Kapitel 9
Produktionsfunktionen
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Produktionsfunktionen
• Darstellung von Produktionstechnologien – Produktionsfunktionen für ein Output
• Graphische Darstellung von Produktionsfunktionen:
– Isoquanten
• Die Grenzrate der technischen Substitution (RTS) – Maß der Substituierbarkeit von Inputs
• Steigende, fallende und konstante Skalenerträge
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Firmen
Theorie der Produktion und des Angebots:
• Die Produktion von Gütern und Dienstleistungen erfolgt fast immer durch Firmen.
• Wir untersuchen hier wie die Marktpreise die
Produktionsentscheidungen der Firmen beeinflusst, die Theorie des Angebots.
• Eine Firma ist dabei durch ihre Möglichkeit dargestellt mit einem Set von Inputs bestimmte andere Güter als Outputs zu produzieren.
• Mit nur einem Output kann diese Produktion durch eine Produktionsfunktiondargestellt werden.
• Beispiel: Bei 2 Inputs (Kapital, Arbeit) und 1 Ouput (Autos) hat die Produktionsfunktion die Form:
) , ( K L F Q
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Firmen
Kommentar:
• Eine Firma ist somit definiert durch ihre Technologie mit der sie Inputs in Outputs transformieren kann.
• Diese Definition reduziert eine „Firma“ zu einer mathematischen Beschreibung ihrer Produktions- möglichkeiten.
• Das Rationalitätsprinzip: Wir vernachlässigen die Entscheidungsprozesse innerhalb der Firma und nehmen an, dass diese optimal sind.
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Firmen
Das Grenzprodukt eines Inputs:
• Misst die Veränderung im Ouput die aus einer kleinen (marginalen) Veränderung eines Inputs resultiert.
• Gewöhnlich ist das Grenzprodukt in diesem Input fallend:
L L K MP F
K und L K
MP
KF
L
( , ) ( , )
) 0 , 0 (
) , (
2 2 2
2
L L K und F
K L K F
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Isoquanten
Die Isoquanten:
• Stellen die Produktionsfunktion durch ihre Höhenlinien dar.
• Eine Isoquante ist somit der geometrische Ort aller Input- kombinationen die den gleichen Output ergeben.
• Die Form der Isoquante gibt den Grad der Substituierbarkeit der Inputs an.
• Die Graphik gibt zwei Isoquanten einer Firma an die mit Inputs K und L Output produziert wobei die Mengen Q1<Q2<Q3.
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Isoquanten
Grenzrate der technischen Substitution (RTS):
• Die Steigung der Isoquante, das Maß zu dem Inputs substituiert werden können.
• Formal gegeben durch den Satz von den Impliziten Funktionen:
• Dieses Verhältnis der Grenzprodukte ist eine positive Zahl.
• Annahme: RTS ist eine fallende Funktion. Wenn das Verhältnis von L zu K steigt fällt das Grenzprodukt von Arbeit relativ zum Grenzprodukt von Kapital.
K L Q
L K F K
L MP
MP K
L K F
L L K F dL
RTS dK
( , )
) , (
) , ( ,
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Beispiele
Die Cobb-Douglas Technologie:
• Die Grenzprodukte MPKund MPLfallen wenn α,β<1.
L K L
AK L RTS AK
L AK MP
L AK MP
L AK L K F
L K
1 1 1 1
) , (
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Beispiele
Vollständige Komplemente: Vollständige Substitute:
aK bL
L K
F ( , ) min , F ( K , L ) aK bL
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Skalenerträge
Skalenerträge in der Produktion:
• Wie verändert sich der Output wenn ich alle Inputs skaliere?
• Konstante Skalenerträge: Eine Verdopplung der Inputs führt zu genau einer Verdopplung des Outputs.
• Steigende Skalenerträge: Eine Verdopplung der Inputs führt zu mehrals einer Verdopplung des Outputs. (Beispielsweise benötigen größere Firmen nicht unbedingt ein proportional vergrößertes Management und man kann sie somit effizienter managen.)
• Fallende Skalenerträge: Eine Verdopplung der Inputs führt zu wenigerals einer Verdopplung des Outputs. (Bestimmte Inputs wie z.B. Land oder hoch spezialisierte Arbeitskräfte sind nicht so einfach zu replizieren.)
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Skalenerträge
Formal: Eine Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen ist homogen vom Grad 1:
• Wenn mit s<1→fallende Skalenerträge
• Wenn mit s>1→steigende Skalenerträge
• Beispiel: Cobb-Douglas Technologie:
• Technologie hat konstante Skalenerträge wennα+β=1.
• Technologie hat steigende Skalenerträge wennα+β>1.
• Technologie hat fallende Skalenerträge wennα+β<1.
L K L K F ( , )
) , ( ) ,
( tK tL tF K L
F
) , ( ) ,
( tK tL t F K L
F
s) , ( ) ,
( tK tL t F K L
F
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Kapitel 9 Konzepte
• Inputs, Outputs
• Produktionsfunktion
• Grenzprodukt
• Isoquanten
• Grenzrate der technischen Substitution (RTS)
• Konstante, steigende, fallende Skalenerträge
• Cobb-Douglas Technologie
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