32. ¨ Ubung : Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen III

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik III (MB)

32. ¨ Ubung : Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen III

32.1 L¨osen Sie die exakten Differentialgleichungen.

(a) y²+ 2x y+ (x²+ 2x y)·y^′ = 0 (b) y³y^′+x³+x²y y^′+x y² = 0

(c) 3x²y−1 + (x³+ 2y sin 2y)·y^′ = 0 32.2 Pr¨ufen Sie nach, dass die Differentialgleichung

y e^xy + 1 +

x e^xy + x 2y

·y^′ = 0

nicht exakt ist, aber mit dem integrierenden Faktor µ=xy zu einer exakten Differentialgleichung wird.

L¨osen Sie diese.

32.3 L¨osen Sie die linearen Differentialgleichungen bzw. Anfangswertprobleme.

(a) x y^′+y =x sinx

(b) y^′+_x+1^y = 4e^2x, y(0) = 2 (c) y^′+_x2^x₊₂y−x= 0

(d) y^′+y sinx= 3x³e^cosx, y(−^π₂) = π (e) y^′−2y= 6 cos (2x)−2 sin (2x) +x−2x³

32.4 Finden Sie die Kondensatorspannung uC(t) aus der linearen Differentialgleichung von Aufgabe 30.4 unter der Anfangsbedingung uC(0) = 0.

Bestimmen Sie hieraus die Stromst¨arke i(t), und skizzieren Sie beide Funktionen.

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit