Lösungsmethoden

Als Diskretisierungsmethode wird in dernumerishen Strömungsmehanik meistens die

Finite-Volumen-Methode (FVM) angewendet, da diese Methode auh bei Unstetigkeiten sehr genaue

Ergebnisseliefert.DasBerehnungsgebietwirdvoneinemGitterineineniteAnzahlkleiner

Kon-trollvolumina(KV)aufgeteilt.DerRehenknoten,alsoderdiskretePunktindemdieFeldgröÿen

berehnetwerden,liegtimShwerpunktdesKV.BeidemZellmittelpunktsshemaentsprihtdas

Kontrollvolumen einer Zelle. Die FVM verwendet die Integralform der Erhaltungsgleihungen.

Diese sind, wie inKapitel 3.1.1 dargestellt, vomTyp einer Transportgleihung mit einem

insta-tionärem Term, einem Konvektionsterm, einem Diusionsterm und einem Quellterm, die eine

beliebige Feldgröÿe

φ

beshreiben. Die Transportgleihungen werden über die Kontrollvolumen integriert. Mit Hilfe des Gauÿshen Divergenzsatzes werden der Konvektions- und der

Diusi-onsterm in Flähenintegrale umgewandelt. Diese können z.B. mit Hilfe der Mittelpunktsregel

approximiert werden. Derinstationäre Term und derQuellterm erfordern eine V

olumenintegra-tion, diemit Hilfe von Zellmittelpunktswerten näherungsweise bestimmt werden kann.

BeiderBerehnungdesDiusionstermsmussderGradientdergesuhtenVariablengelöstwerden.

FLUENT bietetvershiedeneGradientenrekonstruktionsverfahren an:

1. Green-Gauss-zellbasierend

2. Green-Gauss-knotenbasiered

3. Kleinste Fehlerquadrate-zellbasierend

BeidenerstenbeidenVerfahrenwirdzurBerehnung desGradientendasGreen-Gauss-Theorem

angewendet. Bei dem Verfahren Green-Gauss-zellbasierendwird zurBerehnung des

Gradien-ten der Wert der gesuhten Gröÿe auf den zellbegrenzenden Flähen benötigt. Dieser wird aus

dem arithmetishen Mittelwert der Werte im Zellmittelpunkt derangrenzenden Flähen

ermit-telt.

Bei demzweiten Verfahren wirdderWert

φ k

^{auf den} zellbegrenzenden Flähenausden Werten indenangrenzendenKnotengemittelt. DerenWertwiederumwirdausden

Zellmittelpunktswer-ten

φ c j

^der angrenzenden Zellenberehnet. Anshlieÿend wirdnah demGreen-Gauss-Theorem der Gradient

(∇φ) _c0

^indenZellmittelpunktenausdenWerten

φ k

^aufdenangrenzendenFlähen

Abbildung 3.7.: DarstellungderRekonstruktionderGradienteninFLUENTdurhdasVerfahren

Green-Gauss-knotenbasierend[28℄

BeidemdrittenVerfahrenliegteineTaylorreihen-Entwiklung zugrunde.HierwirdderGradient

durh die Dierenz zwishen angrenzenden Zellmittelpunktswerten und der aktuellen Zelle

er-mittelt.DabeiwerdenGewihtungsfaktorenberüksihtigt,diedurhAnwendungeinerkleinsten

Fehlerquadratmethode ermittelt werden.

Alle Verfahren gehören zu dem Zentrale-Dierenzen-Shema und sind 2. Ordnung genau. Die

letzten beiden Verfahren sindgenauer als daserste Verfahren.Dabeidem 3.Verfahren die

Re-henleistung geringerist, istdieses Verfahren beiFLUENTals Standardmethode eingestellt.

Zur Berehnung des Konvektionsterms werden die Flähenintegrale durh die

Mittelpunktsre-gel approximiert und die Zellmittelpunktswerte auf die zellbegrenzenden Flähen interpoliert.

Für dieInterpolationstehen inFLUENTmehrereVerfahren zurAuswahl, einigeseienhier

auf-gelistet:

1. Zentrale-Dierenzen-Shema

2. Upwind 1.Ordnung-Shema

3. Power-Law-Shema

4. Upwind 2.Ordnung-Shema

5. QUICK-Shema

6. MUSCL-Shema

Bei demZentrale-Dierenzen-Shema erfolgtdieInterpolationinFormeiner Mittelwertbildung.

Dieses Shema führt oft zu unphysikalisher Oszillation und zu instabilen Lösungsverfahren.

Aufgrunddersehrgeringennumerishen Diusionistesaberfür Large-Eddy-Simulationen

ge-eignet. InFLUENT isteinmodiziertes Zentrale-Dierenzen Shema enthalten.

BeidemUpwind-ShemaistdieGrundidee,dassdiegesuhteVariable

φ

^{beiKonvektion}

maÿgeb-lih durh die stromaufwärts liegenden Zellen beeinusst wird. Ermittelt wird der Wert

φ _k

^auf

denbegrenzendenFlähenmitdenZellmittelpunktswertendurheineTaylorreihen-Entwiklung.

Dieses Verfahren ist aufgrund von numerisher Diusionnur nah 1.Ordnung genau, bietet

je-doheinsehr stabilesLösungsverhalten.

für kleine Pelet-Zahlen beinhaltet. Bei Pelet-Zahlen gleihnull wirddas

Zentrale-Dierenzen-Shemaangewendet. Beigröÿerem BetragderPelet-Zahl gibteseinenÜbergangzum

Upwind-Verfahren.

Bei dem Upwind-Verfahren 2. Ordnung wird der Wert

φ _k

^{auf den} zellbegrenzenden Flähen durh den WertderVariablen indem Zellmittelpunkt derstromaufwärts liegenden Zelle

ermit-telt.ZudemwirdderGradient derVariablenmultipliziertmit demAbstandsvektorvonder

Flä-he zum Zellmittelpunkt berüksihtigt. DieseVerfahren basiert ebenfalls auf derT

aylorreihen-Entwiklung, ist jedoh 2.Ordnung genau.

DasVerfahrenQUICKstehtfürQuadratiUpstreamInterpolationforConvetiveKinetis.Der

Wert auf der Flähe wird durh quadratishe Interpolation über zwei Upwindzellen und einer

Downwindzelle erzeugt.Bei strukturiertem Netzerreiht dieses Verfahren eine Genauigkeit von

3.Ordnung.

MUSCL steht für Monotone Upstream-entered Shemes for Conservations Laws. Hier wird

φ k

^{aus einer gewihteten Mittelung des} Zentrale-Dierenzen-Shema und des Upwind-Shema 2. Ordnung ermittelt.Dieses Verfahren kannlokaleine Genauigkeiten von 3.Ordnung beiallen

Netztypen, durh Reduzierungder numerishen Diusion, erreihen. Daher ist esbesondersfür

komplexe dreidimensionale Probleme geeignet.

GrundsätzlihsindVerfahrenhöhererOrdnunginstabiler,liefernabereinegenauereLösung.Das

Verfahren sollteje nah Berehnungsmodell angepasstwerden.

Die bisherigen Terme der Transportgleihung werden mit Hilfe des Finite-Volumen-Verfahren

räumlihdiskretisiert.BeiinstationärenProblemenmüssendieErhaltungsgleihungen auh

zeit-lihdiskretisiertwerden. HierzusteheneinimplizitesodereinexplizitesVerfahrenzuVerfügung.

Bei dem expliziten Verfahren wird der Wert der Variablen aus den bekannten Werten des

vor-herigen Zeitpunktesdirekt,also explizit,berehnet. AusStabilitätsgründenmussderZeitshritt

pro Iteration klein sein, so dass viele Zeitshritte bis zu einer konvergenten Lösung nötig sind.

Bei demimpliziten Verfahren wirddiegesuhte Gröÿe ausden Werten zumaktuellen Zeitpunkt

bestimmt.Dadiese nohniht bekannt sind musseinGleihungssystem aufgestelltund iterativ

gelöst werden. Dies bedeutet eine gröÿere Rehenzeit pro Zeitshritt. Dadieses Verfahren aber

stabiler ist, können deutlih gröÿere Zeitshritte gewählt werden. Beide Verfahren können 1.

Ordnung oder2.Ordnung genau gewählt werden. In FLUENTgibt eszwei Iterationsvarianten:

Iterative Time Advanement (ITA) oderNon-Iterative Time Advanement (NITA). Abbildung

3.8zeigtshematishdieFunktionsweisederbeidenVerfahren.BeidemITA-Shemawerdenalle

Gleihungen sequenziell gelöst undder Gleihungssatzauf Konvergenz geprüft. Bei Konvergenz

beginnt dernähste Zeitshritt, ansonstenwird eine weitere äuÿere Iteration durhgeführt. Bei

dem NITA-Shema wird jede einzelne Gleihung solange iteriert, bis eine konvergente Lösung

erreihtwird.DieäuÿereIterationsanzahlist somitaufeinsbegrenzt.Nahkonvergenter Lösung

derletztenGleihungfolgtdernähsteZeitshritt.DiesesShemabenötigtaufgrundder

geringe-renAnzahlanäuÿerenIterationenerheblihwenigerRehenzeit,kannjedohauhzuungenauen

Lösungen führen.

Abbildung 3.8.:IterationsvarianteninFLUENT [28℄

Die Navier-Stokes (NS)-Gleihung kann aufgrund der Ähnlihkeit zur allgemeinen T

ransport-gleihung mit den oben beshriebenen numerishen Verfahren gelöst werden. Der Untershied

besteht nur darin, dass in der NS-Gleihung anstatt des Skalars ein Vektor

u

^{auftritt, welher}

die Komplexität erhöht. Zudem tritt ein Drukgradient auf, der keine Analogie zu der T

rans-portgleihung aufzeigt. Zur Lösung der NS-Gleihung muss das Drukfeld bestimmt werden.

Dies geshieht indirekt mit Hilfe der Massenerhaltung. Für die Berehnung des Drukes wird

die PRESTO! (PREssure STaggering Option!)-Methode verwendet. In FLUENT stehen zwei

übergeordnete Lösungsmethoden zurVerfügung:

1. DrukbasierenderLöser (engl.pressure basedsolver )

2. Dihtebasierender Löser (engl.densitybasedsolver)

Bei demersten Verfahren wirddas Drukfeld überden Drukgradienten bestimmt. Dieses

Ver-fahreneignet sih besondersfür inkompressible Strömungen.

Bei dem zweiten Verfahren wird mit Hilfe der Kontinuitätsgleihung die Dihte bestimmt und

anshlieÿend über die Zustandsgleihungen der Druk ermittelt. Dieses Verfahren ist für

kom-pressibleStrömungen geeignet.

FürdieKopplungvonDrukund Geshwindigkeitmit HilfederKontinuitätsgleihung stehenin

FLUENT fünfAlgorithmen zurVerfügung:

1. SIMPLE

2. SIMPLEC

3. PISO

4. Frational-Step

Die ersten vier Methoden laufen mit einem sequenziellen Algorithmus, bei dem die Variablen

nah einander iterativ berehnet werden. Bei dem letzten Algorithmus werden die Variablen

gleihzeitig gelöst.

SIMPLE steht für Semi-Implizit Method for Pressure Linked Equation und ist ein

Druk-Korrektur-Verfahren.Dieses Verfahren benötigt eineinnere undeineäuÿere Iteration.Die

äuÿe-re Iteration löst die Impulsgleihung und dieinnere Iteration liefert die Korrekturfaktoren. Bei

diesem Verfahren wirdzunähst dasDrukfeld geshätztund dievorläugen Geshwindigkeiten

berehnet. Anshlieÿend werdenübereine Gleihung dieDruk- und

Geshwindigkeitskorrektu-ren ermittelt. Die Geshwindigkeiten erfüllen nun die Kontinuitätsgleihung. Wenn die

Impuls-gleihungen dann niht erfüllt sind, startet eine neue äuÿere Iteration, bis die

Kontinuitätsglei-hung unddie Impulsgleihungen erfülltwerden. MitHilfe von Unterrelaxationfaktoren,die die

Gröÿenänderung deräuÿerenIterationbegrenzen,wirdeinniht konvergentesLösungsverhalten

vermieden. Bei stationären Strömungen wird somit ein stabiles Konvergenzverhalten erreiht.

DieanderensequenziellenVerfahrenberuhenebenfallsaufeinem Druk-Korrektur-Algorithmus.

DieMethodeSIMPLECSIMPLE-ConsistentliefertbeieinfahenProblemenshnellereine

kon-vergenteLösungals dasSIMPLE-Verfahren.

Die Methode PISO Pressure Impliit with Splitting of Operatorsbasiert auf dem

SIMPLE-Verfahren, liefert aber aufgrund einer Änderung im Algorithmus genauere Korrekturwerte. Bei

diesem Verfahren sind weniger äuÿere Iterationen ohne Unterrelaxation nötig. Es ist gut

geeig-netzurSimualtionvontransienten 2

Strömungen mitgroÿenZeitshritten, benötigt jedohmehr

Rehenzeit.

DasFrational-Step-VerfahrenkanninKombination mitdemNITA-Shemaverwendetwerden.

DiesesVerfahrenistwenigerrehenintensiv alsdasPISO-Verfahrenundeignetsihebenfallsgut

für transiente Strömungen. Bei komplexen Problemen ist eine Reduktion der Unterrelaxation

notwendig, dadasVerfahren sonst zuInstabilität führenkann.

Das Coupled-Verfahren ist ein robustes und ezientes Shema für stationäre

Einphasenströ-mungen.

DieeinzelnenMethodenshlieÿensihteilweise gegenseitigausundjedesVerfahrenmuss

abhän-gigvomAnwendungsfallausgewählt werden.

Im Dokument Modellierung und Simulation eines Wellenerzeugers für eine maritime Versuchsanlage mit CFD-Methoden (Seite 37-41)