J. M¨uller/P. Beise Wintersemester 2009/2010 27.01.2010
11. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 02.02.2010 um 8:30 Uhr im Kasten 12
H31: Es seienX,Y Hilbertr¨aume undT ∈L(X,Y).
Zeigen Sie:
a) kT∗Tk=kT T∗k= kTk2.
b) IstX =Y undT = T∗, so istr(T)= kTk.
H32: Es seienXein Hilbertraum undL⊂ Xein Teilraum. Zeigen Sie:
a) L⊥ist abgeschlossener Teilraum vonX, b) L⊂ L⊥⊥ :=(L⊥)⊥.
c) IstLabgeschlossen, so istL= L⊥⊥.
H33: Es seienXein Hilbertraum und M⊂ Xeine ONB. Beweisen Sie:
a) Ist (ce)e∈M ∈RM beschr¨ankt undT = P
e∈M
cePe, so istσ(T)=σp(T).
b) Ist X separabel, dim(X) = ∞ und ist K ⊂ R kompakt, so existiert ein T ∈ L(X) symmetrisch mitσ(T)= Kundσp(T) abz¨ahlbar und dicht in K.
