Statistik IV

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Sommersemester 2008

FAKULT ¨AT STATISTIK 30.4.2008

Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 4

Dipl.-Stat. M. Arnold Dipl.-Math. R. Kwiecien

Ubungen zur Vorlesung¨

Statistik IV

Aufgabe 13

SeienX₁, . . . , X_n unabh¨angig identisch verteilt mit Erwartungswertµ und Varianzσ². a) Verwenden Sie die quadrierten Differenzen

(X_i−X_j)², um einen erwartungstreuen Sch¨atzer f¨urσ² zu konstruieren.

b) Zeigen Sie:

1 n(n−1)

n−1X

i=1

Xn

j=i+1

(X_i−X_j)²= 1 n−1

Xn

i=1

(X_i−X)¯ ².

Aufgabe 14

Sei X_(j) die j-te Ordnungsstatistik einer Stichprobe vom Umfang 5 aus einer stetigen Verteilung undx_γ dasγ-Quantil dieser Verteilung. Bestimmen Sie

a)P(X₍₁₎ < x_0,5 < X₍₅₎), b) P(X₍₄₎ < x_0,8 < X₍₅₎).

Aufgabe 15

Zeigen Sie, dass die Wilcoxon-StatistikW =P_m

i=1R_i¨aquivalent ist zur StatistikT = ¯R−Q, wobei ¯¯ R und ¯Qden Durchschnitt der R¨ange derX₁, . . . , X_mbzw.Y₁, . . . , Y_nin der kombinierten Stichprobe bezeichnen. Damit kann der Wilcoxon-Test als formales Analogon zum t-Test aufgefasst werden, indem die Beobachtungen x_i und y_j durch die R¨ange r_i und q_j ersetzt werden (i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n).

Aufgabe 16

Zeigen Sie, dass die Wilcoxon-StatistikW =P_m

i=1R_i ¨aquivalent ist zur Mann-Whitney-Statistik U =

Xn

j=1

Xm

i=1

χ(X_i−Y_j),

wobei

χ(X_i−Y_j) =







1, falls X_i ≥Y_j, 0, falls X_i < Y_j.

Abgabe: Mittwoch, 7.5.2008, 8:15 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer. Bitte vermerken Sie auf der Abgabe, welche ¨Ubung Sie besuchen.