Hans Walser, [20131119] Yin Yang, Sin Sang und Weierstraß 1 Yin Yang Die Abbildung 1 zeigt das klassische Yin Yang.

Yin Yang, Sin Sang und Weierstraß 1 Yin Yang

Die Abbildung 1 zeigt das klassische Yin Yang.

Abb. 1: Yin Yang 2 Iterationen

Die Abbildung 2 zeigt Iterationen.

Abb. 2: Iterationen

Die Abbildung 3 zeigt die Bestandteile einer solchen Iteration. Dabei ist der untere Halbkreis der Gesamtfigur weggelassen. Die einzelnen Kurven sind aus Halbkreisen zusammengesetzt. Es sind „Wellenlinien“, aber keine Sinuskurven.

Abb. 3: Bestandteile 3 Funktionsgrafen

Nun fassen wir diese Kurven als Funktionsgrafen mit dem Definitionsintervall

[ ]

0,1 auf. Diese Funktionen können durch

f_k

( )

t ⁼

( )

¹₂ ^k

( )

¹2 ²⁻

( (

^2kt−12

)

^{−round 2}

(

^kt−12

) )

²

^{( )}

^{−1 round 2}

⁽

^kt−12

⁾

^{, k=0,1,2,…}

beschrieben werden. Wenn jemand eine einfachere Beschreibung findet, bin ich dank- bar.

Für k=0 ergibt sich der Halbkreis. Die unterste Kurve der Abbildung 3 ergibt sich für k=3, wie das Kontrollbild der Abbildung 4 zeigt.

Abb. 4: Kontrolle

Nun addieren wir die Funktionen. Wir also arbeiten mit den Funktionen g_n

( )

t ^{= f}k

( )

t

k=0

∑

n

Und plotten deren Funktionsgrafen.

Für n=0 ergibt sich der Halbkreis (Abb. 5). Wir haben senkrechte Tangentenrichtun- gen für x = 0 und x = 1.

Abb. 5: Halbkreis für n = 0

Für n=1 ergibt die Summe des Halbkreises der bei der Yin Yang Figur (Abb. 1) auftre- tenden mittleren Wellenlinie den Funktionsgrafen der Abbildung 6. Zusätzlich ist die Überlagerung der Fälle n = 0 und n = 1 dargestellt.

Abb. 6: Summierung der ersten beiden Kurven. n = 1

Bemerkenswert ist die senkrechte Tangentenrichtung bei x= ¹₂. Wir haben also senk- rechte Tangentenrichtungen für x∈

{ }

0,¹₂,1 ^.

Die Abbildung 7 zeigt die Summierung für n = 2. Senkrechte Tangentenrichtungen für x∈

{

0,¹₄,¹₂,³₄,1

}

^.

Abb. 7: n = 2

Schließlich noch die Situation für n = 3 mit senkrechten Tangentenrichtungen bei allen Achteln (Abb. 8).

Abb. 8: n = 3

Wenn wir einmal senkrechte Tangentenrichtungen haben, haben wir das an den gleichen Stellen in allen nachfolgenden Schritten. Zusätzlich entstehen neue senkrechte Tangen- tenrichtungen je an Stellen in der Mitte zu zwei senkrechten Tangentenrichtungen im vorhergehenden Schritt.

Die Kurven tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 9). Sie ist der Funktionsgraf zu g t

( )

^{= lim}

n→∞g_n

( )

t ^{= f}k

( )

t

k=0

∑

∞ ^.

Abb. 9: Grenzkurve 4 Ableitungen

Die Abbildung 10 zeigt die Ableitung (blau) von g₀

( )

t . Die Ableitung existiert nicht (Pole) für x=0 und x=1 (senkrechte Tangenten).

Abb. 10: Ableitung

Die Abbildung 11 zeigt weitere Ableitungen. Wir erhalten Pole für Halbe, Viertel, Ach- tel, ... .

Abb. 11: Ableitungen 5 Ist folgende Überlegung richtig?

Wir haben senkrechte Tangentenrichtungen an allen Stellen, die sich durch Halbieren, Vierteln, Achteln, ... des Einheitsintervalls ergeben, also an allen Stellen, die sich durch einen endlichen Dualbruch darstellen lassen. Diese Stellen liegen dicht im Einheitsin- tervallen. Die Funktion g t

( )

ist dort nicht differenzierbar. Da diese Stellen aber dicht liegen, ist die Funktion im Einheitsintervall nirgends differenzierbar.

6 Integral

Da der Funktionsgraf von g₀

( )

t der Halbkreis über dem Einheitsintervall ist, haben wir:

g₀

( )

t ^dt

0

1

∫

^=π8

Aus Symmetriegründen haben alle folgenden Summanden in g_n

( )

t das Integral null.

Daher ist allgemein:

g_n

( )

t ^dt

0

1

∫

^=π8

Damit ist schließlich auch:

g t

( )

^dt

0

1

∫

^{= π8}

7 Sinuskurven

Eine dem Yin Yang nachempfundene Figur kann mit Sinuskurven gezeichnet werden (Abb. 12).

Abb. 12: Sin Sang Auch dies kann iteriert werden (Abb. 13).

Abb. 13: Iteration Die einzelnen Wellenlinien haben den Funktionsterm:

f_k

( )

t ⁼

( )

¹₂ ^{ksin 2}

( )

^{kt , k=0,1,2,...}

Wir kumulieren nun die Wellenlinien. Wir also arbeiten mit den Funktionen:

g_n

( )

t ^{= f}k

( )

t

k=0

∑

n

Die Abbildung 14 zeigt die Situation für n=1.

Abb. 14: n = 1 Die Abbildung 15 zeigt die Situation für n=2.

Abb. 15: n = 2 Die Abbildung 16 zeigt die Situation für n=3.

Abb. 16: n = 3

Die Kurven tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 17). Sie ist der Funktionsgraf zu g t

( )

^{= lim}

n→∞g_n

( )

t ^{= f}k

( )

t

k=0

∑

∞ ^.

Abb. 17: Grenzkurve

Funktionen dieser Art dienten Weierstraß als Beispiele für überall stetige aber nirgends differenzierbare Funktionen.

Karl Weierstraß, 1815 - 1897

8 Eckige Version

Im Quadrat sieht die Yin Yang-Figur nicht sehr spektakulär aus, die Iterationen haben aber einen gewissen Reiz (Abb. 18).

Abb. 18: Yin Yang im Quadrat Durch Summationen ergeben sich die Polygone der Abbildung 19.

Abb. 19: Summation

Die Polygone tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 20).

Abb. 20: Grenzkurve