TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Sommersemester 2008
FAKULT ¨AT STATISTIK 16.4.2008
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 2
Dipl.-Stat. M. Arnold Dipl.-Math. R. Kwiecien
Ubungen zur Vorlesung¨
Statistik IV
Aufgabe 5
Die Zufallsvariablen X1, . . . , Xn seien unabh¨angig identisch verteilt gem¨aß einer symmetrischen Vierfeldertafel:
A \ B 1 2
1 θ11 θ12 2 θ21 θ22 Dabei ist θkl ≥ 0, k, l = 1,2, θ12 = θ21 und P2
k=1
P2
l=1θkl = 1. Diese Vorgaben definieren eine parametrische Verteilungsfamilie mit dem Parametervektor θ= (θ11, θ12, θ21, θ22)0. Die Dichte von Xi lautet
f(xi|θ) =θ111{11}(xi)θ112{12}(xi)θ1{21}{21}(xi)θ122{22}(xi), wobei
1{kl}(xi) =
1, Merkmal A vonXi ist gleich k und Merkmal B von Xi ist gleichl 0, sonst
f¨urk, l= 1,2 und P2
k=1
P2
l=11{kl}(xi) = 1 gilt. Seien Nkl:=
Xn
i=1
1{kl}(xi), k, l= 1,2
die Zellh¨aufigkeiten der jeweiligen Zellen der Vierfeldertafel. Zeigen Sie, dass (N11, N12+N21)0 eine suffiziente Statistik f¨ur die Parameter dieser Verteilungsfamilie ist.
Aufgabe 6
Nachdem Chirurgen entdeckt hatten, dass saubere Verb¨ande die Heilung einer Wunde beeinflussen, versuchte Chirurg Lister, mit sterilen Verb¨anden bessere Heilerfolge zu erzielen. Er erhielt folgende Daten:
steriler Verband gew¨ohnlicher Verband
Zustand der Wunde gut 14 9
Blutvergiftung 1 6
Sei
p1 = P(Blutvergiftung|steriler Verband), p2 = P(Blutvergiftung|gew¨ohnlicher Verband).
Bestimmen Sie ein asymptotisches 95%-Konfidenzintervall f¨ur die Differenzp1−p2.
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass sich die Nullhypothese
H0:pij =pi.p.j, i, j = 1,2
¨aquivalent schreiben l¨asst als
H0∗ :p11=p1.p.1 oder
H0∗∗:p11p22=p12p21. Aufgabe 8
Seien X und Y zwei unabh¨angige dichotome Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 die Werte 0 bzw. 1 annehmen. D.h., die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung vonX und Y lautet wie folgt:
X \ Y 0 1
0 0,25 0,25 0,5 1 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 1
.
a) Simulieren Sie f¨ur die Stichprobenumf¨angen= 10,30,50 und 100 jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass der χ2-Unabh¨angigkeitstest die Nullhypothese der Unabh¨angigkeit von X und Y verwirft.
Geben Sie ein Niveau von α = 0,05 vor. Erzeugen Sie dazu f¨ur jeden der Stichprobenumf¨ange jeweils zahlreiche Realisationen der Vierfeldertafel und f¨uhren Sie denχ2-Test auf Unabh¨angigkeit durch. In wieviel Prozent der Realisationen wird die Nullhypothese der Unabh¨angigkeit verworfen?
N¨ahert sich dieser Prozentsatz f¨ur wachsendesndem vorgegebenen Niveau an?
b) Wie sind diese simulierten tats¨achlichen Ablehnwahrscheinlichkeiten verteilt (in Abh¨angigkeit von der wahren Ablehnwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Wiederholungen)?
c) Wieviele verschiedene Werte nimmt die Teststatistik f¨ur die verschiedenen Stichprobenumf¨ange an?
Abgabe: Mittwoch, 23.4.2008, in der Vorlesung. Bitte vermerken Sie auf der Abgabe, welche ¨Ubung Sie besuchen.
