Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt
7. ¨ Ubung
Abgabe: Dienstag, 3. Dezember 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
21. Parametrisierung und Bogenl¨ ange
9+11=20 Punkte a) Finden Sie f¨ur die folgenden Kurven imR2von (0,0) nach (2,0) geeignete Parametrisierungen~ ri(t):
A: (0,0)→(0,1)→(2,1)→(2,0) auf drei geraden Teilkurven, B:(0,0)→(1,1)→(2,0) auf zwei geraden Teilkurven, C:(0,0)→(1,1)→(2,0) auf einem Halbkreis.
Die Kurven k¨onnen wie folgt parametrisiert werden (eine Parametrisierung ist nicht eindeutig):
~rA(t) =
0 1
!
t : 0≤t <1
−1 1
! + 1
0
!
t : 1≤t <3 2
4
!
+ 0
−1
!
t : 3≤t≤4
~ rB(t) =
1 1
!
t : 0≤t≤1
0 2
!
+ 1
−1
!
t : 1< t≤2
~rC(t) = 1
0
+
−cos(t) sin(t)
: 0≤t≤π
b) Die Bogenl¨ange einer Kurve ist die entlang der Kurve zur¨uckgelegte Wegstrecke. Diese l¨asst sich ¨uber das Wegintegral
L= Z t2
t1
|~r(t)|dt˙
bestimmen. Vergleichen Sie diese Formel mit der Herleitung f¨ur das Wegintegral entlang eines Vektorfeldes aus der Vorlesung. ¨Andern Sie die Herleitung, um auf das Wegintegral f¨ur die Bogenl¨ange zu kommen. Berechnen Sie anschließend die Bogenl¨ange der drei Kurven aus a) mittels des Wegintegrals.
~˙ rA(t) =
0 1
!
: 0≤t <1 1
0
!
: 1≤t <3 0
−1
!
: 3≤t≤4
⇒ LA= Z 1
0
=1
z }| {
|~r˙A(t)|dt+ Z 3
1
=1
z }| {
|~r˙A(t)|dt+ Z 4
3
=1
z }| {
|~r˙A(t)|dt= 4
~r˙B(t) =
1 1
!
: 0≤t≤1 1
−1
!
: 1< t≤2
⇒ LB = Z 1
0
=√ 2
z }| {
|~r˙B(t)|dt+ Z 2
1
=√ 2
z }| {
|~r˙B(t)|dt= 2√ 2
~r˙C(t) =
sin(t) cos(t)
: 0≤t≤π ⇒ LC = Z 0
−π
=1
z }| {
|~r˙C(t)|dt=π
22. Parabelflug
3+6+6=15 PunkteEin Massepunkt mit der Massembewegt sich in der N¨ahe der Erdoberfl¨ache unter Einfluss der Gewichtskraft F~G=−mg~ey entlang der ParabelbahnC mit der Parametrisierung
~r(s) =s~ex+
s−1 2s2
~ ey
unds∈[0,2].
a) Skizzieren Sie die Bahnkurve sowie das Kraftfeld.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
y
b) Berechnen Sie die f¨ur diese Bewegung aufzubringende Arbeit mittels des Wegintegrals
W =− Z
C
d~r·F~(~r) =− Z 2
0
ds~r(s)˙ ·F~(~r(s))
=− Z 2
0
ds 1
1−s
· 0
−mg
= Z 2
0
ds(1−s)mg
= 0
Es handelt es sich hierbei um ein konservatives Kraftfeld mit dem zugeh¨origen PotentialV = mgh. Somit l¨asst sich die Arbeit einfach durch den H¨ohenunterschied messen, der in unserem Beispiel null ist und somit auch die aufzubringende Arbeit.
c) Aufgrund eines Gegenwindes in x-Richtung wirkt zus¨atzlich die Kraft F~W =−w~ex.
Welche Arbeit muss nun aufgebracht werden?
W =− Z
C
d~r·F~(~r) =− Z 2
0
ds~r(s)˙ ·F~(~r(s))
=− Z 2
0
ds 1
1−s
· −w
−mg
= Z 2
0
ds((1−s)mg+w)
= 2w
23. Kraftfeld
15 PunkteGegeben sei ein Kraftfeld der Form
F~(~r) = 1 x2+y2
−y x
(siehe auch Aufgabe 16c). Berechnen Sie f¨ur dieses Kraftfeld die ArbeitW entlang der beiden geschlossenen WegeC1 und C2. Beachten Sie hierbei die in der Abbildung angegebene Umlauf- richtung.
Den geschlossenen Weg C1 k¨onnen wir parametrisieren durch
~
r(s) =r0
sin(s) cos(s)
: 0≤s≤2π.
Damit folgt f¨ur die Arbeit:
W =− Z
C1
d~r·F~(~r) =− Z 2π
0
ds~r(s)˙ ·F~(~r(s))
=− Z 2π
0
ds r0
cos(s)
−sin(s)
· 1 r0
−cos(s) sin(s)
=− Z 2π
0
ds(−1)
= 2π
Den geschlossenen WegC2teilen wir auf in 4 Teilkurven, die wir jeweils einzeln parametrisieren und f¨ur die wir anschließend die Arbeit berechnen. Wir k¨onnen die Parametrisierung f¨ur jede Teilkurve neustarten, um die Formeln so einfach wie m¨oglich zu halten. Rechnerisch macht dies keinen Unterschied:
1: ~r(s) =r2
sin(s) cos(s)
!
: 0≤s≤π 2: ~r(s) = 0
−r2+ (r2−r1)t
!
: 0≤s≤1 3: ~r(s) =r1
sin(s)
−cos(s)
!
: 0≤s≤π 4: ~r(s) = 0
r1+ (r2−r1)t
!
: 0≤s≤1
W1=− Z
C21
d~r·F~(~r)
=− Z π
0
ds(−1) (analog zuC1)
=π
W2 =− Z
C22
d~r·F~(~r)
=− Z 1
ds 0
r −r
·
1 r2+(r1−r2)t
0
W3 =− Z
C23
d~r·F~(~r)
=− Z π
0
ds r2
cos(s) sin(s)
· 1 r2
cos(s) sin(s)
=− Z π
0
ds1
=− Z 0
π
ds(−1)
=−π
W4=− Z
C24
d~r·F~(~r)
=− Z 1
0
ds 0
r2−r1
·
1
−r1+(r1−r2)s
0
=− Z 1
0
ds0
= 0
⇒Wges=W1+W2+W3+W4= 0
Das W2 = 0 und W4 = 0 sind, kann man auch von der Tatsache ableiten, dass die Feldlinien senkrecht zu allen Geraden stehen, die durch den Ursprung gehen:
F~(~r)·~r= 0
F¨ur die beiden anderen Wegst¨ucke kann die Rechnung f¨ur den WegC1 genutzt werden, wobei die Grenzen des Integrals sich zu Rπ
0 undR0
π ¨andern.
