Konforme Parametrisierung von Minimalächen

Konforme Parametrisierung von Minimalächen

Vera Muniak

LMU München

Zillertal 26.-29.06.2014

Was ist eine Minimaläche?

Denition

Eine Minimaläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat.

Denition

Mittlere Krümmung H: = ¹₂(k₁+k₂) H =0⇔k₁ =−k₂

Konforme Parametrisierungen

Denition

Sei S ⊂R³ eine Fläche undF : Ω→S (Ω⊂R²)ein lokales Koordinatensystem. Die Parametrisierung F heiÿt konform, falls

|∂_uF|=|∂_vF|und∂_uF ·∂_vF =0 auf dem Denitionsgebiet Ωgilt.

1. Fundamentalform

Theorem

IstF : Ω→S konform, so setzt man

λ²:= |∂_uF|²=|∂_vF|² und siehe die 1. Fundamentalform von S:

g_u,v= (h^∂f_∂

u,^∂f_∂

vi) =

λ² 0 0 λ²

Speziell ist dann:

det g =λ⁴

Lemma

Ist F eine konforme Parametrisierung von S und bezeichnet Hdie auf S erklärte vektorielle mittlere Krümmung, so gilt:

∂_u²F +∂_v²F =:4F =2H(F) :=2H(F)N(F) H und N sind intrinsische Gröÿen.

2. Fundamentalform

Denition

Sei h_u,v die 2. Fundamentalform von F mit h_u,v=

N·∂_u²F N·∂uF∂vF N·∂_uF∂_vF N·∂_v²F

dann erhält man durch die Konformitätsrelation:

h_u,v=

N·∂_u²F 0 0 N·∂_v²F

Denition

Die mittlere Krümmung (Skalar) ist:

H = ¹₂(k₁+k₂)

Die Normale ist:

N = _|∂^∂uFx∂vF

uFx∂vF|

damit erhält man die vektorielle mittlere Krümmung (Vektor) H=HN

Beweis:

Wir wissen, dassH = ¹₂(k₁+k₂) =H= ¹₂4F ·N und setzen H inHein:

H= ¹₂(4F ·N)N

Nun wollen wir zeigen, dass _|4F|^4F =N ⇔ 4F senkrecht auf dem Tangential steht. Es folgt:

∂_u²F ·∂_uF = ¹₂∂_u|∂_uF|²= ¹₂∂_u|∂_vF|² =∂_vF ·∂_u∂_vF =∂_vF ·∂_v∂_uF =

∂_v²F ·∂_uF −∂_v²F ·∂_uF =−∂_v²F ·∂_uF

⇒ H= ¹₂4F

Lemma

Lemma: Sei F konforme Parametrisierung der Klasse C² einer Fläche S.

Dann gilt:

S ist Minimaläche (H=0)↔F ist harmonisch (4F =0)

SeiF : Ω→R,Ω∈R²=Coen, eine beliebige Abbildung der KlasseC² . Wir schreibenz =u+iv für einen Punkt (u,v)∈Ωund setzten k = 1, 2, 3

ϕk(z) :=∂uF^k(z)−i∂vF^k(z)

Dann gilt:

a) ϕk holomorph aufΩfür jedesk =1,2,3 genau dann, wenn F auf Ω harmonisch ist.

Def: ϕholomorph ↔ Cauchy-Riemann-Dgl 1) ∂_uReϕ_k =∂_vImϕ_k 2) ∂vReϕk =−∂_uImϕk

Def: F harmonisch↔ 4F^k =0

Beweis:

4F^k =∂_u²F^k+∂_v²F =∂_uReϕ_k−∂_vImϕ_k Somit folgt:

4F^k =0↔∂_uReϕ_k =∂_vImϕ_k Da nach Cauchy-Riemann-Dgl.,

1)∂_uReϕ_k =∂_vImϕ_k und

2) ∂_vReϕ_k =∂_v∂_uF^k =∂_u∂_vF^k =−∂_u(−∂_vF^k) =−∂_uImϕ_k erfüllt sind.

b) F ist genau dann konform, wenn P³

k=1ϕ²_k ≡0 auf Ωist Beweis:

P3

k=1ϕ²_k(z) = P³

k=1(∂uF^k(z))²− P³

k=1(∂vF^k(z))²−2i P³

k=1∂uF^k(z)∂vF^k(z)