TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Sommersemester 2008
FAKULT ¨AT STATISTIK 25.6.2008
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 11
Dipl.-Stat. M. Arnold Dipl.-Math. R. Kwiecien
Ubungen zur Vorlesung¨
Statistik IV
Aufgabe 41
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der kontaminierten Exponentialverteilung (1−γ)Exp
µ1 θ
¶
+γExp µ 1
3θ
¶ .
b) SeienX1. . . , Xnunabh¨angig identisch verteilt gem¨aß der Verteilung aus (a). Der ¨ubliche Sch¨atzer f¨ur den Erwartungswert θ der Exp(1θ)-Verteilung ist ¯X, das arithmetische Mittel. Bestimmen Sie den mittleren quadratischen Fehler MSE( ¯X, θ) als Funktion von γ.
Aufgabe 42
Untersuchen Sie per Simulation die Robustheit dest-Tests gegen¨uber autokorrelierten Beobachtun- gen, d.h.,
Corr(Xi, Xj) =ρ|i−j|.
Erzeugen Sie dazu viele Realisationen einer Stichprobe vom Umfangn= 10 aus einer Normalvertei- lung mit dieser Korrelationsstruktur und berechnen Sie f¨ur jede der Realisationen die Pr¨ufstatistik des t-Tests f¨ur die Hypothese H0 : µ = µ0. In wieviel Prozent der F¨alle wird die Nullhypothese verworfen?
Hinweis: Zur Konstruktion einer Stichprobe mit dieser Korrelationsstruktur k¨onnen Sie die Matrix V12 verwenden, wobei
V =
1 ρ ρ2 . . . ρn−1 ρ 1 . .. ... ρ2 . .. 1 ... ...
... . .. 1 ρ
ρn−1 . . . . ρ 1
.
Aufgabe 43
Wie aus der Vorlesung bekannt, gilt f¨ur die asymptotische relative Effizienz des Hodges-Lehmann- Sch¨atzers ˜θ im Vergleich zum arithmetischen Mittel ¯θ
ARE(˜θ,θ) = 12σ¯ 2 µZ ∞
−∞
[f(x)]2 dx
¶2 .
Zeigen Sie, dass dieser Wert bei der Normalverteilung gleich π3 ist.
Aufgabe 44
a) Betrachten Sie die folgende Realisation einer Stichprobe vom Umfang 11:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 .
Arithmetisches Mittel ¯X, γ-getrimmtes Mittel ¯Xγg,γ-winsorisiertes Mittel ¯Xγw sowie Median ˜X sind hier jeweils gleich 0.
Sei γ = 0,2. Wie viele der 11 Beobachtungen m¨ussen Sie jeweils ab¨andern, damit ¯X, ¯Xγg, ¯Xγw bzw. ˜X einen Wert gr¨oßer als 1000 erreichen?
b) Unter dem endlichen Bruchpunkt bn eines Sch¨atzers versteht man den kleinstm¨oglichen Anteil bn ∈(0,1) unter allen nBeobachtungen X1, . . . , Xn, bei dem der Sch¨atzer durch Variation dieses Anteils der Stichprobenwerte unbeschr¨ankt ist. Der asymptotische Bruchpunkt b eines Sch¨atzers stimmt zumeist mit limn→∞bn uberein.¨
Bestimmen Sie f¨ur die Sch¨atzer arithmetisches Mittel,γ-getrimmtes Mittel,γ-winsorisiertes Mittel sowie Median die endlichen Bruchpunktebn sowie deren Grenzwerte f¨ur n→ ∞.
Abgabe: Mittwoch, 2.7.2008, 8:15 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer. Bitte vermerken Sie auf der Abgabe, welche ¨Ubung Sie besuchen.
