21. Parametrisierung und Bogenl¨ ange

Institut f¨ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨at zu K¨oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ur das Lehramt

7. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 3. Dezember 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

21. Parametrisierung und Bogenl¨ ange

~ r_i(t):

A: (0,0)→(0,1)→(2,1)→(2,0) auf drei geraden Teilkurven, B:(0,0)→(1,1)→(2,0) auf zwei geraden Teilkurven, C:(0,0)→(1,1)→(2,0) auf einem Halbkreis.

b) Die Bogenl¨ange einer Kurve ist die entlang der Kurve zur¨uckgelegte Wegstrecke. Diese l¨asst sich ¨uber das Wegintegral

L= Z t2

t1

|~r(t)|dt˙

bestimmen. Vergleichen Sie diese Formel mit der Herleitung f¨ur das Wegintegral entlang eines Vektorfeldes aus der Vorlesung. ¨Andern Sie die Herleitung, um auf das Wegintegral f¨ur die Bogenl¨ange zu kommen. Berechnen Sie anschließend die Bogenl¨ange der drei Kurven aus a) mittels des Wegintegrals.

22. Parabelflug

Ein Massepunkt mit der Massembewegt sich in der N¨ahe der Erdoberfl¨ache unter Einfluss der Gewichtskraft F~_G=−mg~e_y entlang der ParabelbahnC mit der Parametrisierung

~r(s) =s~ex+

s−1 2s²

~ ey

unds∈[0,2].

a) Skizzieren Sie die Bahnkurve sowie das Kraftfeld.

b) Berechnen Sie die f¨ur diese Bewegung aufzubringende Arbeit mittels des Wegintegrals W =−

Z

C

d~r·F~(~r).

Argumentieren Sie, ob es einen einfacheren L¨osungsweg gibt.

c) Aufgrund eines Gegenwindes in x-Richtung wirkt zus¨atzlich die Kraft F~_W =−w~ex.

Welche Arbeit muss nun aufgebracht werden?

23. Kraftfeld

F~(~r) = 1 x²+y²

−y x

(siehe auch Aufgabe 16c). Berechnen Sie f¨ur dieses Kraftfeld die ArbeitW entlang der beiden geschlossenen WegeC₁ und C₂. Beachten Sie hierbei die in der Abbildung angegebene Umlauf- richtung.