• Keine Ergebnisse gefunden

Ubungen ¨ Termersetzungssysteme – Blatt 7

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Ubungen ¨ Termersetzungssysteme – Blatt 7"

Copied!
2
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

RHEINISCH- WESTF¨ALISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN

LEHR- UND FORSCHUNGSGEBIET INFORMATIK II

RWTH Aachen·D-52056 Aachen·GERMANY http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/lufgi2/tes06/

LuFG Informatik II

Prof. Dr. J¨urgen Giesl Peter Schneider-Kamp, Stephan Swiderski, Ren´e Thiemann

Ubungen ¨ Termersetzungssysteme – Blatt 7

Abgabe am Dienstag, dem 12.12.2006, zu Beginn der ¨Ubung.

Aufgabe 1

(3 + 4 Punkte)

a) Beweisen Sie, dass die Teiltermrelation in der Einbettungsordnung enthalten ist, d.h., dass⊆ ≻emb.

b) Betrachten Sie die folgende Variante der Einbettungsordnung ≻emb, wobei s≻embt genau dann gilt, wenn

• st oder

• s = f(s1, . . . , sn), t = f(t1, . . . , tn), siemb ti f¨ur ein 1 ≤ i ≤ n und sj embtj f¨ur alle j 6=i.

Beweisen Sie, dass≻emb monoton und stabil ist.

Aufgabe 2

(3 + 3 Punkte)

Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

a) Ein TES R terminiert genau dann, wenn es eine Reduktionsordnung ≻ gibt, so dassl ≻r f¨ur alle Regeln l →r ∈ R gilt.

b) Sei ≻ eine stabile, irreflexive Relation, die die Teiltermrelation enth¨alt. Dann folgt auss ≻t, dass V(s)⊇ V(t).

(2)

Aufgabe 3

(1,5 + 1,5 + 1 Punkte) Betrachten Sie die folgenden Regeln:

plus(plus(x, y),0) → plus(x, y) (1) minus(minus(x, y), z) → minus(x,plus(y, z)) (2) minus(minus(s(x),s(y)),0) → minus(x, y) (3) Welche der Regeln (1)-(3) lassen sich mit den folgenden Ordnungen anordnen. Be- gr¨unden Sie Ihre Antwort kurz f¨ur jede Regel und jede Ordnung.

a) Die Einbettungsordnung ≻emb. b) Die Variante ≻emb aus Aufgabe 1.

c) Die lexikographische Pfadordnung (LPO) mit Angabe der Pr¨azedenz.

Hinweis: Achten Sie auf Teilmengenbeziehungen zwischen den Ordnungen.

Aufgabe 4

(6 Punkte)

Beweisen Sie die Vollst¨andigkeit des Kongruenzabschlusses (Satz 3.2.12), indem Sie die folgende Aussage mit noetherscher Induktion ¨uber n und s zeigen. Verwenden Sie als Induktionsrelation die lexikographische Kombination der Relationen>N und , wobei>N die ¨ubliche >-Ordnung auf N ist.

F¨ur alle n∈N und alle Terme s gilt:

Fallst ein Term und E ein Gleichungssystem mit

Subterms(s)⊆S, Subterms(t)⊆S, Subterms(E)⊆S und s ↔nE t ist, dann gilt s≡t∈CCS(E).

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

b) Untersuchen Sie f¨ur je zwei dieser Relationen, ob aus der Konfluenz der einen auch die Konfluenz der anderen Relation folgt (6 F¨alle). Geben Sie jeweils einen Beweis oder

RHEINISCH- WESTF¨ ALISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN. LEHR- UND FORSCHUNGSGEBIET

Zur Repr¨asentation einer Quasi-Pr¨azedenz eignet sich eher die Sichtweise einer (nicht- quasi) Pr¨azedenz ⊐ ¨ uber ≡- ¨ Aquivalenzklassen der Signatur. Dann

Eine weitere n¨utzliche Klasse von Reduktionsordnungen f¨ur den automatischen Ter- minierungsbeweis ist die Klasse der Polynomordnungen. Betrachten wir die erste Regel des TES

Ein Matching-Problem M ist in gel¨ oster Form gdw. Die Regeln sollten nicht nur - wie bei der Unifikation - auf Mengen operieren, sondern sie k¨onnen auch zum Ergebnis ⊥ f¨uhren,

c) Wahrscheinlich ist Ihre Konstruktion aus Teil a) ungeeignet, um die Unent- scheidbarkeit der Terminierung eines TES zu beweisen. Der Grund ist, dass auch

Bei der innermost-Auswertung sind kritische Paare nur an der Wurzelposition interessant, da jeder Term, der einen Redex als echten Teilterm hat, nicht an der Wurzel reduziert

• Auch mit der obigen Einschr¨ankung m¨ussen immerhin 16 kritische Paare ge- bildet werden (insgesamt sind