Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . 4
Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen im Koordinaten- system einzeichnen . . . 5Zwei lineare Gleichungen im Koordinatensystem einzeichnen . . . 6
Was der Schnittpunkt bedeuten kann . . . 7
Gleichungen und Schnittpunkte vertiefen . 8 Mengen von Schnittpunkten . . . 9
Grundlagen von linearen Gleichungs - systemen . . . 10
Umformungen in linearen Gleichungs- systemen I – Addition und Subtraktion . . . . 11
Umformungen in linearen Gleichungs- systemen II – Multiplikation und Division . . 12
Lösungsverfahren I – Gleichsetzungs verfahren . . . 13
Lösungsverfahren II – Einsetzungs verfahren . . . 14
Lösungsverfahren III – Additions- und Subtraktionsverfahren . . . . 15
Sachaufgaben I . . . 16
Sachaufgaben II . . . 17
Sachaufgaben III . . . 18
Sachaufgaben IV – Zusatzaufgabe . . . 19
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Wurzelziehen und die quadratische Gleichung . . . 20Quadratische Gleichungen – Einstieg . . . . 21
Ablesen von Scheitelpunkt und Nullstellen 22
Berechnen von Scheitelpunkt und Nullstellen . . . 23
Nullstellen mit der pq-Formel berechnen I . 24 Nullstellen mit der pq-Formel berechnen II 25
Einführung des Funktionsbegriffs . . . 26
Systematische Modifikation von quadra- Systematische Modifikation von quadra- tischen Funktionen – die Konstante c . . . 28
Funktionen im Koordinatensystem . . . 29
Systematische Modifikation – Übungsaufgaben . . . 30
Systematische Modifikation – die Formkonstante a . . . 31
Übungsaufgabe . . . 32
Anwendungsaufgabe . . . 33
Funktionen skizzieren . . . 34
Schnittpunkte berechnen . . . 35
Scheitelpunktform und Normalform . . . 36
Quadratische Ergänzung I . . . 37
Quadratische Ergänzung II . . . 38
Quadratische Ergänzung III . . . 39
Umrechnungen gemischt . . . 40
Satzgruppe des Pythagoras
Einstieg und Wiederholung der Begriffe . . . 41Grundlagen I – die Ähnlichkeitssätze . . . 42
Grundlagen II – weitere Begriffe . . . 43
Grundlagen III – der Höhensatz . . . 44
Grundlagen IV – der Kathetensatz . . . 45
Satz des Pythagoras I . . . 46
Satz des Pythagoras II – Übungsaufgaben 47
Gemischte Übungen . . . 48
Kreis, Zylinder und Kegel
Grundlagen . . . 49Umfang des Kreises . . . 50
Fläche des Kreises . . . 51
Anwendung: Umfang und Fläche . . . 52
Kreisbogen und Kreisausschnitt . . . 53
Oberfläche des Zylinders . . . 54
Volumen des Zylinders . . . 55
Oberfläche des Kegels I . . . 56
Oberfläche des Kegels II . . . 57
Sachaufgaben I . . . 58
Sachaufgaben II . . . 59
Inhaltsverzeichnis
VORSC
HAU
Lineare Gleichungen im Koordinatensystem einzeichnen
Zeichne die folgende lineare Gleichung mithilfe der einzelnen Aufgabenteile in das Koordinatensystem ein.
y = 4 3x + 5
1.
Eine lineare Gleichung hat zwei charakteristische Werte, welche die Gleichung unmittelbar bestimmt. Der (a) bestimmt den Schnitt- punkt mit der (b)-Achse. Die (c) bestimmt, wie stark sich die y-Werte mit den x-Werten verändern.
2.
Finde den (a)
heraus: (d)
3.
Bestimme die
(c):
(e)
4.
Trage nun die Gleichung in das Koordinatensystem ein.
5.
Wo schneidet die Gerade die
x-Achse?x =
(f)
Trage die Lösungen nun in das Kreuzworträtsel ein. Beachte dabei, dass Variablen, Zahlen und Brüche ausgeschrieben werden, wie man sie spricht.
1.
2.
3.
4.
5.
a c
b d
e
– 2
– 4
– 6
– 8 6
4
2 8 y
– 2 2 4 6 8
– 4 – 6
– 8 x
VORSC
HAU
In ein Koordinatensystem kann man auch mehrere Gleichungen einzeichnen. Dies hat den Vorteil, dass sich die beiden Gleichungen in ihrer Form direkt vergleichen lassen.
1.
Lies aus den folgenden Gleichungen Achsenabschnitt und Steigung ab.
y1
=
12x – 3 y2
= –
3 4x + 1y1
Achsen- abschnitt:
3 0,5 1 – 3 –
1 2A K C L Z
y2
Achsen- abschnitt:
4 +
3 4–
34
– 3 1
A M P O N
Steigung:
3 0,5 1 – 3 –
1 2H I S D U
Steigung:
4 +
3 4–
34
– 3 1
T A E I J
2.
Zeichne die Gleichungen nun in das Koordinatensystem ein.
Lies anschließend die Schnitt- punkte mit der x-Achse ab:
y1
1 –
1 2+
12
6 3
E L I A D
y2
1 –
3 4+
34
–
4 3+
43
E A N G R
Bilde aus den jeweiligen Kontrollbuchstaben in den Aufgaben 1 und 2 das Lösungswort.
1.
2.
Zwei lineare Gleichungen im Koordinatensystem einzeichnen
– 2
– 4
– 6
– 8 6
4
2 8 y
– 2 2 4 6 8
– 4 – 6
– 8 x
VORSC
HAU
Ordne zu und kreuze an.
Was der Schnittpunkt bedeuten kann
0,5 50 100 150 200 250 300 350 400 450
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Situation 1:
Christian ist gerade am Bahnhof in Köln angekommen, tritt aus dem Bahnhofsge- bäude und hält nach einem Taxi Ausschau.
Am Taxistand findet er zwei verschiedene Unternehmen. Das eine (A) verlangt einen Grundpreis von 3,00 ¤, wobei jeder Kilome- ter 1,20 ¤ kostet. Beim zweiten (B) bezahlt man 5,00 ¤ direkt und weitere 1,10 ¤ pro Kilometer. Er möchte nach Bergisch Glad- bach, was etwa 16 Kilometer entfernt ist.
Welches Taxi sollte er nehmen?
1. Taxi A (H) Taxi B (G) Ordne zu:
Situation 2:
Ein Automagazin hat einen Test durchge- führt: Auto gegen Flugzeug, wer ist schnel- ler? Dabei fuhr Person C um 12:00 Uhr (wird als Nullpunkt definiert) in München los nach Frankfurt. Der Bugatti Veyron schaffte eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 200 km / h. Person D fuhr zum Flughafen, das Flugzeug startete erst um 13:15 Uhr, erreichte aber eine durchschnittliche Ge- schwindigkeit von 560 km / h. Wer kam zuerst im ca. 400 km entfernten Frankfurt an?
2. Auto / Person C (E) Flugzeug / Person D (A) Ordne zu:
1. 2.
3. Bedeutung des Schnittpunktes:
Am Schnittpunkt treffen sich beide Taxis und besprechen den weiteren Weg. (B)
Der Schnittpunkt definiert genau die Entfernung, bei der man das Gleiche bezahlt, unabhängig da- von, welches Taxi man nimmt. (U)
4. Bedeutung des Schnittpunktes:
Am Schnittpunkt überholt das Flugzeug das Auto. (S)
Am Schnittpunkt treffen beide in Frankfurt ein. (E)
3. 4.
x y
x y
VORSC
HAU
Versuche die Verbindung zwischen der geschilderten Situation und dem LGS zu verstehen und löse das LGS anschließend rechnerisch. Kreuze bei der Lösung Zahlenwert und Einheit an.
1. Bankräuber fangen …
Nach einem Banküberfall wird das Fluchtauto, das mit einer Geschwindigkeit von 120 km / h fährt, von der Polizei verfolgt. Das Auto hat bereits 5 km Vorsprung. Die Polizei hat durch ihre Sirenen eine freiere Straße vor sich und erreicht eine Geschwin- digkeit von 140 km / h. Wie lange benötigt sie, um die Räuber einzuholen?
y = 120x + 5 y = 140x
x -Wert 1
4 (S) km (G)
1
2 (F) h (Y)
y -Wert
42,5 (O) km (T)
35 (S) h (E)
2. Technischer Fortschritt …
Die Firma Weber bekommt eine neue Fräsmaschine.
Die alte von 1976 ist nicht mehr auf dem neusten Stand und reicht allein nicht aus. Diese hatte 36 Jahre lang 7 000 Teile pro Jahr bearbeitet. Die neue dagegen schafft 13 000 Teile pro Jahr. Doch auch die alte wird noch weiterhin genutzt. Wann wird die neue Maschine die alte in der bearbeiteten Stückzahl eingeholt haben?
(Der Nullpunkt wird festgelegt auf das Jahr 2013, wenn die neue Maschine in Betrieb geht.)
y = 7 000x + (36 ¦ 7 000) y = 13 000x
x -Wert
41 (J) Stück (A)
42 (E) Jahre (M)
y -Wert
538 000 (S) Stück (E)
546 000 (F) Jahre (I)
3. Pay-TV
Ein Pay-TV-Sender bietet zwei verschiedene Vertrags- modi an. Entweder man bucht eine Flatrate und kann alle Sendungen frei sehen, oder man bezahlt eine geringe Grundgebühr und bezahlt zusätzlich pro gesehene Sendung. Dabei kostet die Flatrate 29,90 ¤ monatlich. Die monatliche Grundgebühr im anderen Modus kostet 8,90 ¤ plus 1,40 ¤ pro Stunde. Ab wann lohnt es sich, die Flatrate zu bestellen?
y = 1,40x + 8,90 y = 29,90
x -Wert
15 (H) Stunden (L)
18,2 (E) ¤ (O)
y -Wert
29,9 (E) Stunden (S)
8,9 (N) ¤ (R)
Bilde aus den angekreuzten Kennbuchstaben das 1.
2.
3.
Sachaufgaben I
VORSC
HAU
Du möchtest dich zwischen zwei Handyverträgen entscheiden:
1. a) Wie groß ist der „Achsenab- schnitt“ der ersten Gleichung?
¤
2. a) Wie groß ist der „Achsenab- schnitt“ der zweiten Gleichung?
¤
3. Bilde aus 1. und 2. ein lineares Gleichungssystem und löse es.
b) Bilde eine Gleichung, die den ersten Handyvertrag beschreibt.
b) Bilde eine Gleichung, die den zweiten Handyvertrag beschreibt.
4. Was bedeutet die Lösung dieses Gleichungssystems in der Ent- scheidung des Vertrags?
5. Welcher Vertrag ist sinnvoll, wenn man circa 10 Stunden pro Monat telefoniert?
Umkreise die jeweils richtige Antwort und bestimme das Lösungswort!
1.
2.
3. 4.
5.
Sachaufgaben II
1. Keine Grundgebühr Keine Vertragslaufzeit Pro Minute 12 Cent in jedes deutsche Netz
2. Grundgebühr: 5,00 ¤ Keine Vertragslaufzeit Pro Minute 8 Cent in jedes deutsche Netz
x = 15 / y = 125 → E
Gesprächsdauer, bis man den Betrag der Grundgebühr verbraucht hat → J Differenz der Grundgebühren
→ O 8 → W
0 → Q
y = 0,08x + 5 → D y = 12x + 0,12 → L
0,12 → S 0,08 → H
Vertrag 1 → N
x = 125 / y = 15 → R
Mindestlaufzeit der Verträge → C y = 5x + 0,08 → F
Gesprächsdauer, bei der beide → A y = 0,12x Vertrag 2 → T
5 → A 12 → B
