Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen

Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen

Jedes einfach zusammenh¨angende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene kann durch eine konforme Abbildung f auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden.

F¨ur einen beliebigen Punktz0∈D kann die Abbildung durch die Bedingungen

f(z0) = 0, f⁰(z0)>0 eindeutig festgelegt werden.

Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 1-1

Beispiel:

konforme Abbildung der Halbkreisscheibe auf das Innere des Einheitskreises D : |z|<1,Rez >0 → K : |w|<1

Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen M¨obius-Transformation:

ξ= z+ i

iz+ 1

−i,1,i7→0,1,∞

=⇒ Halbkreis →R+

imagin¨are Achse invariant, −i,i7→0,∞

=⇒ Segment zwischen−i und i →positive imagin¨are Achse Vereinigung der Teilr¨ander korrekte Abbildung von∂D Quadrieren:

η=ξ² erster Quadrant →obere Halbebene H

Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 2-1

M¨obius-Transformation:

w = i−η i +η 0,1,∞ →1,i,−1 =⇒ H → K Gesamtabbildung

w = i−

z+i iz+1

2

i +

z+i

iz+1

2 =· · ·= −i(z²+ 2z−1) z²−2z−1

Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 2-2