A r c h i v fiir E l e k t r o t e c h n i k
VI. Band. T.U. 2. Heft. I 9 I 7.
Uber die graphische Darstellung des Wechselpotentials und die Lage des Erdpotentials in Drehstromanlagen.
Von H. Giirges, Dresden.
Eine besonders iibersichtliche A r t , die Spannungen in einem Wechselstromsystem darzustellen, ist die topographische Methode. Soweit man, wie man es in den An- wendungen meist tut, annimmt, dab zwischen zwei Punkten eines Stromkreises eine eindeutige Wechselspannung besteht, kann man auch jedem dieser Punkte ein Wechsel- potential zuschreiben und die Spannung als Differenz dieser Potentiale betrachten.
Diese Wechselpotentiale kann man nun dutch Punkte einer Ebene darstellen, deren Abstand voneinander nach Gr6Be und Richtung die Spannung angibtl). Diese Dar- stellung geht abet noch welter: sie zeigt, dab zwei Spannungen nur dann identisch sind, wenn sie nicht blo13 nach GrSl3e und Phase, sondern, auch in den Potendalen miteinander iibereinstimmen.
I. Die Grundlage der graphischen Darstellung des Wechselpotentials und die Dreieckskoordinaten.
Eine Spannung Pab werde, Abb. I, durch die Strecke 9X~3 dargestellt. Wir w/ihlen einen beliebigen Punkt 9 und ziehen die Strecken 9 und 9 Dann ist
A
A A
Das Z e i c h e n - 4 - s o l l die geometrische Summe, das Z e i c h e n . - - die geometrische Differenz andeuten. Verlegen wir ~ nach ~', r so ist
Es k o m m t also, wenn man Pab als Differenz zweier Vektoren ~
und ~gX darstellen will, nicht auf die Lage des Nullpunktes 9 an. •, Dieser kann ganz willkiirlich gew~ihlt werden. Da es also Abb. i.
nur auf die Lage der Punkte 9.I und ~3 ankommt, lassen wir
Punkt ~ und die Vektoren ~gX und 9 in der Zeichnung weg und schreiben statt 9 und ~ 3 einfach 9.i und ~3. Demnach ist
/ % .
Die Punkte 9I und N sind in graphischer Darstellung die Potentiale der Punkte des Systems, zwischen denen die Spannnng 9IN herrscht. Die Strecke 9X~3 darf nicht ohne weiteres parallel mit sich selbst,verschoben werden, denn wenn ein dritter Punkt C des Systems das Potential @ hat, stellt 9X@ die Spannufig zwischen A und C und ~ die Spannung zwischen B und C dar, Es darf daher im aligemeinen nut die Figur als Ganzes in der Zeichenebene verschoben werden.
1) G/3rges, t:Iber die graphische Darstellung des Wechselpotentials und ihre Anwendung.
ETZ 1898 , S. 164 .
Archiv f. Elektro~echnik. VI. Band. 1. u. z. Heft. Ausgegeben am z. August 19l 7. I
A r c h i v f ~ r
2 Gtirges, Ober die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektroteehnik, A u f der durch 91 und ~3 gelegten unendlichen Geraden liege ein Punkt ~ , Abb.: 2, und es sei
Setzt man
w o r a H s
Abb. 2,
Dann ist und folglich
9 1 ~ - - a oder 91--~=d-91~3 . . . 2)
A A - -
~ = e 9 1 + 9 1 ~ = c 9 1 + a . 9 1 m
~ - - A A
oder mit I) also
A
( I - - 3 ) = c ~ und d = / ~ ,
folgt, so kann man allgemein einen Punkt ~, der auf der dutch 9I und ~3 gelegten Geraden liegt, durch den Ausdruck
g? = c~91--~- fl~3 / . . . 4) darstellen. Ist z. B. ~ die Mitte yon 91N, so ist
1 9 1 2 1
~ = ~ _ ~ . . . 5) Ein Beispiel m6ge dies erliiutern. W e n n m a n mit dem Quadrantenelektrometer die Leistung L an einem Stromverbraucher AB, Abb. 3, messen will, so schaltet man ibm einen induktionsfreien Widerstand R vor, und verbindet seine E n d e n ' C und A
Abb. 3.
,:,47b , 9
Abb. 4.
mit den Quadrantenpaaren, B m i t der Nadel. Es sei nun 91N, Abb. 4, die Spannung a m Stromverbraucher, 91-~ die Stromst~irke J, ~gf der Spannungsverlust RJ im Vor- schaitwiderstand, wobei ~91 die Richtung yon 91~ hat. Die iibliche Formel fiir das auf ~ Nadet wirkende Drehmo'ment ist
D ~ c (V~ - - Ve) b 2
worin Va, Vb, V e die Potentiale der Punkte A, B,~ C i n Abb. 3 sin& Statt dessen k6nnen wir mit Rticksicht auf Abb. 4
D = c [(91-~
r
( m - - [~ 91 d- ~ c])] ---- ~ [(91~-r
2 e)] = ~[~ ~.
em]schreiben. Dieser Ausdruck ffir den Mittelwert des Drehmomentes ist ein Vektor- .pr0dukt. ,Das D r e h m o m e n t ist demnach dem Vektorprodukt [~9/.'@~3] proportional,
w~ihrend die Leistung dem Vektorprodukt [~91-91~3] proportional ist. Da
1917' GiSrges, I3ber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. 3
V [ . B d . ~ . u . 2, H e f t .
A
so ist
D = c. I * ~ ' l ~ $ ~ ) ] = c" [~-~" ~ ~---] + } r [r
Setzt m a n endlich
~ 9 1 ~ R . J , 91~8 = P , so wird
D = c. R ([P. J] -q -~SR .J~), oder wenn das V e k t o r p r o d u k t [P-J] = L gesetzt wird:
D = c R ( L q - g R J ).
Man mil3t also einen Wert, der die zu messende Leistung L u m die halbe Strom- wSrmeleistung im Vorschaltwiderstand iibertrifft. Dabei ist es gleichgiiltig, welcher Punkt der Schaltung geerdet wird, weil sich dadurch, wenn
m a n das Erdpotential durch einen festen Punkt der Zeichen- ebene bezeichnet, nur die ganze Figur verschiebt.
91 und ~3 waren die Bezugspunkte zur B e s t i m m u n g der L a g e des Punktes ~ auf 91~. N i m m t m a n noch einen dritten Punkt ~ hinzu, der mit 9I und $ nicht auf einer und derselben Geraden liegt, so k a n n m a n einen beliebigen Punkt ~ der E b e n e durch diese drei Punkte
bestimmen. Es sei niimlich, Abb. 5, Abb. 5.
so ist
~----(~--~).~+
A~ = ( ~ - , ) . r
Setzt m a n nun so wird
A A
~.~ = ( ~ - - , ) . r + , ( ~ - ~).~ + , ~ . ~.
A A
~ = ~91-}- fi~-}- y ~ . . . 6)
also
~ + ~ + r ~ . . . 7)
DaB Punkt s eindeutig durch 6) bestimmt ist, wenn G1. 7) erfiillt ist, geht aus folgender Betrachtung hervor.A n g e n o m m e n ~ riicke nach ~ 1 , wenn 9 ~1 verlegt wird. Dann ist, Abb. 6,
A
und daher
Daraus folgt, dab s ~ o ist, als s mit ~ zusammenf~llt.
U m den Punkt s zu zeichnen, hat man, Abb. 7, von einem beliebigen Nullpunkt aus die Strecken ~91, ~ , ~ zu ziehen, yon ~ aus die Strecke u . ~ 9 1 auf ~9~, die
I *
Abb. 6.
Archly fttr G S r g e s , Uber die graphisehe Darstellung des "Weehselpotentials usw. Elektrotechnik.
Strecke fl. 9 auf ~ 3 , die Strecke 7 " ~ G a u f . ~ G abzutragen und yon 9 aus beginnend diese drei Strecken geometrisch zu addieren. Einfacher ist es, ~ mit einem der Punkte 9/, ~3, G zusammenfallen zu lassen, z.B. mit ~. Dann verschwindet die entsprechende Strecke, z.B. 9163 und m a n hat, um ~ zu finden, nur zwei Strecken, z.B. ft. 92[~3 und 7.9s geometrisch zu addieren.
O Abb. 7.
(2L x
Abb. 8.
Es m6gen sich die Mittellinien 9s ~3~, ~ des Dreiecks 9s Abb. 8, im Mittet- punkt ~ schneiden. Man hat dann
folglich oder
m h
1
9/9J~ 2
9s 3
A
A 1 " ~ ' 1
. . . 8)
Man finder hiernach den Mittelpunkt 9-2 des Dreiecks, indem man von einem be- liebigen Punkte 9 ausgehend je ein Drittel yon 9 9 und ~ G geometrisch addiert, oder einfacher, indem man yon 9i ausgehend je ein Drittel yon 91-~ und 9s geometrisch addiert.
9)~ ist der Schwerpunkt der mit gleich grol3en Massen behaflet gedachten Punkte 9s ~ und G. Allgemein ist
A A
der Schwerpunkt der Punkte 9s ~3 u n d r wenn diese d er Reihenfolge nach mit den Massen'
/3 r
oder auch mit den Massen c~, /3, 7 behaftet gedacht werden. Von diesem Grund- gedanken ausgehend hat M 6 b i u s seinen , , b a r y z e n t r i s c h e n K a l k t i l " entwickelt, an den sich diese Ausfiihrungen anschiiel3enl). M6bius versteht unter 9s ~ , G die recht- oder schiefwinkligen einander parallelen Abstfinde dreier Punkte vo.n einer beliebigen Ge- raden und schreibt
+
oder auch
g~c:~@/3~@7~.
1) Aug. Ferd. M~bius, Prof. d. Astronomie zu Leipzig, D e r baryeentrisehe Caletil, ein neues I-Iialfsmittel zur analytisehen Behandlung der Geometri% Leipzig, Ambrosius Barth, i827.
1917" O 5 r g e s , l~ber die graphische Darstellung des Weehselpotentials usw. 5 Vi.Bd. 1.u.z.Heft.
Er kann daher algebraisch addieren. Er weist unter anderem nach, dab der Punkt eine Gerade beschreibt, wenn e, fl und y lineare Funktionen, und einen Kegelschnitt beschreibt, wenn sie Funktionen zweiten Grades einer unabhfingigen Ver~inderlichen x sind.
Wir wollen c~, fi, y die Dreieckskoordinaten oder kurz die Koordinaten des Punktes nennen.
Wir batten gesehen, dab die Differenz zwe%r Potentiale ~ ~ ~ gleich der Strecke ~ ist, die die Spannung P~, darstellt. Setzt man
u n d so ist Setzt man
so wird wegen 7)
h h
h / % . - f %
- - / % i
. . . 9)
n + v - } - w = o . . . Umgekehrt stellt der Ausdruck
u91@v~@w~
eindeutig nach L~inge und Richtung eine Strecke dar, wenn G1. IO) erfiillt ist. Denn dann kann man
u91q-v~ @ w ~ u . ~ 9 1 @ v . ~ 3 - - u . ~ - - v . 9
A f ~
h
~ u . g91@v.g~3
setzen. Der letzte Ausdruck ist abet yon der Lage yon 9 ganz unabh~ingig. Die Lage der Strecke in der Ebene bleibt unbestiramt, denn man kann den Anfangspunkt
/ % / %
beliebig w~ihlen, der Endpunkt ist dann:
Diese Darstellung eignet sich nun besonders dazu, *die Lage der Potentiale in einem Drehstromsystem zu untersuchen. Die PotentiaIe dei drei Leiter in einem Querschnitt des Leitungsstranges werden durch die g c k e n eines gleichseitigen Dreiecks 91~3g dar- gestellt. Die Stromvektoren tragen wir am besten an die Ecken des Dreiecks an, und zwar nach innen gerichtet, wenn es sich um einen Stromverbraucher, nach augen gerichtet, wenn es sich um einen Stromerzeuger handelt. Multipliziert man die Stromvektoren mit der Widerstandseinheit, so gibt ihre L/inge, im Span-
nungsmal3stab gemessen, die Gr613e der Verschiebung Af
an, die die Po~entia!e:durch die Str6me i n d e r Wider- ~ : standseinheit erfahren. Sind z. B. 91, ~3, ~, Abb. 9, die
Potentiale am Anfange einer Fernleitung, 9I%, ~ ,
~ die Spannungsverluste, so sind ~ , ~, {~ die Potentiale, also ~ , ~{~, { ~ die Spannungen am Ende der Fernleitung. Es ist dabei zu beachten,
dab durch wahre Widerst/inde das Potential in der /d o~
Richtung des Stromvektors, durch induktive Wider- st/inde das Potential senkrecht zur Richtung des Strom-
vektors verschoben wird. Abb. 9.
Archiv far 6 G S r g e s , 1]-ber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektrotechnik.
Hierbei ergibt sich ein b e m e r k e n s w e r t e r Satz. Die Stromvektoren eines Dreh- stromsystems sind bei beliebiger Belastung des Systems der einzigen aus d e m ersten Kirchhoffschen Gesetz h e r v o r g e h e n d e n B e d i n g u n g unterworfen, d a b sie sich durch Parallelverschiebung zu einem in sich geschlossenem Dreieck zusammensetzen lassen.
Nun hat m a n
. - ~ A 1 % .
Es m u g also
( ~ 2 9/)-?- (e ~- ~)_?_ (~ 2 ~) = o
sein, woraus1 A I = ~ " A I A
folgt. Diese Gleichung sagt aus, dab das Dreieck ~ @ ~ denselben Mittelpunkt wie das Dreieck 9/~tG hat. Dieser Satz gilt fiir ein Dreieck yon beliebiger Gestalt. Gilt der Satz auch fiir die Spannungsverluste einer Fernleitung, so hat er die Bedeumng, dab die E r d e am A n f a n g und am E n d e der Leitung dasselbe Potential hat, E r d s t r 6 m e also infolge yon Potentialverschiebungen nicht auftreten k6nnen. Dies ist eine Forderung, der eine" gute A n l a g e gentigen mug.
L e g e n wir nun ein gleichseitiges Dreieck 9 / ~ zugrunde, s o erNilt m a n ffir die Strecke ~ , ~ ifidem m a n P u n k t ~ mit Punkt 9/ zusammenfallen 1/il3t:
~s = u. o q - v. 9/~ q - w. 9/~.
Die L/inge yon ~ ist daher, wenn m a n beachtet, dab 9 / ~ einen Winkel yon 60 0 mit 91 ~ einschliel3t:
~ = 1 / v ~ . - ~ + 2v,v :9/m. 9/~. cos 600 + w~. 9/--~.
Setzt m a n die L/inge von 9/~ find 9/G gleich s, so erhfilt m a n
m ~ = g v ~ + ~ w + w ~ . s . . . ~i)
L/il3t m a n ~ mit ~ zusammenfallen, so wird~ s @ w u . @ u~.s . . . 12) L~il3t m a n endlich ~ mit ~ zusammenfallen, so wird
~ = ~ / u ~ + u v + ~ . s . . . ~ )
Man hat alsou'~ @ uv @ v~---- v~ @ v w - t - w~-~-- w~ q- wu @ u ~' . . . z4) In der T a t braucht m a n nur aus
u + v + w = o
w - - - ~ u - v in den zweiten und dritten Ausdruck einzusetzen, um sie in den ersten
iiberzufiihren.
1I. Allgemeine Bestimmung der Lage des Erdpotentials.
W i r wollen nun die L a g e des Erdpotentials bestimmen, wenn die drei Leiter eines D r e h s t r o m s y s t e m s durch wahren Widerstand R , durch Selbstinduktivit~it L und dutch Kapazit~it C in R e i h e n - o d e r Parallelschaltung mit der E r d e verbunden sind.
Die Aufgabe ist wiederholt behandelt worden, zuerst wohl yon K e n n e l l y , der dabei m e c h a n i s c h e A n a l o g i e n benutzt hat. Man hat auch die symbolische Methode der kom- plexen G r 6 g e n und graphische Verfahren zur L 6 s u n g angewendetl).
1) K e n n e l l y , El. World and Engineer 1899 , S. 268; A r n o l d , L a C o u r und B r a g s t a d , Theo- rie der WechselstrSme und Transformatoren, S. 288 u. If.; K i t t l e r , P e t e r s e n ~ Allgem. Elektro- teehnik, 2, S. 385 u. ft.; F r a e n c k e l , Theorie der Wechselstrtime, S. Ii2 u. ft.
1917" G ~ S r g e s , LIb e r d i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g d e s W e c h s e l p o t e n t i a l s u s w . 7 VI.Bd. 1.u.z. tteft.
Die Lage des Erdpotentials sei ~ , Abb. IO. Dann ist ~-~Pa d i e Spannung zwischen dem Leiter A und der Erde. Diese Spannung erzeugt einen Gesamtstrom Ja, der irgendwelche Phasenverschiebung goa gegen
Pa haben m6ge. Wir zerlegen J~ in die Leismngs- komponente oder den Wirkstrom Ja' und die leistungslose Komponente oder den Blindstrom J a " . Nun ist bei Reihenschaltung von wahrem Widerstand R, Kapazifiit C und Selbstinduktiv'itSt L
(i P
R 2 @ ~---~-- coL und
Wir setzen
so ist Da
COS go
P
J"--~ J sin go - - ~SR~ @ ( ~ _ ~ O) L)=
und
I ( D C 9
]/R ~ @ S ~ = W.
tang go = R ' S
A b b . IO.
9 s i n ~9.
. . . ~5)
R S
oos ~ - - .
~ / ~ ,
sin ~ ---- 1 / ~ - + : S ~ "Daher ist der Gr613e nach
Pa R~
Ja' = ~ cos ~goa - - Ra~ @ S~ 7P~'
j , , = P~ Sa
cos goa sin goa = "Pa"
R~ ~ @ S~ ~
Ra ist der Wirkleitwert oder die Konduktanz, Sa der Blindleitwert oder
R~ ~ q - S~ ~ R~ ~ + S~ ~
die Suszeptanz. Haben wit mehrere sotche Verbindungen zwischen Leitung A und der Erde parallel zueinander, so ist der Gr613e nach
Ra ' " P a = A a ' P a ' Ja' = Z R a 2 + Sa~
. . . ~6) J~" = .~-T t~ai S~@ Sag "P~ = Ba" P~'
wobei
B = s . . . ~7)
ZR,+s
ist. Der Stromjcektor von Ja' fiil]t in die Riehtung von 9.I~, der Stromvektor von Ja 'p in der Richtung yon 91~1, wenn 9 ~ durch Schwenkung um 9 ~ nach links in 9.I~ 1 fibergeht. Es ist demnach
J ~ ' = A . ~ I
t
!8)
J~" = B. 9I~1. ]
Archiv ttir 8 G S r g e s , 1Dber die graphische DarstelIung des ~u usw. Elektrotechnik.
Ja' und Ja" ;ind d u r c h g e o m e t r i s c h e Addition zu d e m resultierenden S t r o m e Ja zusammenzusetzen. Verf~ihrt m a n ebenso mit den yon B und C a u s g e h e n d e n Str6men, so erh/ilt m a n die drei S t r 6 m e ~a, Jb' Je, die der Bedingung unterworfen sind, d a b ihre V e k t o r e n sich durch Parallelverschiebung zu einem geschlossenen Dreieck zu- s a m m e n s e t z e n lassen. Hierdurch ist der G a n g der R e c h n u n g festgelegt.
Es handelt sich nun zun~ichst darum, die K o o r d i n a t e n ~:~, ~h,' $~ des Punktes ~ dutch die K o o r d i n a t e n $, ~1, $ des Punktes ~ aUszudriicken. Hierzu suchen wir drei Gleichungen.
Setzt m a n
~ = ~ - ~ ~ = ~ v ~ + w ~ , I
. . . 19)
~i ~ ---- ~ - - ~I ---- ul ~ + v~ ~ + w~ ~ , J so ist
und nach G1. 13)
u1 ---- #i - - z , v~ z F~, wl = $t J
~ g ~ g u ~ + uv + va. ~,
~ _ ~ / u d + u ~ v , + ~ / ~ ,
wenn s die Liinge der Dreieckseite ist. D a ~ und 9 . I ~ gleich lang sind, m u g u ~ + u l v l + vl~ = ' u ~ + u v + v~ . . . . 2 I ) sein. F e r n e r ist
und
W e n d e t m a n wieder 13) an, so erh~ilt m a n hieraus
(~ + ~v + v~) + ( u / + mv~ + v/) = (m - u)~ + (m - u)(v~ - v) § G - v)~,
worauso d e r folgt.
Endlich ist
0 = 2 um + ~v~ + my + 2 vv~
(2 u @ v ) u l @ (2 v @ u) vl----_ 0 . . . 22)
Aus den G1. 2I), 22), 23) k 6 n n e n ul, vx, w 1 b e r e c h n e t werden.
dazu aus G1.
22)
2 u @ v v 1 - - 2 v @ u . U ~ und setzen diesen W e r t in G1. 21) ein. Dies ergibt
I 2u§ 2 §247
m ~ ~ 2 v ~ - ~ = u ~ + u v + v ~ ,
odero d e r woraus
ul + v 1 + wl = o 23)
Wir e n t n e h m e n
u~ ~ [(4 v~ @ 4 vu -so- u~) - - (4 uv @ 2v~ @ 2u~ @ vu) @ (4 u2 @ 4uv @ v2)]
= [u~ + ~v + v~] [2 ~ + ~y,
u / [ 3 u ~ + 3uv + 3v~] = E ~ + uv + v~] [2v + u]~,
= + ~ (2v + u ) = + ~ ( v - w)
x9~7. G i J r g e s , l J b e r d i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g d e s W e c h s e l p o t e n t i a l s u s w . 9 VI.Bd. ~.u.2 H e f t .
folgt. Die W e r t e ftir v 1 und w ~ erh~lt m a n a m schung. Die drei W e r t e sind daher
einfachsten durch zyklische Vertau-
, w) ]
z - - u ) ~ -~ z [
v l = • ,-1/~ ( $ - - ~:@ z), . . . . 24) w. = ( u - v ) = + &
- - r
u l @ v l ' @ w ~ = o . ' F e r n e r erhS]t m a n aus .G1. 2o)
Es fragt sich nun, welches Vorzeichen wir benutzen mtissen.
zusammenfallen, so wird
~ o, ~ ~--- o, also, wenn m a n d a s positive Vorzeichen wtihlt,
I 2
L/il3t m a n ~ m i t
9 I
~1 = I - - - 5 ~ ~1 ~ + ~ ~1 . . . . '
V3 V3 V~
L/il3t m a n weiter C mit 9I zusammenfallen, so verschwindet CgJ und m a n erh~ilt
A 2 ~ - - ~ I - -
--- 2
Tr/igt m a n , Abb. I I , auf 9.I~ yon ~I aus 9.I| ~ 3 " 9~3,
I
und parallel zu E~X yon | aus |163 = ~ 3 3 ' G9s ab, so er- hSJt m a n P u n k t GI" D e m positiven Vorzeichen entspricht d a h e r eine Linksdrehung. W i t wollen im folgenden im-
m e r das positive V o r z e i c h e n benutzen. ( , (~_:~
W i r k b n n e n nun die Str6me J ' , Ja" und Ja berech- A b b . II.
nen. Nach G1. 18) und I9) ist
p' ' ~ A
Js = Asu" ~ + A~v. ~ + A s w.
~,
Js" ~-~ B~u~, ~ - / B ~ v 1 ~ -]- Bsw 1 r oder mit G1. 20) und 24)A B s I).
~.
,, B s @ B
~ 3 1/3
Ihre g e o m e t r i s c h e S u m m e ergibt Ja- W e n n wir noch mit 1/-3 multiplizieren, so finden wir die erste der drei folgenderL Gleichungen und die beiden anderen aus ihr durch zyklische Vertauschung, n/imlich
Archiv far
10
G ~ i r g e s , i3ber die g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g d e s W e c h s e l p o t e n t i a l s u s w . Elektrotechnik '@ [l/5 A r -~- Ba (~ - - '7 - - I)]- ~,
V 3 Ju =- IV3 Ab(~-- T) + Bb (g-- ~)] 9 ~ ~ IV5 Ab~ q- Bu (~ ~ q- ; ) ] - e 26) 2- IV7 + Bu -
A A
Da n u n Ja + Jb q-Jc ~---o sein mug und dazu die Summen der Koeffizienten von 9d, ~3 und G aus den G1. 26) einzeln verschwinden mfissen, so erh~ilt man
IV5 aa($-" I)-~-Ba (t]--r I)] @ []/3-A~se@Be (N-- $@ I)] : o
9 und zwei entsprechende Gleichungen, oder anders geordnet
1/5(aa-q-ab-l-Ac)~-@(Ba@B b @ B c ) ( ~ - - $ ) - ~ - ] / 3 A a q - B b - - B c ]
" ~ 3 ( a a ' @ A b ' - l - A c ) ~ @ ( B a @ B b @ B c ) ( $ - - ~ ) = ] / S A b @ B e - - B a - - l "
V 3 ( A a @ A D @ A c ) $ @(Ba@BD-}-Bc)(~--~]) - ~ ] / 3 A c @ B a - - B b.
Setzt man nun
wobei
1/3(A --~- Ab @ A~) = m . . . 28) B~@ B b q - B c = n . . . 29) ]/3Aa ' @ B b - - B c = P ]
g S A b @ B e - - B a ~ - q / . . . 3o) ] / 3 ac- q- B a - - Bb = r,')
p-}- q @ r = m . . . 31) ist, so gehen die G1. 27) in die Gleichungen
@ m ~ @ n t ] - - n $ = ' p - - n ~ : + m , / q - n$ = q
@- n $ - - n~/-@ m $ = r
fiber, aus denen ~, U und $ zu berechnen sind. Die Nennerdeterminante N o ist
@ m -@n @ : = m
N O ~- q- m (m e @ 3 n').
+ n - - n + m Ferner ist
p @ n - - n I = p ( m ~ - q - n ! ) - - q ( n m - - n ~ ) - ~ r ( n 2 @ n m ) N o ~ = q -~-m @ n = ( p @ q @ r ) n 2 - @ p m ' - - q m n - @ r m n
I r - - n -q-m = m [ n O ~ - - { - p m @ ( r - - q ) n l .
Man erhiilt daher, wenn man noch m i t m dividiert und fiir die zweite und dritte Gleichung zyklische Vertauschung anwendet,
(me @ 3 n2) ~:--~- n~ -@ pm -@ (r q)n /
(m~ @ 3 n~)~ ~--- n~ @ qm q- ( P - - r) n ? . . . 32) (m~ @ 3 n~) $ = n2 @ rm-@ ( q - - p) n. /
Hiermit ist unsere Aufgabe gel6st.
F.s ist nieht schwierig, zu rechtwinkligen Koordinaten iiberzugehen. Es sei die
x-Achse parallel, zu 9d~, die y-Achse rechtwinklig dazu naeh linksverdreht, Abb. 12.
x917" G S r g e s , 1Jber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. 11
VI. B d , ~. u . 2. H e f t .
I. E s liege der Nullpunkt in 92, Abb. I2. W i r legen 9 in Punkt 92, d a n n i s t , wenn die Dreieckseite gleich s gesetzt wird,
oder, da 92~ 60 0 mit 92~1 einschlieBt,
x = ( ~ @ ~ : ) . s = ~ ( 2 ~ + * ) . s . . . 33) oder
Y m - - - 8 9 ~"s . . . " . . . 34)
3/ y '
oC
Abb. 12. Abb. 1 3.
K r
2. E s liege der Nullpunkt in der Mitte ~ yon 92~3, Abb. 12.
Punkt ~, d a n n i s t D a h e r
und wie vorher
W i r legen D in
A A
~ ' = - 8 9 ~).s . . . 35)
R e g e l n ableiten.
die Zeichenebene
liegt in
,, ,,
y ' = - ~ v S r . . . 36)
Aus den Ausdrticken fiir y folgt, daB ~ rechts yon der durch 9I und ~3 gelegten Geraden, y o n 92.1 nach ~3 gesehen, also unterhalb d i e s e r Geraden liegt, wenn ~ positiv ist, links yon ihr, also oberhalb, wenn ~ n e g a t i v i s t . Man kann hieraus leicht folgende Die drei durch die E c k p u n k t e 92, ~ und ~ gelegten Geraden m 6 g e n in die sieben Teile I bis VII zerlegen, wie Abb. 1 3 zeigt. D a n n gilt
,, I V ;
~ V ~
,, VI,
7, VII,
Man k a n n ~ als den Schwerpunkt ansehen,
Massen behaftet sind, die den rechten Seiten der G1. 32) proportional sind.
Nach G1. I I ) und 2o) ist, wenn m a n ~ nach 92[ verlegt, 9 2 ~ _ - - r + , ~ + ~ . s .
Setzt m a n s gleich der S p a n n u n g P, so ist 92B gleich der S p a n n u n g Pa Punktes A g e g e n die Erde. Man h a t also mit zyklischer Vertauschung
I, wenn ~, ~/, ~ positiv sind, ] II, ,, ~ negativ, ~/ und ~ positiv sind,
i
III, ,, v ,, ' ~ " ~ . . . . I
,, r ,, , ~ ,, ~ . . . . } . . . 37)
,, ~ positiv, ~ ,, ~ negativ sind,
/
,, ~ ,, , ~ ,, ~ . . . .
,, ~ ,, , ~ ,, ~ . . . . .
wenn die Punkte 92, ~8 und ~ mit
des
Archly ffir
12
G S r g e s ~ U b e r die g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g des W e c h s e l p o t e n t i a l s usw. Elektrotechnik.Aus diesen Gleichungen k6nnen die Spannungen gegen die Erde berechnet werden.
Am einfachsten ist es im allgemeinen, zun/ichst 2, ~] und g aus 32) zu berechnen und dann die G1. 38) zu benutzen. Wit k6nnen aber auch die Werte aus 32) in die Werte 38) einsetzen. Zur Abkiirzung setzen wir
N = m e @ 3 ne a = p m @ ( r - - q ) n b = q m - @ ( p - - r ) n c r m @ ( q - - p ) n . a-@b @ c - - - ( p @ q @ r ) m = m ~ Dann wird mit 32)
I . . . 39)
N~ = n ~ - [ - b , Daher
Ne(~ ~_ ~] + ~]e) __ 3nt @ 3 (a@ b)n e --}- (a e -~- ab @b~).
[ [p~ @_ p q + qe] m ~
a ~ - k a b - k b ~ = l
@ [2p ( r - - q) @ 2q ( p - - r) @ p ( p - - r) @ q ( r - - q)] m n
[ @ [(r e - - 2 q r @ qe) @ (~)2 __ 2 p r + r e) @ (r p - - p q - - r e -~- q r)J n e [ [p~ ,4- p q @ q~] m e
= { @ [ p e - - q e @ p r - - q r ] m n
[ @ [ p ~ @ q e @ r e _ p q . q r - - rp] n 2 [ [P~" + P q @ q~] m e
= { @ [ ( p - - q)(p @ q @ r)] mn
[ + [(P @ q -@ r) e - - 3 (Pq -~- qr @ rp)] n e
= ( p ~ Ac_ pq @ qe) m e @ (p__ q) m e n + m e n ~ _ 3 (Pq@ qr @ r p ) n ~.
Ferner ist
3 (a@b) n ~ = 3 (P@ q) m n e + 3 ( P - - q ) na
= 3 (pe @ qe -~- 2pq @ qr @ rp) n~ -t- 3 ( p - - q) n~- Daher
N ~ (~ @ ~] @ ~]2) = (m e @ 3n~) in ~ @ (p __ q) n -@ (pe @ pq @ qe)].
Folglich mit zyklischer Vertauschung
p a = V n~ @ ( q - r) n @ (q~@ qr @ r~) p, ] m~ -[- 3 n~
C n ~ @ (r - - p) n -~- (r ~ @ r p @ p o,)
; ~ ~ a " ~ . p, . . . . 4o) P~
~//n ~ @ (p - - q ) n @ (p~@ pq @ qe).P.
P o = ~ , /
Diese Gr6gen k6nnen nur unendlich grol3 werden, wenn der Nenner verschwindet.
Dazu mul3 sowohl m als auch n zu Null werden. Nun besteht rn aus lauter positiven
1917. G 5 r ges, 1]ber die graphische Darstellung des 1u usw. 13
VLBd. 1 . u . 2 . H e f t .
Gliedern und kann nur verschwinden, wenn die wahren Widerst~nde sSmttich unendlich grog sind. Der Ausdruck n besteht aus einer Reihe von Gliedern yon der Form
- - - - c o L I
cog
und kann daher verschwinden, wenn gleichzeitig Kapazit/it und Selbstinduktivit~it vor- handen ist.
Wenn p = q ~ r
ist, so verschwindet je das letzte Glied der rechten Seiten in den G1. 32), w/ihrend das l m s wird, weil p @ q @ r = m ist. Man erhSlt dann vorletzte Glied je gleich g
- - ~ , ~ = ~ , ~ = ~ ;
d . h . das Erdpotential fSllt dann in den Mittetpunkt des Spannungsdreiecks.
III. Anwendung der allgemeinen LSsufig auf Sonderfiille.
A. Parallelschaltung yon Widerstand, Kapazitgt und Selbstinduktivitgt z w i s c h e n je e i n e m Leiter und Erde. G e f a h r e n g l e i c h u n g .
Es sollen nun die allgemeinen Gleichungen auf einige SonderfSlle angewendet werden. Wir wollen zunSchst annehmen, die drei Leiter seien durch wahren Wider- stand R, Selbstinduktivit~tL und KapazitSt C in Parallelschaltung mit der Erde ver- bunden. Die wahren Widerst~inde in dem Kondensator und den Drosselspulen- kreisen wolien wir vemachlSssigen. Die Summanden A und B sind dann ftir die drei parallel geschalteten Verbindungen zwischen einem Leiter und der Erde
Daher wird
f a r f a r
S u m m a n d w a h r e n W i d e r s t a n d f a r K a p a z i t ~ t S e l b s t i n d u k t i v i t ~ t
y o n A
B
I
R
I m ~ C
I - - A ' / A - - R
B = c o C - - - - z = H , [
coL
l
o I
o)I2
. . . 4z)
wenn A den Leitwert, H den Blindleitwert bedeutet.
I. Es seien nur wahre WiderstSnde zwischen den Leitungen und der Erde vor- handen. Dann ist
m = - l / 3 ( A a - - { - A b @ A c ) , n = o , p = ~ / 3 - A ~ ,
Daher ~__ p A ~
m A a @ A b q - A e '
A b q
m r
A ~ @ A b @ A ~ ' A o
A~ @ A b + A~"
m
q = ~ / 3 " A b , r = 1 / 3 A c .
. . . 4 2 )
Archiv ftir 14 G g r g e s , Uber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektrotechnik.
2. Die wahren Widerst/inde seien unendlich grog. Dann ist
m = o , n = f / a @ H b - - ~ H e , p=Hb--/-/c, q = H e - - H a , r---/la--Hb, daher 3n~$---- n~ -@ (//a Ub - - He @- //a) n ,
3 n ~ = ( I I a - l - llb @ H,) @ ( 2 H ~ - - Hb--H~)---- 3 H a.
Man erh~ilt daher
H a 1I b H~ , . 9 43)
Mit Hilfe yon 38) kann m a n hieraus auch leicht die Spannungen gegen die Erde an- geben. I m besonderen erh~ilt man,
a) wenn nur Kapaziffit vorhanden ist,
C a Cb .
c'
b) wenn nur Selbstinduktivit~it vorhanden ist,
I I
$ La L b
I I I I I I
L a J - L b q - L : ~ - ~ b - ~ L c
~ Ce
C a @ C b @ Co' " 44)
I
r L0 . . . .
45)
I
L-2 Lo
Das F~rdpotential liegt in den F~illen a) und b) nach 37) i m m e r innerhalb des Dreiecks 9/~3~. Verschwindet eine der Koordinaten $, ~7, $, so liegt ~ auf der dem zugehgrigen Punkte gegentiberliegenden Seite verschwinden zwei der Koordinaten, so fiillt ~ rnit dern Punkt der dritten Koordinate zusamrnen. Dieser letzte Fall ist an- niihernd bei Drehstromanlagen mit konzentrischen Kabeln verwirklicht, weft die inneren Leiter keine unmittelbare Kapazitg.t gegen die Erde besitzen und daher nur die geringe augerhalb der Kabel befindliche Kapazit~it dieser Leiter in Frage kommt, w~ihrend der Augenleiter eine grol3e Kapazifiit gegen die Erde besitzt. Die sffidtischen Elektrizit/its- werke in Chemnitz waren zu Anfang mit konzentrischen Kabeln ausgestattet, infolge- dessen wurden die Spannungen gegen die Erde zu etwa 80, 195o und I 9 5 o Volt g e - funden. Wird ein konzentrisches Kabel mit einer Freileitung verbunden, so sucht sich das Erdpotential in der N~ihe des Kabels auf das des Aufienleiters, in der N~ihe der Freileitung auf die Mitte des Dreiecks N~3G einzustellen. Die Folge davon sind Erd- strSme, die zu Telephonst6rungen Veranlassung gegeben haben. Noch schlimmer liegt der Fall, wenn der Augenleiter eines Kabelstranges mit einem der inneren Leiter eines anderen Kabelstranges verbunden wird.
c) W e n n zugleich Kapazit/it und Selbstinduktion vorhanden sind, kann der Nenner verschwinden. Die Koordinaten kSnnen dann unendlich grog werden. W e n n n/imlich n---~o ist, so geben die G1. 32) die Werte
p q $ _ ~ r
= - - ' m ~ / = m ' m
In diesem Falle sind die Summanden
Summand yon A
B
ft~r
wahren Widerstanfl ftir Kapazit~tt
O
coC
ffir Selbstinduktivit~tt
R R ~ -~- o ~ L ~
o)L
R ~ q - ~ L ~
19~7. G6 r g e s, f)ber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. 15 Vl. Bd. i.u.2.Heft.
Daher wird R
A - -
R "~ @ o~2L ~' B ~ ( o C coL
R ~ A V a~=L ~'
worin R der Widerstand der Induktionsspule ist. Demnach wird m = l / 3 - . [Ra2q_co~La~ ~ R b ~ - ~ 2 L b ~ ~-Rc~@_o)~Lc2J
n = ~o [Ca_J_ Cb q_ C:]__ co [ La L b Lc ]
Ra~ -~- ~o~La ~ -~ Rb~ @- u~2Lb~ -+- Rc~ -~- co~L~ ~ '
Ra @- r C b r L b ~ r L c
r ~ R ~-~-r176 ~ ]
$ = Ra~-~- m~La~ ~_
R R
Der erste Summand von ~ ist die erste Koordinate eines Punktes go, der sicher im Innern des Dreiecks 9 ~ G liegt; der zweite Summand ist die erste Koordinate der Strecke ~o ~ , um die das Erdpotential yon jenem Punkte entfernt ist. Die Nenner sind als sehr kleine Gr6Ben anzusehen. Wenn daher der Z~ihler des zweiten Sum- manden, sowie die entsprechenden Ausdrticke ftir die t]- und die ~-Koordl'nate verschwinden oder auch sehr kleine Gr613en sind, kann ~ mit g o zusammenfallen oder doch nahe bei g o liegen; es ist aber auch leicht m6glich, dab ~ und g o weit auseinanderliegen.
Wir k6nnen daher sagen, dab die Gefahr groBer Uberspannungen gegen die Erde vor- handen ist, wenn
r l = o oder angen~ihert, wenn die Gleichung
i(i i)
m ( C a @ C b @ C c ) = ~ - ~ @ @ ~ . . . 4 6 ) ganz oder nahezu erfiillt ist. A m besten ist es, dafiir zu sorgen, dab die Werte yon
I s/imtlich entweder viel geringer oder viel gr613er sind, als die Werte co C. Be- coL
sonders groBe Unsymmetrien treten bei einzelpoliger Schaltung auf; in diesem Falle ist zu untersuchen, ob die GI.
46)
nicht erfiillt sein kann. Nimmt man die Kapazit/iten als gleich groB an, und denkt man sich nur die Leitung A durch eine Induktionsspule oder einen im Nullpunkt geerdeten Transformator mit der Erde verbunden, so erh~ilt m a n als Gleichung der Gefahr3 c O C = o L ~ I oder 3 c o ~ C L a = ! . . .
47)
B. E i n f a c h e F~.lle y o n O b e r s p a n n u n g e n .
I. U m einen Fall der Unsymmetrie zu behandeln, nehmen wir an, die Wider- st~inde seien unendlicl~ groB, die Leitung A sei durch Kapazit~it Ca, die Leitungen B und C seien durch Selbstinduktivit/iten L b und L c mit der Erde verbunden. Zur Ver- einfachung der Schreibweise werde
I I
a)ea = ~ a , r Lb ~--- )~b, cole - - ~c . . . 4 8) gesetzt. Dann ist, Wenn der Widerstand der Induktionsspulen vernachl~issigt wird,
H~=z~, Hb=--2b, II~=--,lo,
m o, n = ~ a - - ~ b - - ) ~ c.Archiv ftir 16 G S r g e s , Ober die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektrotechnik.
H i e r m i t e r g i b t sich aus 43)
I
~ = ~ __)~b__2~, / . . . 49)
liegt, Abb. z4, auf d e r durch ~ und ~ g e l e g t e n Geraden, w e n n ~ e ~ o ist. Dies ist
! ~_ I cx~ wird. W i r wollen nun veffolgen, der Fall, wenn e n t w e d e r C a ~ - o o d e r ~ L c - -
wie sich die L a g e d e s P u n k t e s ~ /indert, w e n n L b und L c k o n s t a n t b l e i b e n und C a sich /indert. W e n n C a = o ist, so ist
2 b io
' 40 ~ 0 ' ~]0 - - 2b + )~c ' ~'0 - - ~b @ ,~c 50) Dies sind d i e K o o r d i n a t e n eines auf !8~ l i e g e n d e n Punk- tes |
D e m n a c h ist
2b / x )~C
Abb. I4. '-
u n d m a n e r k e n n t , d a b | m i t !8 zusammenfS]lt, wenn 2e = o o d e r L c = oo ist, u n d d a b | m i t E zusammenfiillt, w e n n 25 --- o o d e r L b = e c ist.
E s liiBt sich nun zeigen, d a b ~ stets au{ d e r d u r c h 9/ und ~ g e l e g t e n u n e n d l i c h e n G e r a d e n l i e g e n muB, wenn C a allein'ver~inderlich ist. S o i l nS~mlich ~ a u f einer durch zwei P u n k t e ~ u n d gt g e l e g t e n G e r a d e n liegen, so muB n a c h 4)
sein. W e n n m a n nun
~ . ~ + ~ . ~ + ~ . ~
A /%.
setzt, so folgt, d a b
seln m u B . Sieht m a n in d e n l etzten G l e i c h u n g e n (3 u n d e als U n b e k a n n t e an, so er- g i b t sich, d a b
!
' (zl ~t~ d = und [
ist. Setzt m a n h i e r a u s c$ und e in die G l e i c h u n g c ~ @ - e = i ein, so erh~lt m a n
o d e r
( / ~ 2 - - / ~ i ) ~ - - ( g ~ - - ~ ' ~ l ) V = O : l f l ~ - - a t , a f i i . . . 5 I ) als B e d i n g u n g dafiir, d a b ~ , ~2 und 9~ auf e i n e r G e r a d e n liegen. W e n n nun ~ ~ 9/ ist,
: 19v7" G S r g e s , Uber die graphiscke Darstellung des Wechselpotentials usw.' 17
VI. Bd. Lu.z.Heft.
so ist a l = I , i l l = ~ Y l = ~ und wenn 9l auf ~3g liegt, so ist a ~ = o , also wird aus der Bedingungsgleichung 5 I)
Nun war, wenn ~ auf N g lag, als0 die Koordinaten ~0, % , r hatte, nach 5o)
Dies in 52) eingesetzt gibt mit 49)
)'b ~a )'b ~'b
2 b @ ~ c ~ " a - - ~ b - - ~ c ; ~ a - - 2 b - - ~ c
2b@2c'
also eine Identiffit, womit der Beweis erbracht ist.
Punkt ~ fiillt, wie wir gesehen haben, in die Seite ! ~ , wenn C a = o . W/ichst Ca, so ist ~ nach 49) zun/ichst negativ, w/ihrend ~1 und ~" positiv sin& ~ riickt also in der Richtung 9/(~ fiber q6 hinaus und fiillt ins Unendliche, wenn
:1: I
a a = 2 b @ 2 c oder coCa--O)Lb [-coLe
wird. W//chst C a weiter, so wird ~ positiv, wfihrend ~1 und ~" negativ 5verden. ~ wan- dert dann auf der anderen Seite des Dreiecks aus dem Unendlichen auf 9/ zu und erreicht g , wenn C a ~ c x ~ wird. Im Inneren des Dreiecks kann ~ niemals liegen.
Ist L c = o c , s o bewegt sich ~ auf der durch 9/ und ~ gelegten unendlichen Ge- raden. ~ fS.11t ins Unendliche, wenn
7[
a~Ca ~ m L b oder w~U~Lb = I
ist. Man erh~ilt also die bekannte Resonanzbedingung fiir Einphasenstrom.
2. Die Widerstfinde seien unendlich groB, Leitung A sei durch Selbstinduktivit~it, die Leitungen B und C seien durch KapazitM mit tier Erde verbunden. Der Fall kann genau wie der vorhergehende behandelt werden. ~ bewegt sich auf einer unendlichen durch 9I gehenden Geraden auBerhalb des Dreiecks, wenn man L a v o n Null bis Un- endlich wachsen l~iBt. Ist L a ~ O , so f~illt ~ in den Punkt g[, ist L a ~ - o c , so f~illt in die Seite ~3~. ~ rfickt ins Unendliche, wenn
wird.
I
coLa - - co C b -~- co C c
C. Oberwachung des Isolationszustandes durch Spannungsmessungen.
Der Iso]afionszustand der Anlagen wird vielfach durch Elektrometer oder entsprechende MeBger~te fiberwacht, die zwischen je eine Leitung und die Erde ge- schaltet sind und die Spannungen der drei Leitungen gegen die Erde messen. Man kann im allgemeinen annehmen, dab die drei Kapazit~ten zwischen den Leitungen und der Erde gleich groB seien. Selbstinduktivitfiten m 6 g e n nicht vorhanden sein.
S o l a n g e die Isolationswiderst~nde Sehr groB sind, ist die Lage des Erdpotentials im wesentlichen durch die KapazitMen bestimmt. Es liegt dann in der Nfihe des Mittet- punktes 93c~ des Dreiecks. Die g l e k t r o m e t e r zeigen dann ungef~ihr gleich groBe An- schliige. Wir wollen nun annehmen, die Isolation einer Leitung, nnd zwar der Leitung A, sei wesentlich verringert. Wir setzen demnach
A a = A a, A b = o , A t = o , Ila~-IIb=Hc~coC.
Archly f. Elektrotechnik. VI, 2
Archly fi~r 18 G6rges, lJber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektrotechnik.
Dann ist
p - - ~ l / 3 A a, q ~ - o , r = o , Damit erh~ilt man aus den Gleichungen 32)
K
A b b . 1 5 .
m = V 3 A a = p, n = 3 m C
(p~ -+- 3n~) $ = n'~ -1- p ~ , (pe -~- 3 n~) ~ ----~- n= q- n p , (P~ @ 3 n~) $ = n~ - - n p,
~: und ~ s[nd immer positiv,
53)
Nun ist
gativ werden.
eck heraustreten. $ verschwindet, wenn n = p oder 3 ~ C = ] / 3 - A a oder
wird. Dann i s t
1/3co C = A~
Wir wollen den Winkel 9/QgJ[ berechnen.
liegt dann also auf der Mitte ~ von 9/~, Abb. 15.
drei Spannungen gegen die Erde sind nach G1. 4 o) P a ~ - 2 _~_ 3n~ "P'
- , / n ~ - - p n q- p2
c--V ~-~- 3~ eJ
Es ist
cos (9/g ~ ) ----
3 2 3
9 / f l ~ - P a = ~ - ~ P , wenn N = p 2 @ 3 n 2 .
V.N
s berechnen wir folgendermagen:
s gyt = 9jr ~_~ fL = - - I (9/@ ~3 @ ~ ) A ~ (n2@~ p~ " 9 / @ n 2 @ n p ~-CC" n ~ - - n P ) ' ~
3 N N
w o r a u s
A i
--=-ug/q-v~ q - w ~ ,
I n s @ p~ 2 p~
U
3 N 3 N '
i n ~ @ n p p 2 - - 3 n p
3 N 3 N '
I n ~ - - n p p ~ @ 3 n p
W - -
3 N 3N
folgt.. Nun ist
kann also tiber die Seite 9/~3 aus dem Drei-
Die
I I
P,/ . . . 55)
54)$ kann verschwinden oder he-
~.9~7. G~Srges, tiber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw.
19
V[.Bd. ~. u,2.Heft.
Daher wird
~ = g u
= + uv + v~.Vt, ~/7-:-:av- -
- - 3 ~ - (4 P ) - - (2 p* - - 6 n pa) @ (p, __ 6 n p~ + 9 n~ P~)
'~ p _ _ p
I n ~ p~
cos ( 9 1 ~ ) = 3 P ~ @ 3 n~ 3(Pe + 3 n 2 ) o"
~,~- (p~ + 3 n 9)/
liegt also auf einem Halbkreise tiber 9192. Welter ist
A a
-~_ n p ~ - - - .
tang ( ~ 9 1 ~ ) = ~ P :
9A~ ]/3(p2~@3 n~) Vp 2 @ 3 ' n ~ ] / 3 . n 3coC
Demnach liegt G so, als wenn A nur durch den wahren Widerstand R a ~
z/Aa, M
durch die gesamte KapazitS.t 3C mit der Erde verbunden w/ire. s wandert mit wach- sendem
A~
keineswegs geradlinig auf 9I .zu, sondern weicht nach rechts aus, W e n nAa~-]/fcoC
ist, liegt ~ auf der Mitte yon 91N, es ist dannWird A a gr613er, so tritt G aus dem Dreieck heraus, bei A a ~ o o oder R a = o f/ilk mit 91 zusammen. Es ist dann
Pa : o, Pb : . P c : P"
Wenn Punkt ~) die Mitte yon 9~g2 ist und die Verl/ingerung yon Gg) den Halb- kreis in @ schneidet, so ist G~ der gr6gte Wert, den Pc annehmen kann. Nun ist
~ - - ~ I ~ _ _ ~ 1
~ - ( ~ + ~ ) 9 1 + ~
- - 1 f " l lr
. . . . . 9 . ~56)
Daher hat die S trecke G g) die Koordinaten
u = ~ , v - - ~ , W - - g - - ~ - - I = 6
und es wird
g ~ = ]/u~ @ uv @ v2.P = - ~ g x 6 @ 4 @ I .P = 1. ] / ~ . p = o , 7 6 4 . P . Da ferner
~ , 3 = % 9 1 = ! . ! ~ A - . P 3 2 " 0 - - ~
so wird
I 6
Die gr6ISte Spannung der Leitung C gegen die Erde fibertrifft also die Betriebs- spannung um fund 5 HundertsteL
Die Koordinaten y o n G sind die von g2 nach 56)
~ 1 = o , i l l = O , 7 1 = I ,
~ = ~ , A = ~ , y~=~.
Setzt man die Koordinaten von ~ gleich
~i, ,h, Ci,
25
A r c h i v Iiir
90 Gtirges, t3ber die graphische Darstellung des Wechselpotentials usw. Elektroteehnik.
so erh~ilt m a n aus 51) oder
Aus 54) erNilt m a n hiermit
und daraus oder woraus
~ -- -~ ~ = o ,
~i = 4~/i"
4 n~ @ P~
I = n ~ @ n p p = 2 n - t - 1 / 7 . n
A s ~-- (21/3 @ g ~ ) r ~-~ 8,04 roe
folgt. Bei diesem W e r t tritt die gr613te S p a n n u n g zwischen der L e i m n g C und der E r d e auf.
D. Kondensator und Induktionsspule in ReihenschaRung.
L e i m n g A sei durch Kapazit~it C, Leitung B durch wahren Widerstand R und Selbstinduktivit~it L i n R e i h e n s c h a l m n g mit der E r d e verbunden. Zur Abkiirzung werde
gesetzt.
I
a~C Man hat dann
R a = o , L a = o ,
C = C, D a h e r ist
- - c , r S = c - - I . . . 57)
R b ~ R , R c ~ - (x~,
L b = L , L e ~.~ oo.
C b = o c , Cr ~ o, R
A a ~ ~ A b = R ~ j_m~L~, A c ~ ~
Folglich
a~L
B a = co C , B b ~--- R~ @ m~L~, B o ~--- o .
VSR
c
coL 1
p ~ R~ -~- a~2L ~ ~ R ~ @ P '
VSR V2R
q ~ R ~ .~_ r~ ~ L~ co C ~ R ~ _@ 1~ c ' m L I {_R 1 r = a)C ~ - R ~ - j - co~L2 = c -~--1 ~"
R ~ + 1 ~ ,
. . . . 5 8 )
Nach 33) und 34) war ftir rechtwinklige Koordinaten mit Nullpunkt ill 9/ und Rich- tung der x - A c h s e in der Richtung 9/~3
1917' G S r g e s , {Jber die g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g des W e c h s e l p o t e n t i a l s u s w . 21
VLBd. 1.u.z.Heft.
x = ~ ( 2 , 7 + r
. . . . .33)
34)y = - ~ - V S - ~ , v
Nun erh/ilt m a n a u s 32)
( m2 --1-- 3 ne) (2 ~/-~- ~) ~ 3 (n - - r) n @ (2 q - ~ r @ n) m . (me @ 3n~) r = n (n @ q - - p ) @ r m .
Setzt m a n hierin die W e r t e aus 5 8) ein, So ergibt s i c h m2 @ 3 ne ~--- 3 [ R~" -~- (1 - - c) 2]
(lae + r') c 2 '
r 6(c
- - 1)( m e + 3n~)(2~] @ ) ~ - ~ ( l ~ ) c '
2 V ~ R
(m 2 @ 3 ne) : - -(R~
+ 12) c
Hieraus folgt( c - - l ) c ~ - - t o L ~oC x - - Re -@ (c --1)2 " P - - Re + ( ~ I _ _ c o L ) 2 ' p '
. . .
59)
I
R c R - -
Y = Re + ( c - - 1)~" e = o , c
2 . t 3 .R e + 7-0
Eliminiert m a n aus diesen beiden Gleichungen entweder C oder L oder R , so er- h/ilt m a n j e d e s m a l eine Gleichung zweiten Grades zwischen x und y m i t gleich g r o g e n Koeffizienten yon x ~ und y2, d . h . ~ b e w e g t sick wenn m a n n u r eine der GrN3en L, C und R //ndert, jedesmal auf e i n e m Kreise. W i r wollen n u t den Kreis betrachten, der sich ergibt, wenn m a n L eliminiert. Zun/ichst ist
C 2
- - . 1 3 9 .
xe -~- Y~ R ~ @- (c - - 1) 2 D a h e r
x ~ -~- y ~ _ _ c "P,
y R
oder
R (xe-q- ye) ,&- c P y ~ o . . . 60) Verschiebt m a n den Nullpunkt des K o o r d i n a t e n s y s t e m s u m Y0 senkrecht zu 91~ nach unten, i n d e m m a n
Y = Yl @ Yo setzt, so wird mit
C
Yo = - - 2 R " P
ce .pe : 61)
R . x e _ _ y l e = 4 K ( @- ) -~- . . . . und m a n erh/ilt fiir den H a l b m e s s e r r des Kreises, der 9.I~ in ~I bertihrt
c P
r ~--- - - P - - 62)
2 R 2 m C R . . .
Archly ftlr 22 G/Srges, 13bet die graphische Darstellung des ~Vechselpotentials usw. Elektrotechnik.
A u f d e m so bestimmten Kreise b e w e g t sich g , wenn L allein ge~indert wird. W e n n L - ~ - o ist, so ist
x c I
y R c o C R
Punkt g f~illt dann, Abb. 16, in einen Punkt g 0 , der auf d e m tiber ~ g e s c h l a g e n e n Halbkreise liegt, wie es ja a u c h sein muB, well jetzt nur w a h r e r W i d e r s t a n d und Kapa- zit~it zwischen A und B v o r h a n d e n sin& Der H a l b m e s s e r r ist u m so grSger, je kleiner der W i d e r s t a n d R und die Kreisfrequenz co sind. Verschwindet der W i d e r s t a n d R
Y,
X
Abb. 16.
ganz, so b e w e g t sich g auf der durch 9I und ~ gelegten unendlichen Geraden auBer- halb der Strecke ~[~, wie schon friiher am Schlusse yon Beispiel B I gefunden war.
W~ichst L yon Null beginnend, so wird zun~ichst der Zahlenwert y o n y gr613er, g be- w e g t sich also yon g 0 in der Richtung des Uhrzeigers. W e n n L = co wird, erreicht
den Punkt 9I.
Enth~ilt die Induktionsspule Eisen, so gelten diese Betrachtungen n/iherungsweise.
W e n n m a n die Magnetisierung des Eisens steigert, n i m m t die Selbstinduktivitiit bei gleichbleibender Windungszahl ab, der Punkt b e w e g t sich also etwa yon g l nach g 2 - W i r d ' d a b e i ein Grenzwert tiberschritten, so /indert sich die mittlere Selbstinduktivit~it f a s t sprui~gweise und g 0 springt etwa yon g~ nach g s " Es sind daher im allgemeinen zwei Gleichgewichtszust~inde m6glichl wie z u e r s t H e r r O. M a r t i e n s s e n gezeigt hat1).
Befindet m a n sich z.B. bei d e m Gleichgewichtszustand g 2 und steigert m a n die Span- n u n g 9.I~, so tritt sprungweise der Gleichgewfichtszustand__ in der G e g e n d yon g 8 ein und bleibt bestehen, auch wenn m a n die Spannung ~ wieder auf den alten W e r t bringt. Die Kurven sind in diesem Falle kelne Kreise mehr, da sich, wie auch Herr M a r t i e n s s e n bemerkt, der wirksame W i d e r s t a n d mit der Magnetisierung findert.
I) O. M a r t i e n s s e n , ,.fJber einen neuei1 Frequenzmesser der Siemens & Halske-A. G.", ETZ 191o, S. 2o4; derselbe: ,,Uber neue Resonanzerscheinungen in Wechselstromkreisen ~, Physikal.
Zeitschr. 191o, S. 448; B i e r m a n n s : Archly ftir Elektrotechnik 1915, S. 345; P e t e r s e n , ETZ I915, S. 353 ~ Diskussion im El. Verein, ETZ 1916, S. 148 u. 252. Eine Bestimmung der Gleichgewichts- zusti~nde nach der topographischen Methode wird vom Verfasser in der ETZ erscheinen.
