Allgemeine Mechanik – WS 05/06 – Prof. M. Gaberdiel
Ubungsserie IV ¨
Abgabe: 5.12.2005
Aufgabe 1 [Ged¨ampfter Oszillator ]: Die Bewegung eines ged¨ampften harmonischen Oszillators erfolgt nach der Gleichung
¨
x=−ω02x− 1 τx .˙ (i) Zeige, daß sich die L¨osung als
x(t) =x0e−2tτ cos r
ω02− 1
4τ2 t+ϕ
!
schreiben l¨asst.
(ii) Berechne die mittlere kinetische Energie T¯= ω
2π
Z 2π/ω 0
T(t)dt , wobei ω =q
ω20− 4τ12 ist und T = 12x˙2. Berechne weiterhin die mittlere potentielle Energie ¯V, wobei V(t) = 12ω20x2(t). Wieviel Energie wird im Mittel dissipiert?
Hinweis: Die Berechnung von ¯T l¨asst sich durch die Benutzung der Relation ˙x2 = x¨x+ω2x20e−τt einerseits und die partielle Integration andererseits vereinfachen. F¨ur die mittlere Energiedissipation berechne den Faktor, um den sich die mittleren Ener- gien zweier aufeinanderfolgender Perioden unterscheiden.
(iii) W¨ahrend bei der normalen Schwingungsgleichung ¨x = −x die Amplitude durch Anfangswerte beliebig vorgegeben werden kann, besitzt dievan der Pol – Gleichung
¨
x=−x+ x(1˙ −x2) τ
f¨ur große τ n¨aherungsweise – nach einem Einschwingvorgang – eine freie Schwin- gung mit fester Amplitude als L¨osung. F¨ur kleine Amplituden schaukelt sich die Schwingung auf, w¨ahrend große Amplituden durch den Vorzeichenwechsel des Zu- satzterms ged¨ampft werden. In dem auf diese Weise erreichten Grenzzyklus halten sich schließlich Gewinn und Verlust gerade die Waage. Bestimme die Amplitude des Grenzzyklus mit dem Ansatz x(t) =Asin(t).
Hinweis:Benutze sin2(t) cos(t) = 14(cos(t)−cos(3t)) und ignoriere alle Terme h¨oherer Frequenz (“Verfahren der harmonischen Balance”).
Aufgabe 2 [Periheldrehung ]: Im Rahmen der ART erf¨ahrt das effektive Potential des Kepler-Problems in erster N¨aherung eine Ver¨anderung zu
U(r) =−M r + ℓ2
2r2 + α r3 .
Hierbei spielt α die Rolle eines kleinen St¨orparameters, und unsere Einheiten sind so gew¨ahlt, daß G = m = 1. Nach wie vor sind der Drehimpuls ℓ = r2φ˙ und die Energie E = 12r˙2+U(r) erhalten.
(i) Leite f¨ur die Variable u(φ) = 1r aus E′ = 0 die Differentialgleichung
u′′+u=ℓ−2(M −3αu2) (1) her; hierbei ist′ = ∂φ∂ .
(ii) Das ungest¨orte Problem (α= 0) hat die L¨osung
u0(φ) =ℓ−2M(1 +ǫcos(φ)).
Berechne damit f¨ur 0< ǫ <1 die Verschiebung ∆φdes Perihels in erster Ordnungα.
Hinweis: Setze in (1) auf der rechten Seite die ungest¨orte L¨osung ein und benutze
u′′+u=
A mit L¨osung u=A ,
Acos(φ) mit L¨osung u= 12Aφsin(φ), Acos2(φ) mit L¨osung u= 12A− 16Acos(2φ).
Benutze als Anfangswerte f¨urudie Werte der ungest¨orten L¨osung im Perihel:u(0) = u0(0) und u′(0) = u′0(0). Das Perihel wird erreicht f¨ur u′ = 0. Nimm an, daß die Perihelverschiebung ∆φ klein ist, und entwickle u′(2π+ ∆φ) linear.
(iii) Die Abplattung der Erde bedingt eine Abweichung vom Potential −M/r von der Form (Quadrupolfeld)
V˜(~x) =−J M 2r3
R r
2
(x21+x22 −2x23)
(r = |~x|, M: Erdmasse, R: mittlerer Erdradius, x3-Achse nach Norden gerichtet).
Ein Satellit, dessen Bahn in der ¨Aquatorebene liegt, hata = 2R (große Halbachse) und ǫ= 0.3 (Exzentrizit¨at). Bestimme J aus der Perig¨aumsverschiebung
∆φ= 3,08·10−3 rad pro Umdrehung.
Hinweis:F¨ur Bahnen in der ¨Aquatorebene darfx21+x22−2x23in ˜V durchx21+x22+x23 = r2 ersetzt werden. Wieso?
