Minimalächen AlexandraMeyer

LMU München • Alexandra Meyer

Minimalächen

Alexandra Meyer Minimalächen 1/15

Minimaläche

S ⊂

Minimaläche, p ∈ S,

B

( p ) ∈

mit genügend kleinem r > 0

A

( S ) ≤ A

( S

)

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Zugang von Haar

Der Lösungsansatz von Haar

div ∇ f

p

1 + |∇ f |

!

= 0 f |

= Φ

minimiert das Flächenfunktional A

( f ) =

Z

Ω

q

1 + |∇ f |

dx mit f : Ω →

, f |

= Φ

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Probleme und Lösungsweg

Probleme bei Minimierung von Flächen Minimalfolgen müssen nicht konvergent sein Weg:

•

A

auf Räumen verallg. Funktionen zu studieren

•

die Existenz der Minimaläche beweisen Lösung:

•

Strenge Konvexität von Ω - damit f beschränkt ist

•

Lipschitzstetigkeit - damit die Minimalfolgen konvergieren

•

Lipschitzkonstante Funktionen - Eindeutigkeit der Lösung

•

Bounded Slope Condition - Existenz der Lösung

Alexandra Meyer Minimalächen 4/15

Lipschitzstetigkeit

Denition von Lipschitzstetigkeit

f : Ω →

heiÿt Lipschitz-stetig auf Ω falls eine Konstante M ≥ 0 gibt mit

| f ( x ) − f ( y )| ≤ M | x − y | ∀ x , y ∈ Ω Die Lipschitzkonstante Lip(f) von f ist die kleinste dieser Zahlen

Lip (Ω) := { f : Ω →

| f Lipschitz stetig, f beschränkt } Satz von Rademacher

f : Ω →

Lipschitz-stetig, dann existiert eine Ableitung von f f.ü. auf Ω mit

|∇ f ( x )| ≤ Lip ( f ) ∀ x ∈ Ω dierenzierbar

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Eigenschaften von A

Satz

1

Auf Lip(Ω) ist A

ein konvexes Funktional

2

C ⊂ Lip (Ω) konvexes Teilmenge, die nicht zwei nur durch eine Konstante verschiedene Funktion enthält ⇒ A

streng konvex auf C Beweisskizze von (1): Mit f , g ∈ Lip (Ω), 0 ≤ t ≤ 1

A

( tf + ( 1 − t ) g ) ≤ tA

( f ) + ( 1 − t ) A

( g ) wobei Gleichheit gilt für t = 0 , t = 1 oder ∇ f = ∇ g fast überall.

Beweis von (2): Mit f , g ∈ Lip (Ω), 0 ≤ t ≤ 1

A

( tf + ( 1 − t ) g ) = tA

( f ) + ( 1 − t ) A

( g )

Mit (1) folgt ∇ f = ∇ g f.ü. Da f Lipschitz-stetig: ∇ f − ∇ g := ∇ϕ = 0 f.ü.

⇒ ϕ = konst ⇒ f = g nach Wahl von C

Beispiel: C = { f ∈ Lip (Ω) : f |

= Φ, f ∈ C

(Ω)} mit Randfunktion Φ

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Beschränkte Lipschitzkonstante Lip(f)

Denition

R ≥ Lip(Φ) : Lip

(Ω, Φ) := { f ∈ Lip(Ω) : f |

= Φ|

, Lip(f ) ≤ R } Satz

In Lip

(Ω, Φ) existiert genau ein f

∈ Lip

(Ω, Φ) mit A

(f

) ≤ A

(f ) ∀ f ∈ Lip

(Ω, Φ) Beweisskizze:

•

( f

) eine Minimalfolge in Lip

(Ω, Φ)

•

Man zeigt, dass die Minimalfolge gleichmäÿig beschränkt

•

Satz von Ascoli ⇒ ∃ Teilfolge(g

) und f

∈ C

(Ω) gegen die g

auf Ω gleichmäÿig konvergiert, f

∈ Lip

(Ω, Φ)

•

Mit Konvexität von A

folgt Eindeutigkeit.

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Vergleichssatz

Vergleichssatz

•

Ψ Lipschitz-stetige Funktion mit Lip (Ψ) ≤ R, g

sei A

minimal in Lip

(Ω, Ψ) , f

sei A

minimal in Lip

(Ω, Φ) , gilt Ψ ≤ Φ auf ∂Ω dann folgt

f

≤ g

auf Ω

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Beweis des Vergleichssatzes

Beweis: Mit h

:= min ( f

, g

) ∈ Lip

(Ω, Φ)

A

( f

) ≤ A

( h

) = A

( f

) + A

( g

)

⇒ A

( f

) ≤ A

( g

)

Analog für H

:= max ( f

, g

) ∈ Lip (Ω, Ψ) ⇒ A

( g

) ≤ A

( H

) folgt A

( g

) ≤ A

( f

)

zusammen folgt A

(f

) = A

(h

).

Mit der Eindeutigkeit von f

in Lip (Ω, Φ) ⇒ f

= h

= min ( f

, g

) mit der Vorraussetzung Φ ≤ Ψ folgt f

≤ g

auf Ω

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Bounded Slope Condition

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Bounded Slope Condition Denition

Γ := {(z , Φ(z )) : z ∈ ∂Ω} Randmannigfaltigkeit Denition von B.S.C.

Die Randmannigfaltigkeit Γ erfüllt die Bounded Slope

Condition(beschränkte Steigung) mit Konstange K ≥ 0 falls gilt, dass es für alle p = ( x

, Φ( x

)) ∈ Γ eine an-lineare Funktion L

:

→

L

( x ) = a

· ( x − x

) + Φ( x

) a

= a

( p ) ∈

gibt, mit den Eigenschaften

•

L

( x ) ≤ Φ( x ) ≤ L

( x )

•

| a

| ≤ K

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Satz

Ω ⊂

beschränkt und konvex, Φ : ∂Ω →

Lipschitz-stetig, B.S.C. mit K ≥ 0 erfüllt. Dann gilt: f

eind. Minimalstelle von A

in Lip (Ω, Φ) und

∀ R > K : Lip ( f

) ≤ K

Beweisskizze: x

∈ ∂Ω und L

≤ ϕ ≤ L

auf ∂Ω mit Lip(L

) ≤ K, L

( x

) = ϕ( x

) = L

( x

)

Vergleichssatz ⇒ L

≤ f

≤ L

auf Ω Für x ∈ Ω folgt:

f

( x ) − f

( x

) ≤ L

( x ) − f

( x

) = L

( x ) − L

( x

) ≤ K | x − x

| Analog: f

( x ) − f

( x

)| ≥ − K | x − x

|

⇒ | f

( x ) − f

( y )| ≤ K | x − y | ∀ x ∈ Ω, y ∈ ∂Ω

Alexandra Meyer Minimalächen 12/15

Abschlieÿender Satz

Satz

Sei Ω beschränkt und konvex sowie Φ : ∂Ω →

Lipschitz stetig. Erfüllen Ω und Φ eine B.S.C., so gibt es genau eine Funktion

f ∈ Lip (Ω, Φ) := { g ∈ Lip (Ω) : g |

= Φ} , so dass ∀ g ∈ Lip (Ω, Φ) gilt:

A

( f ) :=

Z

Ω

q

1 + |∇ f |

dx ≤ A

( g )

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Abschlieÿender Satz

Beweisskizze Wähle R > K, f

∈ Lip

(Ω, Φ) Minimalstelle. Lip ( f

) ≤ R Es gilt f

+ ε( g − f

) ∈ Lip

(Ω, Φ) ∀ g ∈ Lip (Ω, Φ), |ε| 1

⇒ A

( f

) ≤ A

( f

+ ε( g − f

)) daraus folgt:

Ω

∇

√

1+|∇f|²

dx = 0 mit

Ω

q

1 + |∇ g |

dx −

Ω

q

1 + |∇ f |

dx ≥

Ω

∇ f ∇( g − f )

1 +

∇ f |

dx

folgt:

Z

Ω

q

1 + |∇ g |

dx ≥

Ω

q

1 + |∇ f |

dx

Alexandra Meyer Minimalächen 14/15

Zusammenfassung

Das Flächenfunktional minimeren A

( f ) =

Z

Ω

q

1 + |∇ f |

dx Weg:

•

Strenge Konvexität von Ω - damit f beschränkt ist

•

Lipschitzstetigkeit - damit die Minimalfolgen konvergieren

•

Lipschitzkonstante Funktionen - Eindeutigkeit der Lösung

•

Bounded Slope Condition - Existenz der Lösung

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