Modellierung und Simulation eines Wellenerzeugers für eine maritime Versuchsanlage mit CFD-Methoden

Bachelor-Arbeit

Dorothee Pieper

25. Januar 2012

Modellierung und Simulation eines Wellenerzeugers für

eine maritime Versuchsanlage mit CFD-Methoden

21

20099

Hamburg

Verfasserin: DorotheePieper Abgabedatum:

25.01.2012

1.

Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Peter Wulf

Vorwort

Diese Ba helor Arbeit ist Ende des Jahres 2011 an der HAW-Hamburg entstanden. Für die unbürokratis he Unterstützung und die sehr gute Betreuung mö hte i h mi h bei Herrn Prof. Dr.-Ing.PeterWulfbedanken.Weiterhinmö htei hmi hbeiHerrnProf.Dipl.-Ing.PeterDalho bedanken, deralsZweitprüfer dieserBa helor Arbeit fungiert.

Inhaltsverzei hnis

Symbol- und Abkürzungsverzei hnis IV

Abbildungsverzei hnis VII

Tabellenverzei hnis X

1. Einleitung 1

1.1. Gesamtkontext . . . 1

1.2. Zielsetzung . . . 3

2. Standder Te hnik 4 2.1. Meereskraftwerke . . . 4 2.1.1. Wellenspei herkraftwerke . . . 4 2.1.2. OWC-Kraftwerke . . . 4 2.1.3. Wellenenergiewandler . . . 5 2.1.4. Gezeitenkraftwerke . . . 6 2.1.5. Meeresströmungskraftwerke . . . 6 2.2. Wellenkanal . . . 7 2.3. Numeris he Strömungssimulation . . . 8 3. Theoretis heGrundlagen 10 3.1. Wellentheorie . . . 10 3.1.1. Grundglei hungen . . . 11 3.1.1.1. Kontinuitätsglei hung . . . 11 3.1.1.2. Impulserhaltung . . . 11 3.1.1.3. Potenzialtheorie . . . 12 3.1.1.4. Instationäre Bernoulli-Glei hung . . . 13 3.1.2. Lineare Wellentheorie . . . 13 3.1.3. Lineare Wellenerzeugertheorie . . . 19

3.1.4. Wellentheorie na hStokes . . . 22

3.1.5. Wellenklassikation . . . 23 3.2. Numeris he Strömungssimulation (CFD) . . . 25 3.2.1. Allgemein . . . 25 3.2.2. Lösungsmethoden . . . 25 3.2.3. Mehrphasenströmungen . . . 29 3.2.4. Freie Oberä he . . . 30 3.2.5. Dynamis hes Netz . . . 35 4. Simulation 39 4.1. Modellbildung . . . 40 4.1.1. Netzgenerierung . . . 40 4.1.2. Randbedingungen . . . 41 4.1.3. Lösungsmethoden . . . 42 4.2. Dämpfungsmodelle . . . 43

4.4. Volume of Fluid-Modelle . . . 50

4.5. Dynamis hes Netz . . . 52

4.6. Wellenkongurationen . . . 57

4.7. Modellbildung Bewegter Zylinder . . . 58

5. Auswertung 61 5.1. Referenzmodell . . . 61 5.2. Wellenkongurationen . . . 65 5.2.1. ModellT1 . . . 65 5.2.2. ModellT2 . . . 68 5.2.3. ModellT3 . . . 70 5.2.4. ModellT4 . . . 73 5.3. Bewegter Zylinder . . . 75

6. Fazit undAusbli k 79 6.1. Fazit . . . 79

6.2. Ausbli k . . . 80

A. Modellübersi ht 81

B. UDFGes hwindigkeitseinlass 83

C. UDFDynamis hes Netz 85

D. UDF6DOF 86

E. Netz und Wellenausprägung des Modells mit Strand 87 F. Darstellung derWellenausprägung bei dem Referenzmodell 88 G. Ges hwindigkeitsverläufena h der Wellenerzeugertheorie 89 H. Darstellung derWellenausprägung bei dem Modell T1 91 I. Darstellung derGes hwindigkeitsverläufebei demModell T4 92 J. Darstellung derWellenausprägung mit bewegtem Zylinder 94

K. DieverwendeteSoftware 98

L. Inhalt derDVD 99

M.Aufgabenstellung 100

Symbol- und Abkürzungsverzei hnis

Indizes und Konventionen

−

Ri htungsbehaftete Gröÿen werden fettdargestellt

(. . .)

_a

VolumenanteildesFluides a

(. . .)

_c

j

Wert indemZellmittelpunkt derZelle j

(. . .)

_h=0

Randbedingungan derPosition h=0

(. . .)

_k

Wert aufden zellbegrenzenden Flä hen

(. . .)

_p

Progressive Wave - forts hreitende Welle

(. . .)

_s

Standing Wave- stehende Welle

Skalare Gröÿen

δ

Vers hiebung derRuhewasserlinie gegenüberdem Orbitalkreismittelpunkt

m

η(x, y, z)

Lage derfreien Oberä he

m

η

dynamis he Viskosität

kg

ms

Λ

Volumenviskosität

kg

ms

∇φ

Gradient einer beliebigen Feldgröÿe

−

ω

Wellenfrequenz

1

s

Φ(x, z, t)

Ges hwindigkeitspotenzial

m

s

φ

BeliebigeFeldgröÿe

−

ψ

Drehung bzw. Vortizität

1

s

ρ

Di hte

kg

m

3

θ

Level-Set-Funktion

−

ϕ

Volumenanteil

−

A

Wellenamplitude

m

C(t)

Integrationskonstante

−

C

Wellenausbreitungsges hwindigkeit

m

s

F (x, z, t)

Darstellung derOberä he

m

H

Wellenhöhe

m

k

Wellenzahl

1

m

L

Wellenlänge

m

p

Dru k

Pa

S

Hub desWellenantriebes

m

t

Zeit

s

u, v, w

Ges hwindigkeiten inx-,y-und z-Ri htung

m

s

x, y, z

Globale Koordinatenri htungen

m

Vektorielle Gröÿen,Tensoren

∇

Nablaoperator

−

∇

2

Lapl aeoperator

−

ξ

Deformationstensor

−

g

VektorderS hwerefeldes

m

s

2

I

Einheitstensor

−

n

Einheitsvektor

−

T

Spannungstensor

N

m

2

u

Ges hwindigkeitsvektor

m

s

Abkürzungen

6DOF

6 Degreesof Freedom - 6Freiheitsgrade

AW S

Ar himedes Waveswing

CF D

Computational FluidDynami s - Numeris he Strömungsbere hnung

CICSAM

Compressive Interfa e CapturingS heme for ArbitraryMeshes

DGL

Dierenzialglei hung

F V M

Finite-Volumen-Methode

HRIC

HighResolution Interfa e Capturing

IT A

Iterative TimeAdvan ement - IterativerZeitforts hritt

KV

Kontrollvolumen

M U SCL

MonotoneUpstream- entered S hemes for Conservations Laws

N BT

Numeri alBea hTreatment - numeris he Strandbetra htung

N IT A

Non-Iterative Time Advan ement - Ni htiterativer Zeitforts hritt

N S

Navier-Stokes

N W K

Numeris herWellenkanal

P ISO

Pressure Impli it withSplitting ofOperators

P LIC

Pie ewise LinearInterpolation Cal ulation- Stü kweise lineare Interpolation

QU ICK

Quadrati Upstream Interpolation for Conve tisKineti s

SIM P LE

Semi-Implizit Methode for PressureLinkedEquation

SIM P LEC

Semi-Implizit Methode for PressureLinkedEquation-Consistent

U DF

User DenedFun tion - benutzerdenierte Funktion

Abbildungsverzei hnis

1.1. Dur hs hnittli he jährli he Wellenenergie in

kW/m

derWellenfront [21℄ . . . 2

2.1. S hematis he Darstellungeines OWC-Meereskraftwerkes [14℄ . . . 5

2.2. FotodesPelamis P2 imMeer[21℄ . . . 6

2.3. Darstellung desInnereneines Pelamis P2 [21℄ . . . 6

2.4. Modellmehrerer Meeresströmungskraftwerke [3℄ . . . 7

2.5. Wellenerzeugertheorie na hGalvin[7℄ . . . 8

3.1. Ausbreitung einer tro hoiden Wellenform mit Kennzei hnung der Wellenparame-ter [4℄ . . . 10

3.2. Zweidimensionale Wasserwellen als Randwertproblem [7℄ . . . 13

3.3. Einussderstehenden WellenaufdenGes hwindigkeitsverlaufderx-Komponente an derStelle

x = 0, 1 m

und

z = −0, 5 m

. . . 21

3.4. Darstellung desEinusses des ni htlinearen Stokes Anteils auf den Amplituden-verlauf . . . 23

3.5. Klassizierung derWellentheorien [6℄ . . . 24

3.6. Einteilung derunters hiedli hen Wellen [13℄ . . . 24

3.7. DarstellungderRekonstruktionderGradienteninFLUENTdur hdasVerfahren Green-Gauss-knotenbasierend[28℄ . . . 26

3.8. IterationsvarianteninFLUENT[28℄ . . . 28

3.9. Einteilung derVerfahren zurDarstellung derGrenzä he [22℄ . . . 30

3.10.S hematis he DarstellungdesVOF-Verfahren[22℄ . . . 31

3.11.Prolverlauf derOberä he beiden beiden Rekonstruktionsverfahren [1℄ . . . 32

3.12.Darstellung desEinussesderPLIC-Methode [22℄ . . . 33

3.13.Erstellung desInterfa e beidergekoppelten Level-Set-Methode [1℄ . . . 35

3.14.Exemplaris he Darstellung derfederbasierendenNetzglättungsmethode [1℄ . . . . 36

3.15.Darstellung derMethode derdynamis hen Zells hi htung [1℄ . . . 37

4.1. Darstellung desAmplitudenverlaufesdes Ausgangsmodellsan derStelle

x = 2 m

39 4.2. Darstellung desnumeris hen Wellenkanals mit den Messstellen . . . 40

4.3. Detaildarstellungdes Netzes . . . 41

4.4. Darstellung desNetzesvon demModell M1 . . . 41

4.5. Darstellung desAmplitudenverlaufesbeidemModell M1ander Stelle

x = 2 m

. 43 4.6. Darstellung der Amplitudenverläufe für vers hiedene Dämpfungsparameter bei demModell M1an derStelle

x = 12 m

. . . 44

4.7. Darstellung der Amplitudenverläufe für vers hiedene Dämpfungsparameter bei demModell M1an derStelle

x = 2 m

. . . 45

4.8. Darstellung desNetzesvon demModell M2 . . . 46

4.9. DarstellungderAmplitudenverläufefürvers hiedeneNetzmodellemitnumeris her Dämpfung an derStelle

x = 2 m

. . . 46

4.10.Darstellung der Amplitudenverläufe für vers hiedene Dämpfungsparameter bei demModell M2an derStelle

x = 12 m

. . . 47

4.11.Darstellung der Amplitudenverläufe für vers hiedene Dämpfungsparameter bei demModell M2an derStelle

x = 2 m

. . . 48

4.12.Darstellung der Amplitudenverläufe an der Stelle

x = 2 m

bei Dämpfung dur h einen StrandamKanalende . . . 49 4.13.Darstellung derAmplitudenverläufe für eine Netzstudie zur Zellhöhe im Berei h

derfreien Oberä he beidemModellM2 anderStelle

x = 2 m

. . . 50 4.14.DarstellungderAmplitudenverläufe fürvers hiedeneVOF-Verfahrenbeidem

Mo-dell M2an derStelle

x = 2 m

. . . 51 4.15.Wellenausprägung im NWKmit derLevel-Set Methodebeieiner Simulationszeit

von

t = 20 s

. . . 51 4.16.Detailansi ht derAmplitudenverläufe vers hiedener VOF-Verfahren beidem

Mo-dell M2an derStelle

x = 2 m

. . . 52 4.17.Dynamis he Netzadaption beitranslatoris herBewegung beidemZeits hritt 0 . 53 4.18.Dynamis he Netzadaption beitranslatoris herBewegung beidemZeits hritt 140 53 4.19.Dynamis he Netzadaption beitranslatoris herBewegung beidemZeits hritt 420 53 4.20.Dynamis he Netzadaption beirotatoris herBewegung beidemZeits hritt 0 . . . 54 4.21.Dynamis he Netzadaption beirotatoris herBewegung beidemZeits hritt 140 . 54 4.22.Dynamis he Netzadaption beirotatoris herBewegung beidemZeits hritt 420 . 55 4.23.DarstellungderAmplitudenverläufebeirotatoris henundbeitranslatoris hen

An-trieb an derStelle

x = 2 m

. . . 55 4.24.Darstellung des Dämpfungseinusses auf den Amplitudenverlauf an der Stelle

x = 12 m

beivers hiedenen Modellen . . . 56 4.25.Darstellung des Dämpfungseinusses auf den Amplitudenverlauf an der Stelle

x = 2 m

beivers hiedenen Modellen . . . 57 4.26.Bere hnungsgitter Modell Z1mit Implementierung eines Zylinders . . . 58 4.27.Bere hnungsgitter Modell Z2mit Implementierung eines Zylinders . . . 59 5.1. Dru kverlauf desReferenzmodellsbei dem Modell M1 mit bewegter

Randbedin-gung bei einerSimulationszeit von

t = 20 s

. . . 61 5.2. DarstellungderAmplitudenverläufebeidenReferenzmodellenanderStelle

x = 2 m

. . . 62 5.3. Detailansi htderAmplitudenverläufebeidenReferenzmodellenanderStelle

x = 2 m

. . . 62 5.4. DarstellungderGes hwindigkeitsverläufe derx-KomponentederReferenzmodelle

an derStelle

x = 2 m

und

z = −0, 5 m

. . . 63 5.5. DarstellungderGes hwindigkeitsverläufe dery-KomponentederReferenzmodelle

an derStelle

x = 2 m

und

z = −0, 5 m

. . . 64 5.6. Ges hwindigkeitsverlauf derx-Komponente desReferenzmodellsim Verglei h zur

Theorie anderStelle

x = 0, 05 m

und

z = −0, 5 m

. . . 65 5.7. Darstellung derAmplitudenverläufe beiden Modellen T1an derStelle

x = 2 m

. 66 5.8. Detailansi ht derDarstellungderAmplitudenverläufebeidenModellenT1ander

Stellebei

x = 2 m

. . . 67 5.9. Darstellung derAmplitudenverläufe beiden Modellen T2an derStelle

x = 2 m

. 68 5.10.WellenausprägungimNWKdesModellsT2mitGes hwindigkeitseinlassbeieiner

Simulationszeit von

t = 4 s

. . . 69 5.11.Detailansi ht derDarstellungderAmplitudenverläufebeidenModellenT2ander

Stelle

x = 2 m

. . . 69 5.12.Wellenausprägung im NWK des Modell T2 mit rotatoris hem Antrieb bei einer

Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 70 5.13.Darstellung derAmplitudenverläufe beiden Modellen T3an derStelle

x = 2 m

. 71 5.14.Detailansi ht derDarstellungderAmplitudenverläufebeidenModellenT3ander

Stelle

x = 2 m

. . . 71 5.15.WellenausprägungimNWKdesModellsT3mitGes hwindigkeitseinlassbeieiner

5.16.Wellenausprägung im NWK desModellsT3 mit rotatoris hem Antrieb bei einer Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 72 5.17.Darstellung derAmplitudenverläufe beiden Modellen T4an derStelle

x = 2 m

. 73 5.18.Detailansi ht derDarstellungderAmplitudenverläufebeidenModellenT4ander

Stelle

x = 2 m

. . . 74 5.19.WellenausprägungimNWKdesModellsT4mitGes hwindigkeitseinlassbeieiner

Simulationszeit von

t = 18 s

. . . 74 5.20.Wellenausprägung im NWK desModellsT4 mit rotatoris hem Antrieb bei einer

Simulationszeit von

t = 18 s

. . . 75 5.21.Darstellung desAmplitudenverlaufesdesModellsZ2 anderStelle

x = 1, 85 m

. . 76 5.22.Bewegung desZylindersbeidemModellZ2 . . . 77 5.23.DarstellungdesAmplitudenverlaufesdesModellsZ3anderStelle

x = 1, 85 m

und

Darstellung derBewegung desZylinders . . . 77 E.1. Darstellung desNetzesdesModellsStrand-M1 . . . 87 E.2. WellenausprägungimNWKdesModellsStrand-M1beieiner Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 87 E.3. Darstellung desNetzesdesModellsStrand-M2 . . . 87 E.4. WellenausprägungimNWKdesModellsStrand-M2beieiner Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 87

F.1. Wellenausprägung imNWKdesReferenzmodellsmit Ges hwindigkeitseinlass bei einer Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 88 F.2. Wellenausprägung im NWK des Referenzmodells mit rotatoris hem Antrieb bei

einer Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 88 G.1. Darstellung desGes hwindigkeitsverlaufes na h derWellenerzeugertheorie an der

Stelle

x = 0, 05 m

und

z = −0, 5 m

. . . 89 G.2. Darstellung desGes hwindigkeitsverlaufes na h derWellenerzeugertheorie an der

Stelle

x = 0, 1 m

und

z = −0, 5 m

. . . 90 G.3. Darstellung desGes hwindigkeitsverlaufes na h derWellenerzeugertheorie an der

Stelle

x = 0, 5 m

und

z = −0, 5 m

. . . 90 H.1. WellenausprägungimNWKdesModellsT1mitGes hwindigkeitseinlassbeieiner

Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 91 H.2. Wellenausprägung im NWK desModellsT1 mit rotatoris hem Antrieb bei einer

Simulationszeit von

t = 20 s

. . . 91 I.1. DarstellungderGes hwindigkeitsverläufe derx-Komponentebeiden ModellenT4

an derStelle

x = 2m

und

z = −0, 5 m

. . . 92 I.2. DarstellungderGes hwindigkeitsverläufe dery-KomponentebeidenModellenT4

an derStelle

x = 2m

und

z = −0, 5 m

. . . 93 J.1. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 0 s

94 J.2. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 1 s

95 J.3. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 2 s

95 J.4. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 3 s

96 J.5. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 4 s

96 J.6. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 5 s

97 J.7. Wellenausprägung imNWKdes ModellsZ2 beieiner Simulationszeit von

t = 6 s

97

Tabellenverzei hnis

1.1. Weltweites Wasserkraftpotenzial [13℄ . . . 1

4.1. Wellenparameter desGrundmodells . . . 40

4.2. Kongurationen derDämpfungsparameterfür ModellM1 . . . 44

4.3. Kongurationen derDämpfungsparameterfür ModellM2 . . . 47

4.4. Kongurationen derWellenparameter fürdie Modell T1bis T4 . . . 57

4.5. Wellenparameter derModelle mit bewegtem Zylinder . . . 59

5.1. Wellenparameter desReferenzmodells . . . 61

5.2. Wellenparameter desModells T1 . . . 65

5.3. Wellenparameter desModells T2 . . . 68

5.4. Wellenparameter desModells T3 . . . 70

5.5. Wellenparameter desModells T4 . . . 73

A.1. Modellübersi ht Ges hwindigkeitseinlass . . . 81

A.2. Modellübersi ht Dynamis hes Netz . . . 81

A.3. Modellübersi ht Wellenstudie . . . 82

1. Einleitung

1.1. Gesamtkontext

Eine groÿe Herausforderung für dienä hsten Jahrzehnte ist dieUmstellung auf eine Energieer-zeugung aus erneuerbaren Energiequellen, die einen Groÿteil des weltweiten Strombedarfs ab-de kt. Die Wasserkraft spieltdabeieine erhebli he Rolle, das honheute derAnteil desausder Wasserkraft erzeugten Stroms

16 %

des global erzeugten Stroms beträgt [13℄. S hon vor Jahr-hundertenwurdedieWasserkraftzurErzeugungvonme hanis herEnergiedur hWassermühlen genutzt. In Deuts hlandist dieNutzungderWasserkraftfast vollständigers hlossen und liefert

3, 4 %

(Stand 2007) des gesamten erzeugten Stroms [13℄. Weltweit ergibt si h jedo h ein no h erhebli hesungenutztes Wasserkraftpotenzial,wie Tabelle 1.1verdeutli ht. Dasderzeitweltweit genutzte Wasserkraftpotenzial mit

3.045 TWh

pro Jahr beträgt nur ungefähr

20 %

desweltweit te hnis h nutzbaren Wasserkraftpotenzials. Verwendet werden hauptsä hli h Laufwasserkraft-werke,Spei herkraftwerke undPumpspei herkraftwerke.

Kontinente theoretis h nutzbares Wasserkraftpotenzial [

TWh/a

℄ te hnis h nutzbares Wasserkraftpotenzial [

TWh/a

℄ derzeitgenutztes Wasserkraftpotenzial [

TWh/a

℄ Afrika 2.590 1.303 94 Asien 19.702 7.655 1.108 Europa 2.901 1.121 531 Nordamerika 7.575 1.763 664 Südamerika 5.696 2.615 608 Ozeanien 633 196 40 Welt 39.097 14.653 3.045

Tabelle 1.1.:Weltweites Wasserkraftpotenzial [13℄

Neben diesentraditionellenWasserkraftwerken gewinnt einebisheutefastungenutzteFormder Wasserkraftimmermehran Bedeutung -dieNutzungvonMeeresenergie. DieWeltmeere bieten einuners höpi hesReservoiranEnergie,diesi hinFormvonkinetis herEnergiederWellenund Meeresströmungen,sowieinpotenziellerEnergieausdemTidenhubzeigt.DesWeiterenkannder Gradient der Salzkonzentration und derTemperaturgradient als Energiequelle genutzt werden. Ein groÿes nutzbares Potenzial wird den Wellenkraftwerken zuges hrieben [3℄. Wellen können beimAuftreenaufeineSteilküstedur hs hnittli hzwis hen

15

und

30 kW

freisetzen[26℄.Wellen aufhoherSeekönnenangeeignetenStellensogarbiszu

100 kW

promWellenkammbeinhalten.In Abbildung1.1istdieweltweite undeuropäis heVerteilungderWellenenergiepromWellenkamm dargestellt. JederBerei hmiteinemjährli henDur hs hnittvonüber

15 kW

promWellenkamm hat dasPotenzialzur Nutzungvon Wellenenergie [21℄.

Abbildung 1.1.:Dur hs hnittli he jährli he Wellenenergie in

kW/m

der Wellenfront [21℄

Na h demWorldEnergy Coun il[26℄ liegtdasglobale PotenzialderWellenenergieinder Tief-see bei

8.000 − 80.000 TWh

, wobei der te hnis h und wirts haftli h nutzbare Teil weltweit auf

2.000 TWh

proJahrges hätztwird.AnDeuts hlandsKüstenrei htdievorhandene Wellenener-gie ni ht aus, umrentable Wellenkraftwerke zu installieren. Andere Länderin Europa dagegen, wie zum Beispiel England, Frankrei h, Norwegen oder Portugal, haben ein enormes Potenzial, wie die Europakarte in Abbildung 1.1 zeigt. Diese Länder könnten mit Wellenkraftwerken bis zu

20 %

ihres Strombedarfes de ken [21℄.Für die Nutzung diesesEnergiepotenzials gibt es ver-s hiedene detaillierte, teilweise Jahrzehnte alte, Konzepte, die allerdings no h keine Marktreife errei ht haben. Die Nutzung von Meeresenergie bendet si h heute ungefähr auf dem selben Stand wieWindkraftanlagenvor 30Jahren.Diesberuhtaufvers hiedenenUrsa hen.Zum einen müssen die Anlagen,nebenden normalen Betriebszuständen, au h Extremzustände wie Sturm-uten und Extremwellen aushalten. Diesekönnen,gegenüber den normalen Betriebszuständen, teilweise das hundertfa he an Energie enthalten. Zum anderen bringt der Standort auf oener See an si h s honerhebli he Problememit si h.Die s hwierigeinfrastrukturelle Anbindungund derdirekte Kontakt mit Salzwassersorgen fürerhöhte konstruktiveAnforderungen [14℄.Zudem muss die Variabilität der Wellen und Strömungen in der Konstruktion berü ksi htigt werden. TrotzdieserS hwierigkeiten ste kteinenormesPotenzial inMeereskraftanlagen, sodassdie Er-fors hung und Entwi klung sol her Anlagen voran getrieben wird [14℄. Hierbei spielen au h die in derOshore-Windkraft gema hten Erfahrungen und die Weiterentwi klung von Werkstoen und Turbinen eine erhebli he Rolle. Im Juli 2011 wurde das erste kommerzielle W ellenkraft-werk in Mutriku, Spanien an das Stromnetz anges hlossen. In dem Wellenkraftwerk sind 16 Wellsturbinen-Einheiten der Firma Voith Hydro verbaut, die eine Gesamtleistung von

300 kW

liefern[25℄.Diesistzwar no heinkleinesKraftwerk,zeigt aberdenWegindieri htigeRi htung zur Nutzung der Meeresenergie. Die Erzeugung des gesamten Strombedarfs aus erneuerbaren Energiequellen wirdnur auseinem Mixallervorhandenen Te hnologien ma hbar sein,die Mee-reskraftanlagen werden hierbei einewesentli he Rolle spielen.

1.2. Zielsetzung

UmdieRentabilität vonMeereskraftwerken zuprüfen, sindneben denPrototypen aufSee, eine Vielzahl von Versu hen in Versu hskanälen und numeris he Simulationen dieser Anlagen not-wendig. An der HAW-Hamburg ist zum Zwe ke der Erfors hung dieser Kraftwerkstypen ein Wellenkanal mit den Abmaÿen

1 m × 1, 5 m × 10 m

(B x H x L) installiert. An diesem soll in denfolgendenJahrendieKonzeptentwi klungzurEnergieumwandlunguntersu htwerden.Neben denVersu henimWellenkanalspieltau hdieSimulationvonWelleninsogenanntennumeris hen Wellenkanälen(NWK) einegroÿeRolle. IndieserArbeitwirddiesi hdur h einen Wellenerzeu-ger ergebende Wellendynamik mittels numeris her Strömungssimulation (engl. Computational FluidDynami s- CFD)untersu ht. DieWellenströmung wirdals zweidimensionaleinstationäre Zweiphasenströmungmodelliert.Diesges hiehtunterVerwendungeinesMehrphasenmodellsmit freierOberä he,diedur hdassogenannteVolumenanteilsmodell(engl.VolumeOfFluid-VOF) dargestellt wird. Aufbauendauf einem Masterprojekt [20℄ werden unters hiedli he Modellkon-gurationenvorgenommen, umdiein[20℄ aufgezeigtenS hwierigkeiten zuüberwinden. Insbeson-derewirdderEinussderDämpfungaufdenAmplitudenverlaufdererzeugtenWellen,sowie die Auswirkungendervers hiedenenVerfahrenzurDarstellungderfreienOberä heuntersu ht.Des Weiterenwerdenzweiunters hiedli heBetriebsartendesWellenerzeugers,dasKolbenpaddelund das Klappenpaddel, in dasModell implementiert. Der Amplitudenverlauf der erzeugten Wellen wird mit dem theoretis hen Verlauf na h den Wellentheorien vergli hen. Anhand vers hiedener Wellenkongurationen werden die unters hiedli hen Modelle untersu ht und auf ihre Eignung, dieTheoriemögli hstgenauabzubilden,geprüft.GrundlagedererstelltenModelleistdielineare Wellentheorie der Wellenerzeuger na h [7℄. Die Modelle werden mit der ni htlinearen Wellen-theorie na hStokes2. Ordnung validiert. Ans hlieÿendwird ein, si h dur h dieWellendynamik bewegender,Körperin dasModellimplementiert. DieWirkung derWellen aufden Körperwird untersu ht.DieerzeugtenModelleunddiegewonnenenErkenntnissesolleninspäterenProjekten beiderSimulation von Wellenkraftwerken Verwendung nden.

2. Stand der Te hnik

Die NutzungvonMeeresenergie zurStromerzeugung bendetsi h no h imAnfangsstadium der Entwi klung. Dies liegt vor allem an den ers hwerten Entwi klungsrandbedingungen. T e hno-logis he Randbedingungen, wie das Aushalten von Stürmen, die das 100-fa he der sonst übli- henWellenenergieenthalten,dieAnlagengröÿe, dieStromanbindungunddasnatürli heUmfeld mit salzigem Meerwasser und salziger Luft, sorgen für S hwierigkeiten. Aber au h kommerziel-le Randbedingungen wie geringe Förderungen und s hwierige Genehmigungsverfahren führten lange zu keinem Dur hbru h im Berei h der Meereskraftwerke. Mit der Erfahrung aus dem Oshore-Windberei h, erhebli hen Fors hungsmitteln und neuen Fors hungszentren, vor allem inEnglandund Dänemark,s heintheutediekommerzielleNutzungvonMeeresenergiein Rei h-weite zusein [14℄. Dieszeigt au hdie weltweit erste Anbindungeines Wellenkraftwerkesan das kommerzielle Stromnetz in Spanien im Juli 2011. Bis dieser Kraftwerkstyp Marktreife erlangt hat wird es no h einige Zeit dauern. Es gibt jedo h s hon jetzt eine Vielzahl von Prototypen deren BetriebzurZeit erfors ht wird.

2.1. Meereskraftwerke

Die Ozeane, die Meere und die Flüsse beinhalten eine Vielzahl von Energieformen die zur Er-zeugungvonStromverwendetwerdenkönnen.DiemeisteBea htungwirddabeidenWellenund Gezeitensowie derNutzungdesGradientenderSalzkonzentrationzugeordnet[27℄.DesWeiteren können au hpermanente Strömungen, ozeanis he Geothermie,dieNutzungdes Temperaturgra-dienten oder maritime Biomasse zur Energiegewinnung genutzt werden. Im Folgenden werden kurz diebekanntesten Kraftwerkstypen bes hrieben.

2.1.1. Wellenspei herkraftwerke

Bei Wellenspei herkraftwerken werden dieWassermassenmittels konstruktiven Maÿnahmenauf einehöhereEbenezurNutzungderpotenziellenEnergiegebra ht.DieEnergiegewinnung erfolgt überdasAblaufen des Wassers dur h Niederdru kturbinen. Als Realisierung dieser Energieum-wandlunggibt es an derKüste installierte Sammelbe ken, wie den 1986 in Norwegen gebauten Prototyp TAPCHAN. Ein weitere Realisierung sind s hwimmende Sammelbe ken. Diese Bau-weise wurde in dem Prototyp WaveDragonverwendet. Der s hwimmenden Ausführung wird ein gröÿeres Potenzial zuges hrieben, da eine Nutzung groÿer Teile von Küsten, wie sie für die fest installierten Sammelbe ken notwendig sind, unökonomis h wäre. Die Einfa hheit der Idee und der gute Wirkungsgrad der einsetzbaren Turbinen lassen eine kommerzielle Nutzung der Energiewandlungna h dieserMethode mögli h ers heinen[14℄.

2.1.2. OWC-Kraftwerke

OWC-Wellenkraftwerke (engl. Os illating Water Column - OWC) nutzen das Prinzip einer os-zillierenden Wassersäule. In einer Kammer wird aufgrund der vertikalen Bewegung dur h die Wellen eine Strömung der Luft erzeugt, die eine Turbine antreibt. Die Form des OWC

ermög-LuftströmungenmitkleinerKraft undgroÿerGes hwindigkeit.Ents heidenddabeiistdas gerin-ge spezis heGewi ht derLuft,daseinegroÿeBes hleunigungzulässt [14℄.DieProblematikbei diesen Kraftwerksarten ist der niedrige Wirkungsgrad der Wellsturbinen und die Unstetigkeit der Energieabgabe. Wie bei den Wellenspei herkraftwerken wird zwis hen s hwimmender und fest installierter Ausführung unters hieden. Dieses Konzept wird au h in dem Wellenkraftwerk Limpet auf Islay, S hottland verwendet. Dieser erste netzangebundene Prototyp wird seit dem Jahr2000getestet.Au hdaserste kommerzielleWellenkraftwerk inMutriku,Spaniennutzt die-ses Prinzip derUmwandlung vonWellenenergie [14℄.In Zukunftsollenverglei hbareAnlagen in Wellenbre hernund Hafenmauern integriert werden [25℄. InAbbildung 2.1 ist ders hematis he Aufbau eines OWC-Meereskraftwerkes dargestellt.

Abbildung 2.1.:S hematis he Darstellungeines OWC-Meereskraftwerkes[14℄

2.1.3. Wellenenergiewandler

Eine weitere Form der Meereskraftwerke ist die direkte Nutzung der Wellenbewegung dur h Wellenenergiewandler.DieserKraftwerkstypwirdingetau hteunds hwimmendeW ellenenergie-wandler unters hieden. Bei demgetau hten Wellenenergiewandler bewirkt die Wellenbewegung eine dynamis he Auftriebsänderung, die eine auf und ab-Bewegung des Körpers erzeugt. Mit Hilfe eines Lineargenerators wird dieelektris he Energie erzeugt. Ein Prototyp dieserMethode ist der Ar himedes Waveswing (AWS). DerVorteil dieser Konstruktion liegtdarin, dass s häd-li he Umwelteinüsse an der Wasseroberä he vermieden werden. Dieser Vorteil birgt jedo h glei hzeitigdenNa hteil,dassintiefemWasserdieWellenenergiegeringerist.Ders hwimmende Wellenenergiewandler kann anhand des Prototypen Pelamis erläutert werden. Pelamis besteht aus bewegli h gekoppelten Segmenten, diedur h normalen Wellengang ineine horizontale Aus-wei hbewegung versetztwerden. Hydraulikaggregate wandelndieBewegung inelektris he Ener-gie um. Das System hat den Vorteil, dass es die Energie von kleinen Wellen optimal umsetzen

gen ni ht umgesetzt werdenkönnen.Diesma ht dasSystemvielverspre hend undführtzueiner Vielzahl weiterer Prototypen die auf diesem Prinzip basieren. Als Na hteil werden die hohen InvestitionskostenimVerglei hzurerzeugtenEnergiegenannt [14℄.ZurZeittestetdieFirma Pe-lamis Wave Powerfür E.ON undS ottish PowerRenewables diezweiteGeneration derPelamis P2[21℄.Abbildung 2.2zeigtdenPelamisP2imMeerundAbbildung 2.3denAufbauimInneren.

Abbildung 2.2.:FotodesPelamis P2im Meer[21℄

Abbildung 2.3.:Darstellung desInnereneines Pelamis P2[21℄

2.1.4. Gezeitenkraftwerke

Gezeitenkraftwerke nutzenden dur h dieGezeiten erzeugteTidenhub zurErzeugung von Ener-gie. Daszu Grunde liegende Prinzip ist das selbe wie bei Wellenspei herkraftwerken mit einem Sammelbe kenunddemAblaufendesWassersdur hNiederdru kturbinen. DiebegrenzteAnzahl an Bu hten mit dem erforderli hen Tidenhub und ökologis he Aspekte führen zu einer starken Begrenzungdermögli henStandorteundsomitzueinemgeringenAnteilanderStromerzeugung. Das weltweit gröÿte Gezeitenkraftwerk wurde 2011inSüdkoreamit einer Leistungvon

254 MW

gebaut und löste damit dasbis dahin gröÿte und erste Gezeitenkraftwerk Ran e inFrankrei h ab.Dieses Kraftwerk wurde 1966 erönetundhat eine Leistungvon

240 MW

[13℄.

2.1.5. Meeresströmungskraftwerke

Tiden-Windenergieanlagen. AlsVorteilsind dierelativkonstantenStrömungsbedingungen und die ge-ringereWetterabhängigkeitzunennen.ZudemreduziertdasvollständigeEintau hen unter Was-ser die s hädli hen Umwelteinüsse vergli hen mit Meereskraftwerken an der Wasseroberä he. Meeresströmungskraftwerke benötigen im Verglei h zu Windkraftanlagen eine geringere Strö-mungsges hwindigkeit für einen rentablen Betrieb. Dies resultiert aus der höheren Di hte des Wassers.Als Na hteil sind vor allem die momentane Unwirts haftli hkeit der Anlagen und die no hni ht untersu hten AuswirkungenaufdieUmweltzu nennen.DieseAnlagentypenbenden si h ebenfalls no h inderEntwi klung. InStrangford, Nordirlandwurde 2008 daskommerzielle Meeresströmungskraftwerk SeaGeninstalliert, wel hesmit zweiAxialturbineneine Leistungvon

1, 2 MW

erzeugt [23℄.Abbildung 2.4 zeigt einModell mehrerer Meeresströmungskraftwerke.

Abbildung 2.4.:Modellmehrerer Meeresströmungskraftwerke [3℄

2.2. Wellenkanal

Für die Entwi klung von Prototypen sind eine Vielzahl von Simulationen und Versu hen not-wendig.ZurUntersu hungdesStrömungsverhaltens undvers hiedener Kraftwerkskonzepte wer-den Versu hsreihen in Wellenkanälen dur hgeführt. Im Prinzip kann jede Störung der freien Wasseroberä he zur Erzeugung von Wellen genutzt werden. Für te hnis he Untersu hungen ist jedo h eine denierte Wellenerzeugung notwendig, um Reproduzierbarkeit zu gewährleisten und vers hiedeneWellenparameter untersu hen zukönnen. ZurErzeugung von Wellen ineinem re hte kigen Be ken ist eine entspre hende Apparatur notwendig. Eineeinfa he Theorie zu Er-zeugung von Wellen in Wellenkanälen entwi kelte 1960 Galvin [7℄. Diese Theorie besagt, dass die Wasserverdrängung dur h den Wellenerzeuger dem Volumen desWellenkammes entspri ht.

Abbildung 2.5.:Wellenerzeugertheoriena h Galvin[7℄

Daraus resultierenim Wesentli hen zweiArtenvonWellenantrieben:dasKolbenpaddel unddas Klappenpaddel.DasKolbenpaddelwirdineinemWellenkanaldur heinere hte kigePlatte über diegesamteWassertiefe

h

realisiert.DerPlattewirdmitHilfeeinesAntriebeseinetranslatoris he Bewegung miteinem Hub

S

auferzwungen. DasVolumendesWellenkammsergibt si hbeidieser Antriebsart zu:

Sh =

Z

L

₂

0

H

2

sin (kx) dx =

H

k

.

(2.1)

Dadur hergibt si h dasVerhältnis zwis hen Wellenhöhe

H

und Hub

S

zu:

 H

S



translatorisch

= kh.

(2.2)

Aufgrundderellipsenförmigen Orbitalbahnenunddertranslatoris henBewegung inBodennähe eignet si hdieseAntriebsartzurErzeugungvonFla hwasserwellen[7℄.DasKlappenpaddelwird, wiedasKolbenpaddel,dur heinre hte kige Platterealisiert.Dieseistjedo hgelenkigamBoden befestigtundführteinerotatoris heBewegungaus.Dadur hkannbeiglei hemHubnurdashalbe Volumen bewegtwerden. Das Verhältnis vonWellenhöhezu Hub ergibt si h somitzu:

 H

S



rotatorisch

=

kh

2

(2.3)

Bei dieser Antriebsart nehmen die Radien der Partikelbahnen mit sinkender Wassertiefe ab. Dieses Modelleignet si hsomit zuErzeugung von Tiefwasserwellen [7℄.

DiesebeidenWellenerzeugersinddiegängigstenAntriebsartendieinWellenkanälenVerwendung nden. Darüber hinaus gibt esno h eine Vielzahl von Antriebsarten, diebestimmten Problem-stellungen angepasst sind.

2.3. Numeris he Strömungssimulation

Neben der Dur hführung von Versu hen hat heute die numeris he Strömungssimulation (engl. Computational FluidDynami s-CFD)einewi htigeRolleinderUntersu hung von Strömungs-problemen eingenommen. Dur h die rasante Entwi klung der Computerte hnologie ist es heute

vor 20 Jahren gerade mögli h war, einige zweidimensionale Probleme numeris h lösen zu las-sen, ist esheutemögli h komplexe dreidimensionale Strömungsprobleme zu simulieren[17℄.Die numeris he Strömungsbere hnung lässt si h in5Elemente gliedern:

•

Geometrieerzeugung

 Idealisierung desStrömungsvorgangs  Erzeugung desRe hengebietes

•

Netzgenerierung

 Diskretisierung (Aufteilung desGebietesineinzelneZellen)  Netzaufbau orientiertsi hamzu erwartendemStrömungsfeld

•

Pre-Pro essing

 Strömungsart (Stationär, Instationär)  Materialeigens haften undStowerte  Modellauswahl(Laminar, Turbulent, usw.)  Solvereinstellungen

 Rand-und Anfangsbedingungen

•

Solver

 Lösen derGlei hungssysteme

•

Post-Pro essing

 Auswertung derErgebnisse

 PrüfenderErgebnisse auf Plausibilität

 Validierung derErgebnisse mit Theorienund Versu hen

CFDbieteteine Menge anMögli hkeiten,insbesondere alsAlternativezu teurenund aufwendi-gen Versu hen. Ergebnisse müssen jedo h immer mit Theorien undVersu hen validiert werden. Die CFD hat einriesiges Potenzial an Anwendungsberei hen, vondem Mas hinenbau über den Flugzeugbau bishinzurMedizinte hnik [28℄.

3. Theoretis he Grundlagen

In diesem Kapitel werden die theoretis hen Grundlagen dieser Arbeit vermittelt. In dem ers-tenTeilwerden diezurHerleitung derWellentheorie notwendigen Grundglei hungen aufgestellt und die unters hiedli hen Wellentheorien bes hrieben. Die Herleitung derWellentheorien ist in Anlehnung an Dean und Dalrymple [7℄ entstanden. Im zweiten Teil werden die theoretis hen Grundlagen zurnumeris hen Strömungssimulation dargestellt.

3.1. Wellentheorie

In derNatur treteneine Vielzahl vonperiodis hen S hwingungen, allgemeinalsWellen bezei h-net, auf.Charakteristis h na hderAusbreitungsri htung und der S hwingungsebene lassensi h die Wellen in zwei groÿe Klassen unterteilen. Die Longitudinalwellen s hwingen parallel zur ihrer Ausbreitungsri htung. Das bekannteste Beispiel dieser Wellenart sind S hallwellen. Als Transversalwellen werdenWellenbezei hnet,diesenkre htzurAusbreitungsri htung s hwingen. Elektromagnetis he Wellen gehören zu dieser Klasse. Eine besondere Art von Wellen sind die sog. Oberä henwellen. Diese sind weder rein transversal no h rein longitudinal. Oberä hen-wellenentstehenanfreienOberä henzwis henzweiMedienoderPhasen.Wasserwellen gehören zu den Oberä henwellen an einer Grenzä he zwis hen Luft und Wasser. Diese lassen si h in S hwere- und Kapillarwellen unterteilen. Bei kleinen Wellenlängen bis

1 cm

bewirkt die Ober-ä henspannung die Rü kstellkraft und somit die Ausbreitungsges hwindigkeit. Diese Wellen werden als Kapillarwellen bezei hnet. Bei gröÿeren Wellenlängen gehendiese in S hwerewellen über.Wie derName s hon sagt, wirkt alsRü kstellkraftdie S hwerkraft. S hwerewellen entste-henimwesentli hen inoenenundtiefenOzeanen dur hWind.DieAusbreitungundBewegung wird dur h die S hwerkraft dominiert. Ein kinematis hes Modell das die glei hzeitige S hwin-gungsbewegung parallel und senkre ht zur Wellenausbreitungsri htung bes hreibt, wurde 1904 von Gersterentwi kelt und ist die Grundlage für alle Wellentheorien [4℄.Dieses Modell basiert auf der Annahme, dass si h die Wasserpartikel auf Kreisbahnen bewegen, deren Radien der Wellenamplitudeentspre hen. Diese kinematis he Bewegung kann nur dur h eine forts hreiten-de tro hoide

1

Wellenform bes hrieben werden. In Abbildung 3.1 ist eine tro hoide Wellenform aufgezeigt.

Abbildung 3.1.: Ausbreitung einer tro hoiden Wellenform mit Kennzei hnung der W ellenpara-meter[4℄

1

Sonder-Diese Wellen sind im Allgemeinen dadur h gekennzei hnet, dass derWellenbergzugespitzt und kürzerals dasabgea hteWellental ist.DaderRuhewasserspiegelbeiWellenfolgen dadur h de-niert wird, dass die Quers hnittsä he unter dem Wellenberg glei h derQuers hnittsä he in demWellentalist,mussbeidertro hoidenWellenformdieRuhewasserlinieum

δ

unterdem Orbi-talkreismittelpunkt vers hobenwerden. Diewi htigstenParameterzurBes hreibung vonWellen sind dieWellenlänge

L

bzw. diePeriodendauer

T

,dieWellenhöhe

H

bzw. dieWellenamplitude

A =

H

2

unddie Wassertiefe

h

.

Natürli h vorkommendeTiefwasserwellen werden dur h diese Wellenform sehr gut bes hrieben. Bei kleiner Wellensteilheit, also dem Verhältnis von Wellenhöhe zurWellenlänge, kann die tro- hoide Wellenform dur h die Kosinusfunktion angenähert werden. Diese Tatsa he wird in der linearen Wellentheorieverwendet.

3.1.1. Grundglei hungen

DiemeistenFeld-undTransportproblemewerdendur hpartielleDierenzialglei hungen 2. Ord-nung bes hrieben.Allgemein dargestelltdur h dieTransportglei hung:

∂ (ρφ)

∂t

+ ∇ (ρφu) = ∇ (Γ∇φ) + S

φ

.

(3.1)

Die Glei hung (3.1) bes hreibt den Transport einer physikalis hen Gröÿe

φ

in einem mit der Ges hwindigkeit

u

strömenden Medium der Di hte

ρ

. Die Glei hung besteht, von links na h re hts, aus einem instationärem Term, einem Konvektionsterm, der den Transport dur h die Strömung bes hreibt,einem Diusionsterm,derdenTransportentgegenderStrömungsri htung darstelltundeinemQuellterm.DiefolgendenGrundglei hungenderStrömungsme hanikwerden dur h diesen Typ bes hrieben und basieren auf den physikalis hen Erhaltungsprinzipien der Massenerhaltung, derzeitli hen Impulserhaltung undderEnergieerhaltung.

3.1.1.1. Kontinuitätsglei hung

Die Kontinuitätsglei hung ergibt si hdur h dieBilanzierung desMassenstromesüberein inni-tesimalkleinesKontrollvolumen zu:

∂ρ

∂t

+

∂ρu

∂x

+

∂ρv

∂y

+

∂ρw

∂z

= 0.

(3.2)

In Vektors hreibweise kanndie Glei hung (3.2) wie folgtanges hrieben werden:

∂ρ

∂t

+ ∇ · (ρu) = 0.

(3.3)

Für denSonderfall desinkompressiblen Fluidesgilt:

∂u

∂x

+

∂v

∂t

+

∂w

∂z

= 0

bzw.

∇

u

= 0.

(3.4) 3.1.1.2. Impulserhaltung

Na hdem2.Newtons henAxiomentspri htdiezeitli heÄnderungdesImpulsesderSummeder angreifendenKräfte.ImStrömungsfeldergibtsi hdiezeitli heImpulsänderungausderDierenz der amKontrollvolumen ein- und austretenden Impulsströme und derangreifenden Kräfte, der Volumenkräfte undderOberä henkräfte. Daraus ergeben si hdie Bewegungsglei hungen na h Cau hy fürein Kontinuum [28℄ inkonservativerForm zu:

∂ (ρu)

In ni ht konservativerFormfolgt Glei hung (3.5) zu:

ρ

 ∂u

∂t

+ (u · ∇) u



= ρg + ∇ · T .

(3.6)

Mit demAnsatz vonStokesfür Newtons he Fluide:

T

= − (p − Λ (∇ · u)) I + 2ηξ

(3.7)

folgt ausGlei hung (3.5) dieNavier-Stokes-Glei hung inVektorform:

∂ (ρu)

∂t

+ ∇ · (ρuu) = ρg − ∇ (p − Λ (∇ · u)) I + ∇2ηξ.

(3.8)

UnterderAnnahme von konstanter Viskosität vereinfa ht si hdie Glei hung (3.8) zu:

∂ (ρu)

∂t

+ ∇ · (ρuu) = ρg − ∇ (p − Λ (∇ · u)) + η∇

2

_u.

(3.9)

Für inkompressible Newtons he Fluidefolgt dannausGlei hung (3.9) :

ρ

∂u

∂t

+ (u · ∇) u = ρg − ∇p + η∇

2

_u.

(3.10)

Unter Verna hlässigung der inneren Reibung mit

η = 0

ergibt si h die Euler-Glei hung in V ek-tors hreibweise als SonderfallderNavier-Stokes-Glei hung mit:

ρ

∂u

∂t

+ (u · ∇) u = ρg − ∇p.

(3.11)

Im FolgendenwirddieAnnahmevonreibungsfreienStrömungen beibehalten undsomitdie Eul-erglei hung 3.11 verwendet.

3.1.1.3. Potenzialtheorie

Na h dem 1. Wirbelsatz von Helmholtz bleibt die Drehung entlang einer Stromlinie bei rei-bungsfreien Strömungen konstant. Ein drehungsfreies Strömungsfeld bleibt somit drehungsfrei. Die Drehung bzw. die Vortizität

ψ

ergibt si h dur h Anwendung des Kreuzproduktes von Na-blaoperator

∇

und dem Ges hwindigkeitsvektor

u

. Bei Rotationsfreiheit ergibt si h Glei hung (3.12) :

ψ = ∇ × u = 0.

(3.12)

DrehungsfreieStrömungenwerdenau halsPotenzialströmungenbezei hnet,daeinem Ges hwin-digkeitsfeld

u

indem dieRotation vers hwindet einPotenzial

Φ

zugeordnet werdenkann:

u =

∂Φ

∂x

,

v =

∂Φ

∂y

,

w =

∂Φ

∂z

bzw.

u

= ∇Φ.

(3.13)

Dur h das Einsetzen von Glei hung (3.13) in die Kontinuitätsglei hung (3.4) ergibt si h die Lapla e-Glei hung mit:

∂

2

_Φ

∂x

2

+

∂

2

_Φ

∂y

2

+

∂

2

_Φ

∂z

2

= 0

bzw.

∇

2

_{Φ = 0.}

(3.14)

3.1.1.4. Instationäre Bernoulli-Glei hung

Aus derin Kapitel 3.1.1.2 behandelten Euler-Glei hung (3.11) für eine allgemeine instationäre, reibungsfreieStrömungkanndieinstationäreBernoulli-Glei hunghergeleitetwerden.Unter Ver-wendung derfolgendenVektoridentität:

(u · ∇) u =

1

2

∇

|u|

2

_{− u × (∇ × u) ,}

(3.15)

sowie derDrehungsfreiheitna h Glei hung(3.12) undderZuordnung eines Ges hwindigkeitspo-tenzials na h Glei hung (3.13) ergibt si h:

∂∇Φ

∂t

+

1

2

∇

|∇Φ|

2

_{= −}

1

ρ

∇

p + g.

(3.16)

Na h demUmformen unddemEinführen desS hwerepotenzials mit

g

= −∇ (gz)

folgt daraus:

∇

 ∂Φ

∂t

+

1

2

|∇Φ|

2

₊

p

ρ

+ gz



= 0.

(3.17)

Die Integration entlangeines Stromfadens liefertdie spezielle instationäreBernoulli-Glei hung:

∂Φ

∂t

+

1

2

|∇Φ|

2

₊

p

ρ

+ gz = C (t) .

(3.18)

Die Bernoulli-Glei hung (3.18) gilt bei Potenzialströmungen imgesamten Strömungsgebiet mit derselben Bernoulli-Konstanten

C(t)

und gibt den Zusammenhang zwis hen Dru k und Ge-s hwindigkeitspotenzial wieder.

3.1.2. Lineare Wellentheorie

Die lineare Wellentheorie basiert auf der Annahme einer inkompressiblen, reibungs- und wir-belfreien Strömung und besitzt somit ein Ges hwindigkeitspotenzial. Die daraus resultierende Lapla e-Glei hung (3.14) wird mit Hilfe von entspre henden Randbedingungen gelöst. Abbil-dung 3.2aus[7℄ zeigt dieRandbedingungen fürdieWellentheorie.

Abbildung 3.2.:Zweidimensionale Wasserwellen als Randwertproblem [7℄

Kinematis he Randbedingung

An der unteren Begrenzung, dargestellt dur h den Boden des Bere hnungsgebietes, und an der oberen Begrenzung, der Wasseroberä he, müssen bestimmte physikalis he Randbedingungen

Randbedingungen bezei hnet. Es gibt keinen Dur huss dur h diese Begrenzungsä he. Jede beliebige Oberä he kann dur h den mathematis hen Ausdru k

F (x, y, z, t) = 0

bes hrieben werden. Wenn dieOberä he si h mit derZeit bewegt, dann muss dastotale Dierenzial na h derZeit null sein:

DF (x, y, z, t)

Dt

= 0 =

∂F

∂t

+ u

∂F

∂x

+ v

∂F

∂y

+ w

∂F

∂z









bei

F

(x,y,z,t)=0

.

(3.19) Umgestellt na h

∂F

∂t

unddur h dasErsetzen derAbleitungendur h den Nabla-Operator

∇

und demGes hwindigkeitsvektor

u

ergibt si h folgende verkürzteGlei hung:

−

∂F

∂t

= u · ∇F = u · n|∇F |.

(3.20)

Der Einheitsvektor

n

,normalzu derOberä he,wird hiermit

n

=

∇F

|∇F |

verwendet.

Umgestellt ergibt si hausGlei hung (3.20) dieallgemeinekinematis he Randbedingung zu:

u

· n =

−∂F

∂t

|∇F |











F

(x,y,z,t)=0

.

(3.21)

Hierbeiwirdfolgende Denition desBetrages verwendet:

|∇F | =

s

 ∂F

∂x



2

+

 ∂F

∂y



2

+

 ∂F

∂z



2

.

(3.22)

Diese Randbedingung gibt vor, dass die Ges hwindigkeitskomponenten des Fluides normal zur Oberä he mit der lokalen Ges hwindigkeit der Oberä he zusammenhängen. Wenn si h die Oberä he mit derZeit ni ht ändert, dann ist

u

· n = 0

.Daraus resultiert,dass die Ges hwin-digkeit normalzur Oberä he null ist. Im Folgenden wird diese allgemeine kinematis he Rand-bedingungauf dieBodenbegrenzungund auf diefreieOberä he angewendet.

Bodenrandbedingung

DieuntereGrenzedesBere hnungsgebietesbendetsi handerStelle

z = −h

mitderDenition desUrsprungs anderRuhewasserlinie undeiner Wassertiefe

h

.DieOberä he desBodenswird somit dur hfolgende Glei hung bes hrieben:

F (x, y) = z + h (x) = 0.

(3.23)

Für die Randbedingung an der unteren Grenze des Bere hnungsgebietes wird die Annahme getroen, dassdie Grenzeundur hlässig ist und si h ni ht bewegt. Dieser Zusammenhang wird mathematis h wie folgtdargestellt:

u

· n = 0.

(3.24)

Mitderobenbes hriebenDenitiondesEinheitsvektors

n

unddemEinsetzenderDenitionder Oberä he desBodensmit Glei hung (3.23) ergibt si h:

n

=

∇F

|∇F |

=

dh

dx

i

+ 1k

q

dh

dx

2

+ 1

.

(3.25)

Dur h das Anwenden des Vektorproduktes (3.24) und ans hlieÿendes Multiplizieren mit der Wurzelergibt si h:

u

dh

Umgestellt na h derGes hwindigkeitskomponente

w

undfür einen horizontalen Bodenmit

dh

dx

= 0

folgt darausdieBodenrandbedingung zu:

w = 0 |

_z=−h

.

(3.27)

DieBodenrandbedingungsagtaus,dassdieStrömungamBodentangentialzumBodenverläuft. Die Ges hwindigkeitskomponente

w

normal zum Boden muss an der Position des Bodens null sein.

Kinematis he Randbedingung an der freien Oberä he

Die freie Oberä he kanndur h folgende Funktionbes hrieben werden:

F (x, y, z, t) = z − η (x, y, t) = 0.

(3.28)

Wobei

η (x, y, t)

die Vers hiebung der freien Oberä he zu der horizontalen Flä he bei

z = 0

darstellt. Na hGlei hung (3.21)gilt für diekinematis he Randbedingung derfreienOberä he:

u

· n =

∂η

∂t

r



∂η

∂x



2

+



∂η

_∂y



2

+ 1

















z=η(x,y,t)

.

(3.29)

Das Einsetzendes Einheitsnormalenvektors und dasAusmultiplizieren desVektorproduktes lie-fert diekinematis he Randbedingung derfreien Oberä he zu:

w =

∂η

∂t

+ u

∂η

∂x

+ v

∂η

∂y









z=η(x,y,t)

.

(3.30)

Angewendet auf den zweidimensionalen Fall und dur h das Einsetzen des Ges hwindigkeitspo-tenzials

Φ

ergibt si h diekinematis he Randbedingung an derfreienOberä he zu:

−

∂Φ

∂z

=

∂η

∂t

−

∂Φ

∂x

∂η

∂x









z=η(x,t)

.

(3.31)

Dynamis he Randbedingung an derfreien Oberä he

Diedynamis heRandbedingungisterforderli h,umdieDru kverteilunganderfreienOberä he zubes hreiben.DerDru kmussentlangderfreienOberä hekonstantsein,sodassdiespezielle instationäre Bernoulli-Glei hung (3.18) aufdieOberä he angewendet werdenkann:

−

∂Φ

∂t

+

1

2

 ∂Φ

∂x



2

+

 ∂Φ

∂y



2

!

+

p

ρ

+ gz = C (t) .

(3.32)

DerDru kwirdzurVereinfa hungmit

p = 0

anderOberä he

z = η (x, t)

angenommen.Daraus ergibt si h diedynamis he Randbedingung anderfreien Oberä he zu:

−

∂Φ

∂t

+

1

2

 ∂Φ

∂x



2

+

 ∂Φ

∂y



2

!

+ gη = C (t)











z=η(x,t)

.

(3.33) Laterale Randbedingungen

Für periodis heWellen inRaumund Zeit ergeben si h dielateralen Randbedingungen als peri-odis heRandbedingungen mit:

Φ (x, t) = Φ (x, t + T ) .

(3.35)

Lösung derlinearen, partiellen Dierenzialglei hung

Im Folgenden wird die Lapla e-Glei hung mit den oben bes hriebenen Randbedingungen na h Glei hung (3.27) ,(3.31) ,(3.33) ,(3.34) und(3.35) gelöst.ZumLösenderlinearen,partiellen Dif-ferenzialglei hung wirdderSeparationsansatz angewendet. Hierbeikann dieLösungals Produkt von Einzellösungen, diejeweilsnur voneiner Variablenabhängen, dargestelltwerden:

Φ (x, z, t) = X (x) Z (z) Γ (t) .

(3.36)

Na h Glei hung (3.35) muss das Ges hwindigkeitspotenzial

Φ (x, z, t)

periodis h über die Zeit sein,sodass folgende Teillösung angenommenwerdenkann:

Γ (t) = sin (ωt) .

(3.37)

Um die Wellenfrequenz

ω

zu ermitteln, wird Glei hung (3.37) in die laterale Randbedingung na h Glei hung (3.35) eingesetzt und ergibt beiAnwendung desAdditionstheorems:

sin (ωt) = sin (ωt) cos (ωT ) + cos (ωt) sin (ωT ) .

(3.38)

Diese Glei hung isterfüllt für:

ωT = 2π

bzw.

ω =

2π

T

.

(3.39)

Als Lösungfür

Γ (t)

wäreau h

cos (ωt)

odereineKombination ausSinus und Kosinus mögli h. Das Ges hwindigkeitspotenzial lässtsi h nun wie folgtbes hreiben:

Φ (x, z, t) = X (x) Z (z) sin (ωt) .

(3.40)

Glei hung (3.40)eingesetzt indieLapla e-Glei hung (3.14)unddividiertdur h

Φ (x, z, t)

ergibt:

1

X

∂

2

_X

∂x

2

+

1

Z

∂

2

_Z

∂z

2

= 0.

(3.41)

Um diese Glei hung zu lösen, müssen die beiden Terme glei h derselben Konstante mit unter-s hiedli hemVorzei hen sein:

1

X (x)

d

2

X (x)

dx

2

= −k

2

_,

(3.42)

1

Z (z)

d

2

Z (z)

dx

2

= +k

2

_.

(3.43)

Daraus ergeben si h gewöhnli he Dierenzialglei hungen, die einzelngelöst werden können. Als Lösung derDGL
ssinddrei Fälle mögli h:

1.

k

real 2.

k = 0

3.

k

imaginär

Na h Glei hung (3.34) muss dasGes hwindigkeitspotenzial periodis h in x-Ri htung verlaufen. Dies ist nur für ein reales

k

mögli h. Somit folgt das Ges hwindigkeitspotenzial mit der allge-meinen Lösung zu:

Φ (x, z, t) = (A cos (kx) + B sin (kx))



Ce

kz

+ De

−kz



sin (ωt) .

(3.44)

Das Prüfenderlateralen Randbedingung (3.34) zeigt:

A cos (kx) + B sin (kx) = A cos (k (x + L)) + B sin (k (x + L)) .

(3.45)

Glei hung (3.45) isterfülltfür

kL = 2π

.Daraus ergibt si hdieDenition derWellenzahl

k

mit:

k =

2π

L

.

(3.46)

Na h dem Superpositionsprinzip kann das Ges hwindigkeitspotenzial ineinzelne Terme zerlegt werden. Für die weitere Bere hnung wird

Φ = A cos (kx) Ce

kz

_{+ De}

−kz

_{) sin (ωt)}

betra htet. Angewendet aufdieBodenrandbedingungna h Glei hung (3.27) ergibt si h:

C = De

2kh

.

(3.47)

Das EinsetzenindasGes hwindigkeitspotenzial liefert:

Φ (x, z, t) = G cos (kx) cosh (k (h + z)) sin (ωt)

(3.48)

mit

G = 2ADe

kh

.

(3.49)

Na h der dynamis hen Randbedingung aus Glei hung (3.33) muss die Bernoulli-Glei hung auf die freie Oberä he angewendet werden, deren Form und Lage allerdings unbekannt sind. Eine MethodezumLösenderGlei hungbei

z = η (x, t)

istdasErweiterndesWertesanderbekannten Stelle

z = 0

mit Hilfe derTaylorreihe. Für

p = 0

an derStelle

z = η

ergibt si hdann:



−

∂Φ

∂t

+

1

2

u

2

_{+ w}

2

_{+ gz}



z=η

=



−

∂Φ

∂t

+

1

2

u

2

_{+ w}

2

_{+ gz}



z=0

+ η



−

∂

2

_Φ

∂t∂z

+

1

2

∂

∂z

u

2

_{+ w}

2

_{+ g}



z=0

+ ...

= C (t) .

(3.50)

Na h dem Linearisieren der Glei hung mit der Annahme, dass bei kleinem Wellen

η << 1

ist und somitdie Ges hwindigkeiten

u, w << 1

sind, folgt:

−

∂Φ

∂t

+ gη









z=0

= C (t) .

(3.51)

Hieraus ergibt si h dielinearisierte dynamis he Randbedingung zu:

η =

1

g

∂Φ

∂t









z=0

+

C (t)

g

.

(3.52)

Dur hdasEinsetzendesGes hwindigkeitspotenzialsna hGlei hung(3.48)undmitderAnnahme

C (t) = 0

ergibt si hdiefreie Oberä he zu:

η =

 Gω cosh (kh)

g



Na hderphysikalis henBetra htung istdieOberä heperiodis himRaumundinderZeitund abhängig von derWellenamplitude:

η (x, t) =

H

2

cos (kx) sin (ωt) .

(3.54)

Na h demGlei hsetzen deranalytis hen Bes hreibung na h Glei hung (3.53) undder physikali-s henBes hreibung na hGlei hung (3.54) ergibt si h:

G =

Hg

2ω cosh (kh)

(3.55)

und lieferts hlieÿli hdasGes hwindigkeitspotenzial zu:

Φ (x, z, t) =

Hg cosh (k (h + z))

2ω cosh (kh)

cos (kx) sin (ωt) .

(3.56)

Das Ges hwindigkeitspotenzial hängt von den Wellenparametern

H

,

h

und

ω

bzw.

k

ab. Die kinematis he Randbedingungwirdnun genutzt, umden Zusammenhang zwis hen

ω

und

k

her-auszunden. Wie bei der dynamis hen Randbedingung wird die kinematis he Randbedingung mit Hilfe derTaylorreihe fürdieunbekanntePosition

z = η

umdiePosition

z = 0

entwi kelt:



w −

∂η

∂t

− u

∂η

∂x



z=η

=



w −

∂η

∂t

− u

∂η

∂x



z=0

+ η

∂

∂z



w −

∂η

∂t

− u

∂η

∂x



z=0

+ ...

= 0.

(3.57)

Bei Verna hlässigung derni htlinearen Terme folgt daraus:

−

∂Φ

∂z









z=0

=

∂η

∂t

.

(3.58)

Das Einsetzenvon

Φ

und

η

ergibt dieWellenfrequenz

ω

mit:

ω

2

= gk tanh (kh) .

(3.59)

Damit kanndieWellenausbreitungsges hwindigkeit bere hnet werdenzu:

C =

r g

k

tanh (kh) .

(3.60)

DasGes hwindigkeitspotenzialausGlei hung (3.56)unddiefreieOberä he,bes hriebendur h Glei hung (3.54) ,bes hreiben einestehende Welle. Eineweitere Lösungfür eine stehende Welle wäre:

Φ (x, z, t) =

Hg cosh (k (h + z))

2ω cosh (kh)

sin (kx) cos (ωt) .

(3.61)

Glei hung (3.61) ist eine

90

◦

phasenvers hobene Lösung gegenüber Glei hung (3.56) . Die freie Oberä he ergibt si h dann zu:

η (x, t) = −

H

2

sin (kx) sin (ωt) .

(3.62)

Da die Lapla eglei hung linear ist, können die vers hiedenen Lösungen der Ges hwindigkeits-potenziale voneinander subtrahiert werden, sodasssi h dasfolgendeGes hwindigkeitspotenzial ergibt:

Φ (x, z, t) = −

Hg cosh (k (h + z))

und einefreie Oberä he von:

η (x, t) =

H

2

cos (kx − ωt) .

(3.64)

Beim Prüfen der Glei hung (3.64) für die freie Oberä he zeigt si h, dass si h die Wellenform mit der Zeit bewegt. Die Glei hung bes hreibt somit eine forts hreitende Welle. Dies sind die Glei hungen zurBes hreibung vonWellen na hder linearenWellentheorie. Aus dem Ges hwin-digkeitspotenzial na h Glei hung (3.63) können dur h Dierenzieren die Ges hwindigkeitskom-ponentenermittelt werden:

u = −

∂Φ

∂x

=

Hgk

2ω

cosh (k (h + z))

cosh (kh)

cos (kx − ωt) ,

(3.65)

z = −

∂Φ

∂z

=

Hgk

2ω

sinh (k (h + z))

cosh (kh)

sin (kx − ωt) .

(3.66)

Mit einerweiteren Dierenzierung können diePartikelbahnen ermittelt werden.

3.1.3. Lineare Wellenerzeugertheorie

Die Theorie für von einem Wellengenerator erzeugte Wellen in einem Wellenkanal lässt si h direkt aus der linearen Wellentheorie ableiten. Weiterhin muss die Lapla e-Glei hung mit den Randbedingungen aus der linearen Wellentheorie gelöst werden. In diesem Fall ändert si h nur die laterale Randbedingung. An der Stelle

x = 0 m

muss eine kinematis he Randbedingung, erzeugtdur hdenWellenantrieb,aufdasBere hnungsgebietangewendetwerden.Diehorizontale Vers hiebungwird,mit

S (z)

alsHubdesWellenerzeugers,dur hfolgendeGlei hungbes hrieben:

x =

S (z)

2

sin (ωt) .

(3.67)

Die Oberä he desWellenerzeugers wirddur h folgendeFunktion dargestellt:

F (x, y, z) = x −

S (z)

2

sin (ωt) = 0.

(3.68)

Angewendet aufdieallgemeine kinematis he Randbedingung na hGlei hung (3.21) ergibt si h:

u −

w

2

dS (z)

dz

sin (ωt) =

S (z)

2

ω cos (ωt)









F

(x,z,t)=0

.

(3.69)

Bei kleinenHub

S (z)

und kleinenGes hwindigkeiten kann dieGlei hung dur h verna hlässigen des Terms

w

2

dS(z)

dz

sin (ωt)

linearisiert werden. Wie beider freien Oberä he ist es hilfrei h, die Randbedingungandersi hbewegendenGrenzeinTermeausder ruhendenPositionbei

x = 0 m

abzubilden. Diesges hieht wiedermit Hilfe derTaylorreihe.



u −

S (z)

2

ω cos (ωt)









x=

S(z)

₂

sin(ωt)

=



u −

S (z)

2

ω cos (ωt)









x=0

+

S (z)

2

sin (ωt)

∂

∂x



u −

S (z)

2

ω cos (ωt)









x=0

+ ... .

(3.70)

DielinearisiertelateraleRandbedingungergibtsi hdur hdieVerna hlässigungderni htlinearen Termezu:

u (0, z, t) =

S (z)

DasLösenderLapla eglei hung(3.14)mitHilfederSeparationvonVariablenliefertdasfolgende allgemeine Ges hwindigkeitspotenzial:

Φ (x, z, t) =A

p

cosh (k

p

(h + z)) sin (k

p

x − ωt)

+ (Ax + B) + Ce

−k

s

x

_{cos (k}

s

(h + z)) cos (ωt) .

(3.72)

Die IndizesanderVariablen

k

deklarieren dieTermefüreine forts hreitende(engl.progressive -p) und eine stehende (engl. standing - s) Welle.

A

mussnull sein,da dur h den Wellenerzeuger keineeinheitli heAnfangsströmungmögli hist.

B

kannebenfallszunullgesetztwerden,ohnedas Ges hwindigkeitsfeldzubeeinussen.DieseFunktionmussdiebeidenlinearisierten Oberä hen-randbedingungen na hGlei hung (3.51) und Glei hung (3.58) erfüllen.Die beiden Bedingungen können indie sog.kombinierte Oberä henrandbedingung zusammen gefasstwerdenzu:

−

∂Φ

∂z

=

1

g

∂

2

Φ

∂t

2

.

(3.73)

Umgeformt ergibt si h darausdie folgendeGlei hung:

∂Φ

∂z

−

ω

2

g

Φ = 0.

(3.74)

Das Einsetzen des Ges hwindigkeitspotenzials in die kombinierte Oberä henrandbedingung na h Glei hung (3.73) ergibt für dieforts hreitendenWellen:

ω

2

= k

p

g tanh (k

p

h)

(3.75)

und für diestehenden Wellen:

ω

2

= −k

s

g tanh (k

s

h) .

(3.76)

In andererFormkannGlei hung (3.76) wie folgtanges hrieben werden:

ω

2

h

gk

s

h

= − tanh (k

s

h) .

(3.77)

Diese Glei hung hat unendli h viele Lösungen mit

k

s

(n)

mit n als positive ganze Zahlen. Die Funktionkanngras hodernumeris hgelöstwerden. DasGes hwindigkeitspotenzialergibt si h somit zu:

Φ (x, z, t) =A

p

cosh (k

p

(h + z)) sin (k

p

x − ωt)

+

∞

X

n=1

C

n

e

−k

s

(n)x

cos (k

s

(n) (h + z)) cos (ωt) .

(3.78)

DerersteTeilbes hreibtdieforts hreitendenWellen,derzweiteTeildiestehendenWellen inder Nähe des Wellenerzeugers. Mit steigender Entfernung zum Wellenerzeuger verringert si h der Einuss des zweiten Anteils. Bei

2

bis

3

mal der Wassertiefe beträgt derEinuss nahezu null. In Abbildung 3.3 ist der Ges hwindigkeitsverlauf der x-Komponente an der Stelle

x = 0, 1 m

und

z = −0, 5 m

dargestellt. Der Einuss derstehenden Wellen, indiziert mit s, ist deutli h zu erkennen.Mit steigendem Abstand zumWellenerzeuger nähertsi hder Einuss gegennull.

Abbildung 3.3.: Einuss der stehenden Wellen auf den Ges hwindigkeitsverlauf der x-Komponente ander Stelle

x = 0, 1 m

und

z = −0, 5 m

Für einevollständigeLösungdesGes hwindigkeitspotenzials müssenno h

A

p

und

C

n

bestimmt werden.Dur hdasEinsetzendesGes hwindigkeitspotenzialsindielinearisiertenlateralen Rand-bedingungen na h Glei hung (3.71) ergibt si h:

S (z)

2

ω = −A

p

k

p

cosh (k

p

(h + z)) +

∞

X

n=1

C

n

k

s

(n) x cos (k

s

(n) (h + z)) .

(3.79)

Die Teilung inzwei Teile liefert ausGlei hung (3.79) :

A

p

=

−

R

0

−h

S(z)

2

ω cosh (k

p

(h + z)) dz

k

p

R

0

−h

cosh

2

_(k

p

(h + z)) dz

,

(3.80)

C

n

=

−

R

0

−h

S(z)

2

ω cos (k

s

(n) (h + z)) dz

k

s

(n)

R

0

−h

cos

2

(k

p

(h + z)) dz

.

(3.81)

Der Hub

S (z)

desWellenerzeugers ist deniertals:

S(z)=

(

S

bei translatoris her Bewegung,

S(1 +

_h

z

)

bei rotatoris her Bewegung

.

DasEinsetzendesGes hwindigkeitspotenzials indiedynamis he Randbedingung liefertdiefreie Oberä he.DieWellenhöhekanndur h dieBestimmung der Oberä he weitwegvondemW el-lenerzeuger bere hnetwerden:

η = −

A

p

ω

g

cosh (k

p

h) cos (k

p

x − ωt) =

H

Das Auösen na h

A

p

und dasGlei hsetzen mit Glei hung (3.80) liefert na h weiteren Umfor-mungss hrittendasVerhältnisvonWellenhöhe

H

zumHub

S

füreinetranslatoris heBewegung:

H

S

= 2

cosh (2k

p

h) − 1

sinh (2k

p

h) + 2k

p

h

(3.83)

und für einerotatoris he Bewegung:

H

S

= 4

 sinh (k

p

h)

k

p

h

 k

p

h sinh (k

p

h) − cosh (k

p

h) + 1

sinh (2k

p

h) + 2k

p

h

.

(3.84)

MitdenGlei hungen(3.83)und(3.84)kannderbenötigteHub

S

inAbhängigkeitderWellenhöhe

H

ermitteltwerden.

3.1.4. Wellentheorie na h Stokes

Die bisher bes hriebenen linearen Wellentheorien basieren auf der Annahme von sehr kleinen Wellenamplituden.MitdieserAnnahmeist esmögli h,dieni htlineare dynamis heund kinema-tis heRandbedingungzulinearisieren.BeigröÿerenAmplitudenmüssendieWellenmitHilfeder Wellentheoriena h Stokes 2.Ordnung oderhöherer Ordnung bere hnetwerden. Die zu lösende lineare Grunddierenzialglei hung, sowie dielinearen Randbedingungen werden weiterhin ange-wendet.Beiderni htlinearenWellentheoriena hStokeswirdangenommen,dassdieLösungvon

ǫ = ka

abhängt.DielineareLösunghängtni htvon

ǫ

ab,dieLösungna h2.Ordnungist abhän-gigvon

ǫ

,dieLösungna h3.Ordnung von

ǫ

2

usw.Dafürwerdenallegesu htenGröÿen,wiez.B. das Ges hwindigkeitspotenzial

Φ

und die Oberä he

η

in Potenzreihen in Abhängigkeit von

ǫ

zerlegt.WiebeiderlinearenWellentheoriewerdendieni htlineare dynamis heundkinematis he Randbedingung in Taylorreihen abgebildet, um die Werte an der freien Oberä he zu ermit-teln. Die Taylorreihen werden bei dieser Theorie jedo h eine Ordnung höher abgebro hen. Die Potenzreihen werden, mit Berü ksi htigung derTerme bis zur1.Ordnung von

ǫ

,inder Grund-glei hung,sowie indieRandbedingungen eingesetzt. Dadur h ergibt si h ausdemni htlinearen Randwertproblemeineunendli heGruppevonlinearenGlei hungen mitaufsteigenderOrdnung. Das ZusammenfassenallerTerme dieni ht von

ǫ

abhängen ergibt danndielineare Lösungbzw. dieLösungna h1.Ordnung.Die TermeinAbhängigkeit von

ǫ

ergebendieLösungna h2. Ord-nung.Diesesindnurlinearabhängigvon dengesu htenGröÿen

Φ

2

und

η

2

,dieRadbedingungen an der freien Oberä he haben jedo h Terme die von der Lösung 1. Ordnung abhängen, wel- he zuerst gelöst werdenmuss. Das Ges hwindigkeitspotenzial na h der Wellentheorie Stokes2. Ordnung ergibt si h dannzu:

Φ = Φ

1

+ ǫΦ

2

(3.85)

und dieOberä he zu:

η = η

1

+ ǫη

2

.

(3.86)

Füreineausführli heHerleitung seiaufHudspeth[16℄verwiesen.DasGes hwindigkeitspotenzial derWellentheorie na hStokes2.Ordnungergibt si h dannausges hrieben na h[7℄ zu:

Φ (x, z, t) = −

Hg

2ω

cosh (k (h + z))

cosh (kh)

sin (kx − ωt)

−

3

32

H

2

_ω

cosh (2k (h + z))

sinh

4

(kh)

sin (2 (kx − ωt))

(3.87)

und diefreie Oberä he zu:

η =

H

2

cos



kx − ωt



+

H

2

_k

16

cosh (kh)

sinh

3

(kh)

(2 + cosh (2kh)) cos (2 (kx − ωt)) .

In beiden Fällenbes hreibt dererste Term dieWelle na h der linearenWellentheorie bzw. na h Stokes 1. Ordnung. Der zweite Term bringt den ni htlinearen Anteil, den sogenannten Stokes Anteil, ein.In Abbildung 3.4ist derEinuss desStokesAnteils dargestellt.

Abbildung 3.4.: Darstellung des Einusses des ni htlinearen Stokes Anteils auf den Amplitudenverlauf

Bei sehr kleinen Amplituden ist kein Unters hied zwis hen den Theorien vorhanden. Mit stei-gender Wellenamplitude steigt au h der Einuss des Stokes Anteils. In Abbildung 3.4 ist eine Amplitudenhöhe von

A = 0, 12 m

bei einer Wellenlänge von

L = 2 m

dargestellt. Der Einuss ist hier s hon deutli h zu erkennen. Die Wellentheorie na h Stokes berü ksi htigt die tro hoide Wellenform miteinem zugespitzten Wellenberg undeinem abgea htenlängeren Wellental.

3.1.5. Wellenklassikation

Die Wellen können inunters hiedli he Klassen unterteilt werden. In Abbildung 3.5 ist die Ein-teilung aus[6℄ dargestellt. Bei einem Verhältnis von Wassertiefe zu Wellenlänge

h

L

≥ 0, 5

liegen die Wellen in dem Berei h von Tiefwasserwellen. Hier bes hreiben die Partikel eine Kreisbahn, deren Radien exponentiell mit der Wassertiefe abnehmen. Fla hwasserwellen treten bei einem Verhältnis von Wassertiefe zu Wellenlänge

h

L

≤ 0, 05

auf. Hier bes hreiben die Wasserpartikel eine Bewegung auf elliptis hen Orbitalbahnen bis hin zur rein vertikalenBewegung am Boden. Dazwis hen bendetsi hein Übergangsberei h.Abbildung 3.6zeigt diesen Verlauf.

Abbildung 3.5.:Klassizierungder Wellentheorien[6℄

Abbildung 3.6.:Einteilungder unters hiedli hen Wellen [13℄

Je na hEinteilunginbestimmteWellenklassenkönnen Vereinfa hungen anden Theorien vorge-nommen werden.IndieserArbeitsollenna hdenin[20℄aufgezeigtenProblemenbeider Simula-tion von Fla hwasserwellen nur Tiefwasserwellen simuliert werden. Zudem zeigt Abbildung 3.5, dassdielineareWellentheorieoderdieTheoriena hStokes2.Ordnung,nurbeiTiefwasserwellen bzw. demÜbergangsberei h angewendet werdenkann.