⁽ ^z ^≥ ⁰^,⁸⁾ ⁼ ⁰^,²¹²

Die Wahrscheinlichkeit, mit mindestens 10 Punkten zu bestehen, beträgt 21,2 %.

b) 0,63

5 , 3

2 , 7 5

1 − = −

=

z 0,23

5 , 3

2 , 7 8

1 − =

= z

327 , 0

409 , 0 264

, 0 1

) 23 , 0 (

) 63 , 0 (

1 )

23 , 0 63

, 0 (

=

−

=

≥

−

≤

−

=

≤

− z P z P z

P

Die Wahrscheinlichkeit, eine Punktzahl zwischen 5 und 8 zu erreichen, beträgt 32,7 %.

c) 0,91

5 , 3

2 , 7 4

1 − = −

=

z P ( z ≤ − 0,91 ) = 0,184

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 4 Punkte zu erreichen, beträgt 18,4%.

(z-Tabelle: Wonnacott & Wonnacott)

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Stichprobentheorie

Wenn jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Chance hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden, so handelt es sich um eine Zufallsstichprobe.

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es möglich, von den Stichprobenergebnissen (z. B. x und s) auf die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit zu schließen, d.h. diese zu schätzen.

(Inferenzschluß)

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Schätzen von unbekannten Parametern

• Aus einer Grundgesamtheit wird eine Zufallsstichprobe des Umfangs n > 30 gezogen (Voraussetzung für die Normalverteilung der Mittelwerte). Der Mittelwert x dieser Stichprobe wird berechnet.

• Die Parameter der Population (Grundgesamtheit) µ und σ sind unbekannt.

• Mit x wird der unbekannte Parameter µ geschätzt.

(x als Schätzfunktion für µ ).

Idee: Der theoretische Mittelwert µ wird am besten durch den empirischen Mittelwert x beschrieben.

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• Annahme: Die Mittelwerte von k Stichproben vom Umfang n sind normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung

x n

σ = σ

.

Dabei ist σ die unbekannte Streuung in der

Grundgesamtheit.

• Die Standardabweichung σ_x heißt Standardfehler der Schätzfunktion x . Er gibt an, welcher Fehler bei der Schätzung zu erwarten ist. (x wird µ nie genau treffen bzw. die Wahrscheinlichkeit hierfür ist Null).

• Diese Schätzung wird umso genauer, je kleiner der Standardfehler ist.

Der Standardfehler hängt (a) proportional von der realen Streuung in der Grundgesamtheit ab und ist (b) umgekehrt proportional zu

n

.

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• Da ^σ^x² unbekannt ist, schätzen wir ^σ^x² aus der Stichprobe mit

∑

=

• −

= − ⁿ

i

xi x s n

1

2 11 ( )2

• Daraus ergibt sich die Schätzung für den Standardfehler:

n s _x s

x ≈ =

σ

• Ausgehend von den Verteilungseigenschaften einer Normalverteilung befindet sich der Stichprobenmittelwert x mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% im Bereich µ ± sx und mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% im Bereich µ ± 2^s^x.

Standardnormalverteilung / z-Transformation